นักมายากลผู้มีชื่อเสียง

คุณอาจรู้เคล็ดลับในหนังThe Prestige :

[MOVIE SPOILER]นักมายากลพบเคล็ดลับมายากลที่น่าประทับใจ: เขาเข้าไปในเครื่องปิดประตูแล้วหายไปและปรากฏขึ้นอีกครั้งในอีกด้านหนึ่งของห้อง แต่เครื่องจักรนั้นไม่สมบูรณ์แบบ: แทนที่จะเพียงแค่เคลื่อนย้ายเขามันซ้ำซ้อน นักมายากลอยู่ที่ที่เขาอยู่และสำเนาจะถูกสร้างขึ้นที่ด้านอื่น ๆ ของห้อง จากนั้นนักมายากลในเครื่องจะตกลงไปในถังเก็บน้ำอย่างระมัดระวังใต้พื้นและจมน้ำ แก้ไข:ความน่าจะเป็นของสำเนาใหม่ของนักมายากลที่ถูกจมน้ำตายคือ 1/2 (ในคำอื่น ๆ สำเนาใหม่มีโอกาส 1/2 ของการถูกจมน้ำและ 1/2 โอกาสที่จะโผล่เข้ามาในห้อง) ยิ่งไปกว่านั้นถังเก็บน้ำไม่เคยล้มเหลวและมีโอกาส 1 ที่นักมายากลตกลงในถังจะตาย

นักมายากลจึงไม่ชอบทำเคล็ดลับนี้เพราะ "คุณไม่เคยรู้ว่าคุณจะอยู่ที่ไหนในอีกด้านหนึ่งของห้องหรือจมน้ำตาย"

ทีนี้ความขัดแย้งดังต่อไปนี้: ลองจินตนาการว่านักมายากลทำกลอุบาย 100 ครั้ง โอกาสในการอยู่รอดของเขาคืออะไร

แก้ไขคำถามเพิ่มเติม: โอกาสของนักมายากลในการรักษาสมองทางกายภาพของเขาและไม่มีใหม่ได้อย่างไร

การวิเคราะห์อย่างรวดเร็ว: มือข้างหนึ่งมีนักมายากลคนหนึ่งมีชีวิตอยู่และนักมายากลจมน้ำ 100 คนดังนั้นโอกาสของเขาคือ 1 จาก 100

ในทางกลับกันทุกครั้งที่เขาทำเคล็ดลับเขามีโอกาส 1/2 ของการมีชีวิตอยู่ดังนั้นโอกาสของเขาคือ $(1/2)^{100}=1/(2^{100})$ ของการมีชีวิตอยู่

การตอบสนองที่ถูกต้องคืออะไรและเพราะเหตุใด

ข้อผิดพลาดนี้ถูกนำมาใช้เป็นหลักฐานในการสนทนาที่เป็นลายลักษณ์อักษรระหว่างนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแฟร์, ปาสกาล, และชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังในปี ค.ศ. 1654 เมื่อทั้งสองอดีตพิจารณาเรื่อง"ปัญหาของคะแนน" ตัวอย่างง่ายๆคือ:

คนสองคนเล่นการพนันกับผลลัพธ์ของการโยนสองเหรียญที่ยุติธรรม ผู้เล่น A ชนะถ้าการโยนเป็นแบบหัว มิฉะนั้นผู้เล่น B ชนะ โอกาสของผู้เล่น B ในการชนะคืออะไร?

อาร์กิวเมนต์ที่ผิดพลาดเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ซึ่งเราสามารถระบุได้:

1. H : การพลิกครั้งแรกคือหัว ผู้เล่น A ชนะ
2. TH : เฉพาะครั้งที่สองเท่านั้นที่เป็นหัว ผู้เล่น A ชนะ
3. TT : ไม่มีการพลิกเป็นหัว ผู้เล่น B ชนะ

เนื่องจากผู้เล่น A มีโอกาสชนะสองครั้งและ B มีโอกาสเพียงครั้งเดียวโอกาสที่ B จะเป็น (ตามข้อโต้แย้งนี้) 1: 2; นั่นคือโอกาสของ B คือ 1/3 ในบรรดาผู้ที่โต้แย้งเรื่องนี้คือGilles Personne de Robervalซึ่งเป็นสมาชิกผู้ก่อตั้งของ Academy of Sciences แห่งฝรั่งเศส

ความผิดพลาดนั้นเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับเราในวันนี้เพราะเราได้รับการศึกษาจากคนที่เรียนรู้จากการสนทนานี้ แฟร์มาต์แย้ง (ถูกต้อง แต่ไม่น่าเชื่อถือมาก) ในกรณีนั้น (1) จะต้องพิจารณาสองกรณีจริง ๆ แล้วการราวกับว่าเกมนี้เล่นกันทั้งคู่โดยไม่ว่าอะไรจะเกิดขึ้น อ้างถึงลำดับของการโยนที่ไม่ได้เล่นจริง ๆ ทำให้หลายคนไม่สบายใจ ทุกวันนี้เราอาจพบว่ามันน่าเชื่อถือมากขึ้นที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละกรณี: โอกาสของ (1) คือ 1/2 และโอกาสของ (2) และ (3) คือแต่ละ 1/4 ดังนั้นโอกาสที่ ชนะเท่ากับ 1/2 + 1/4 = 3/4 และโอกาสที่ B ชนะคือ 1/4 การคำนวณเหล่านี้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของความน่าจะเป็นซึ่งในที่สุดก็ถูกตัดสินในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แต่ได้รับการก่อตั้งขึ้นเมื่อฤดูใบไม้ร่วงปี 1654 โดย Pascal และ Fermat และได้รับความนิยมไปทั่วยุโรปในอีกสามปีต่อมาChristian Huyghensในบทความสั้น ๆ เกี่ยวกับความน่าจะเป็น (ตีพิมพ์ครั้งแรก), De ratiociniis ใน ludo aleae (คำนวณในเกมแห่งโอกาส)

คำถามปัจจุบันสามารถสร้างแบบจำลองได้ว่าพลิก 100 เหรียญโดยมีหัวหน้าเป็นตัวแทนของความตายและก้อยที่แสดงถึงความอยู่รอด อาร์กิวเมนต์สำหรับ "1 in 100" (ซึ่งจริง ๆ ควรเป็น 1/101 โดยวิธี) มีข้อบกพร่องเดียวกันทั้งหมด

มือข้างหนึ่งมีนักมายากลอยู่คนหนึ่งและนักมายากลจมน้ำตาย 100 คนดังนั้นโอกาสของเขาคือ 1 จาก 100

ด้วยเหตุผลดังกล่าวสันนิษฐานว่านักมายากลทุกคนมีความเป็นไปได้ที่จะมีชีวิตรอดเหมือนกันในตอนท้ายของกระบวนการ อย่างไรก็ตามมีเพียงต้นฉบับเท่านั้นที่จะต้องอดทนต่อการทดลองทั้งหมด 100 ครั้งและเขาจะมีอัตราต่อรองที่แย่ที่สุด ตัดกับต้นฉบับด้วยโคลนสุดท้ายที่สร้างขึ้น เขาต้องการที่จะอยู่รอดเพียงครั้งเดียวและเขามีโอกาส 1 ใน 2 ของการเป็นผู้รอดชีวิตเพียงคนเดียว

แสร้งว่าแทนที่จะเลียนแบบเรากำลังจัดการกับทัวร์นาเมนต์กำจัดเดี่ยว (เช่นการแข่งขันบาสเก็ตบอล NCAA ที่มีชื่อเสียงทุกเดือนมีนาคม) ต้นฉบับต้องมี 100 รอบในขณะที่โคลนสุดท้ายมีเพียงการเล่นในรอบชิงชนะเลิศทัวนานี โคลนนิ่งทั้งหมดนั้นมีแนวโน้มที่จะมีอายุจนถึงจุดจบไม่เท่ากันและตัวดั้งเดิมมีโอกาสที่แย่ที่สุด$\frac{1}{2^{100}}$.

ความน่าจะเป็นที่เขามีชีวิตอยู่คือ 1 ในทุก ๆ การทดลองและความน่าจะเป็นที่ 1 ที่เขาเสียชีวิตในทุกการทดลอง หลังจากทำซ้ำไม่มี "เขา" อีกต่อไป; มี "เขา"