ความจริงที่ว่าลูกชายชาวอิตาเลียนของฉันจะเข้าเรียนในโรงเรียนประถมจะเปลี่ยนจำนวนเด็กอิตาเลียนที่คาดหวังให้เข้าเรียนในชั้นเรียนของเขาหรือไม่?

37

นี่เป็นคำถามที่เกิดจากสถานการณ์ในชีวิตจริงซึ่งฉันได้รับความสับสนอย่างแท้จริงเกี่ยวกับคำตอบ

ลูกชายของฉันเกิดจากการเริ่มต้นโรงเรียนประถมในลอนดอน ในขณะที่เราเป็นชาวอิตาลีฉันอยากรู้ว่าเด็ก ๆ ชาวอิตาเลียนจำนวนเท่าใดที่เข้าเรียนในโรงเรียนนี้แล้ว ฉันถามเรื่องนี้กับเจ้าหน้าที่รับสมัครในขณะที่สมัครและเธอบอกฉันว่าพวกเขามีเด็กอิตาเลียน 2 คนต่อชั้นเรียน (จาก 30) โดยเฉลี่ย

ตอนนี้ฉันอยู่ในช่วงเวลาที่ฉันรู้ว่าลูกของฉันได้รับการยอมรับ แต่ฉันไม่มีข้อมูลอื่นเกี่ยวกับเด็กคนอื่น เกณฑ์การรับเข้าเรียนนั้นขึ้นอยู่กับระยะทาง แต่สำหรับวัตถุประสงค์ของคำถามนี้ฉันเชื่อว่าเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าขึ้นอยู่กับการจัดสรรแบบสุ่มจากกลุ่มตัวอย่างจำนวนมากของผู้สมัคร

มีเด็กอิตาเลี่ยนกี่คนที่คาดว่าจะอยู่ในชั้นเรียนของลูกชายของฉัน จะใกล้เคียงกับ 2 หรือ 3 หรือไม่

probability self-study average

— user90213
แหล่งที่มา

39

สิ่งนี้ทำให้ฉันนึกถึงเรื่องตลกเก่า ๆ "ฉันมักจะถือระเบิดเมื่อฉันเดินทางเพราะราคาของคนสองคนที่มีระเบิดบนเครื่องบินลำเดียวกันคืออะไร"

— Bill the Lizard

2

เจ้าหน้าที่ฝ่ายรับเข้าเรียนบอกคุณว่าพวกเขามีเด็กอิตาเลียน 2 คนต่อชั้นโดยเฉลี่ยทำให้ข้อมูลนี้ 'สงสัย' สำหรับฉัน ถ้ามันเกิดจากการคำนวณจริงคุณน่าจะได้ตัวเลขที่ไม่เป็นไป เป็นไปได้ว่าค่าจริงคือ 1.51 หรือ 2.49 นอกจากนี้เนื่องจากเจ้าหน้าที่รับสมัครมีแนวโน้มที่จะพยายาม 'โปรดคุณ' ด้วยคำตอบของพวกเขาพวกเขาอาจปัดเศษขึ้นแทนที่จะลง (ถ้าพวกเขาคิดว่าคุณยินดีที่จะให้ลูกของคุณอยู่ท่ามกลางชาวอิตาเลียนคนอื่น ๆ ) แนะนำว่าความน่าจะเป็น การกระจายตัวของค่าใกล้ 2 จะไม่สมมาตร สามารถปรับคำตอบด้านล่าง

— PatrickT

4

@PatrickT "Mode" เป็นประเภทเฉลี่ยที่ถูกต้อง

— Ian Ringrose

1

ขอบคุณมากสำหรับการตอบสนอง ตอนนี้ฉันได้โพสต์คำถามที่คล้ายกัน แต่ด้วยกรอบที่แตกต่างกัน ( stats.stackexchange.com/questions/173969/ … ) ซึ่งได้รับการกระตุ้นจากข้อมูล / คำตอบบางส่วนของคุณ

— user90213

1

@PatrickT ฉันคิดว่ามีคนที่มีการศึกษาต่ำกว่าจำนวนมากที่สับสน 1.5 เท่า ("คุณมีลูกครึ่งหนึ่งได้อย่างไร?") มากกว่าคนที่คิดว่าน่ารำคาญเกี่ยวกับการปัดเศษที่มากเกินไปดูเหมือนว่าฉัน (สมมติว่าตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้นนั้นไม่ใช่ 1.9 หรือ 2.1 จริง ๆ )

— Dan Neely

27

เช่นเคยคุณต้องพิจารณาแบบจำลองความน่าจะเป็นที่อธิบายถึงวิธีที่โรงเรียนกระจายเด็กในชั้นเรียน เป็นไปได้:

โรงเรียนดูแลว่าทุกชั้นเรียนมีชาวต่างชาติจำนวนเท่ากัน
โรงเรียนพยายามที่จะทำให้แน่ใจว่าแต่ละสัญชาติมีตัวแทนที่เหมือนกันในทุกชั้นเรียน
โรงเรียนไม่ได้พิจารณาสัญชาติทั้งหมดและเพียงกระจายแบบสุ่มหรือตามเกณฑ์อื่น ๆ

ทั้งหมดนี้สมเหตุสมผล กำหนดกลยุทธ์ 2 คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือไม่ เมื่อพวกเขาใช้กลยุทธ์ 3 ความคาดหวังจะใกล้เคียงกับ 3 แต่เล็กกว่าเล็กน้อย นั่นเป็นเพราะลูกชายของคุณใช้ช่อง "" และคุณมีโอกาสน้อยกว่าสำหรับสุ่มอิตาลี

เมื่อโรงเรียนใช้กลยุทธ์ 1 ความคาดหวังก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ขึ้นอยู่กับจำนวนของชาวต่างชาติต่อชั้นเรียน

โดยที่ไม่รู้ว่าโรงเรียนของคุณไม่มีทางที่จะตอบคำถามนี้ได้อย่างสมบูรณ์แบบมากขึ้น หากคุณมีเพียงหนึ่งชั้นเรียนต่อปีและเกณฑ์การรับเข้าเรียนเป็นไปตามที่อธิบายไว้คำตอบจะเหมือนกันสำหรับ 3 ข้างต้น

กำลังคำนวณรายละเอียด 3 รายการ:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X คือจำนวนเด็กอิตาเลียนในชั้นเรียน 1 มาจากเด็กที่รู้จักกัน 29 คนเป็นส่วนที่เหลือของชั้นเรียนและ 2/30 เป็นโอกาสที่เด็กที่ไม่รู้จักภาษาอิตาเลียนจะได้รับสิ่งที่โรงเรียนพูด B คือการแจกแจงทวินาม

โปรดทราบว่าการเริ่มต้นด้วยไม่ได้ให้คำตอบที่ถูกต้องเนื่องจากรู้ว่าเด็กคนใดคนหนึ่งเป็นชาวอิตาลีละเมิดการแลกเปลี่ยนที่สันนิษฐานได้โดยการแจกแจงทวินาม เปรียบเทียบสิ่งนี้กับเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิงที่ขัดแย้งกันซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างไม่ว่าคุณจะรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิงกับรู้ว่าเด็กโตเป็นผู้หญิง $E(X|X\geq1)$

— เอริค
แหล่งที่มา

2

ขอให้สันนิษฐานทวินามและให้nดูเหมือนว่าตัวเลือกระหว่างและสามารถขึ้นอยู่กับสมมติฐาน ตัวอย่างเช่นถ้าฉันคิดว่าพ่อชาวอิตาลีคนใดในลอนดอนมีแนวโน้มที่จะงงงันมากเท่ากับ @ user90213 และจากนั้นจะโพสต์คำถามที่นี่แล้วการเห็นคำถามนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงความคาดหวังของฉันมากนัก ผมได้เรียนรู้ แต่เพียงว่าเด็กคนหนึ่งคืออิตาลีและจะคำนวณGE1) มันเป็นสิ่งที่คุณเรียกว่า "การแลกเปลี่ยน" หรือไม่? หากในทางตรงกันข้าม user90213 เป็นเพื่อนสนิทของฉันและฉันรู้จักลูกชายของเขาฉันก็จะมาถึงคำตอบของคุณ

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

2

@ amoeba รู้ว่าในโรงเรียนเฉพาะและในชั้นเรียนเฉพาะมีลูกของ user90213 ก็เพียงพอที่จะแยกเขาออกจากส่วนที่เหลือมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของคุณกับ user90213 เป็นพิเศษแค่ไหน แต่มันก็มีความยุ่งยากในการที่คุณจะต้องเรียนรู้ข้อมูล ตัวอย่างเช่นหากคุณถามทางอีเมลว่าเด็กชาวอิตาลีที่เก่าแก่ที่สุดในชั้นเรียนติดต่อคุณด้วยชื่อและคุณได้รับคำตอบคุณจะต้องเข้าหาแม้ว่าคุณจะแยกแยะเด็กในภายหลังได้ก็ตาม ลอง googling สำหรับเด็กผู้หญิงที่ขัดแย้งกันหรือทำคำถามทั่วไปให้มากขึ้น มีการถกเถียงกันมากมาย

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— Erik

ถูกต้องแล้วขอบคุณ Erik สิ่งที่ฉันหมายถึงในความคิดเห็นก่อนหน้าคือสิ่งที่คล้ายกับตัวอย่างอีเมลของคุณ หากฉันคิดว่าผู้ปกครองชาวอิตาลีทุกคนในชั้นเรียนจะโพสต์คำถามที่นี่แล้วการเห็นคำถามนี้ก็เหมือนกับการได้รับการติดต่อจากเด็กชาวอิตาลีที่เก่าที่สุด ดูเหมือนว่าโดยทั่วไปเราจะเห็นด้วยกับ +1 ลิงค์ wiki นั้นน่าสนใจอย่างแน่นอน

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

(+1) แต่งงว่าทำไมคุณถึงพูดว่า "ถ้าคุณมีเพียงหนึ่งคลาสต่อปี [... ]"

— Scortchi - Reinstate Monica

@Scortchi หากโรงเรียนมีเพียงหนึ่งชั้นเรียนต่อปีก็สามารถใช้กลยุทธ์ทั้งสองที่ 1 และ 2 เนื่องจากเด็กทุกคนที่ได้รับการยอมรับในโรงเรียนในปีนี้จบลงในชั้นเดียวกัน

— Erik

13

อีกวิธีในการดูนี่คือระดับของเด็กแต่ละคน สมมติว่าเด็ก 30 สุ่มจากประชากร (ซึ่งคุณได้ระบุเราสามารถ) เราสามารถทำงานได้ย้อนกลับไปที่ความน่าจะเป็นที่หยาบของเด็กอิตาลีถูกดึงออกมาจากประชากรกลุ่มนี้: = 1/15 $2/30$ $1/15$

เนื่องจากเรารู้ว่าหนึ่งใน 30 เป็นภาษาอิตาลีเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเด็กที่เหลืออยู่:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

ดังนั้นการรู้ว่าลูกของคุณเป็นชาวอิตาลีเปลี่ยนจำนวนเด็กอิตาเลียนที่คาดหวังในชั้นเรียนเป็นประมาณ 2.933 ซึ่งใกล้เคียงกับ 3 มากกว่า 2 มาก

— Thomas Cleberg
แหล่งที่มา

5

นี่คือความคิดของฉันเกี่ยวกับวิธีการนี้:

ให้ตัวแปรสุ่มแสดงว่าจำนวนของเด็กที่อิตาลีในชั้นเรียนที่เป็นอยู่ในปัจจุบันที่มีขนาดnให้เป็นตัวบ่งชี้สำหรับเด็กใหม่ที่เป็นภาษาอิตาลี สมมติว่าเราเพิ่ม childลงในคลาสนี้ ดังนั้นจำนวนเด็กอิตาเลียนที่คาดหวังในชั้นเรียนที่เพิ่มขนาดนี้คือ1) โปรดทราบว่าความเป็นอิสระไม่สำคัญที่นี่เนื่องจากเราใช้ความเป็นเส้นตรงของความคาดหวังเท่านั้น หาก childนั้นเป็นภาษาอิตาลีแล้วมีความน่าจะเป็น 1 ดังนั้นเราจึงได้เพิ่มค่าที่คาดไว้เป็น 1 $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— JLD
แหล่งที่มา

1

ดังนั้นจะมีลูกในชั้นเรียนนี้หลังจากที่เพิ่มเด็กอิตาเลียน?

n + 1

$n+1$

— Scortchi - Reinstate Monica

ใช่. มีบางอย่างที่ฉันขาดหายไปเกี่ยวข้องกับสิ่งนั้นหรือไม่?

— jld

1

ขึ้นอยู่กับว่าคุณอ่านคำถามอย่างไร สมมติว่าคลาสมีเด็ก 30 คน

— Scortchi - Reinstate Monica

1

บางทีฉันอาจจะเข้าใจผิดคำถาม ฉันคิดว่ามันถูกถามเกี่ยวกับการเพิ่มเด็กอิตาเลียนที่รู้จักเปลี่ยนความคาดหวัง

— jld

1

นั่นเป็นจุดที่ดีมากเกี่ยวกับขนาดของชั้นเรียนที่อาจถูก จำกัด ไว้

— jld

1

จากข้อมูลของ Admission Office จำนวนเด็กอิตาเลียนตามทวินามโดยถือว่าเป็นอิสระ ตอนนี้คุณรู้ในชั้นเรียนของคุณมีเด็กอิตาเลี่ยนอย่างน้อยหนึ่งดังนั้นความคาดหวังจะกลายเป็นgeq1) สำหรับสิ่งนี้จะประเมินเป็น (ถ้าฉันคำนวณถูก) $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

แก้ไข การประเมินความคาดหวัง:

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(บันทึกการเปลี่ยนแปลงของผลรวมล่างล่างในขั้นตอนสุดท้าย)

— jf328
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถอธิบายความคาดหมายตามเงื่อนไขได้อย่างละเอียดหรือไม่?

— Antoni Parellada

3

คำตอบของคุณไม่ถูกต้อง วิธีที่เหมาะสมในการคำนวณสิ่งนี้จะเป็น 1 (ลูกที่รู้จัก) + E (B (29, 2/30)) ซึ่งปรากฎเป็น 2.9333 และสมมติฐานของการแจกแจงทวินามก็เป็นที่น่าสงสัย

— Erik

อีกสิ่งหนึ่งที่ฉันอยากจะชี้ให้เห็น: ก) การคำนวณความคาดหวังตามเงื่อนไขของคุณนั้นผิด แต่ b) ที่สำคัญกว่านั้นการเริ่มต้นด้วยการคาดการณ์ตามเงื่อนไขของคุณนั้นไม่ถูกต้อง รู้ว่าเด็กที่เฉพาะเจาะจงคือชาวอิตาเลียนทำลายการแลกเปลี่ยนที่สันนิษฐานโดยการกระจายแบบทวินาม มันคล้ายกับ Paradox ของเด็กชาย - หญิง ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) ซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างไม่ว่าคุณจะรู้ว่าเด็กโตเป็นผู้หญิงหรือรู้ว่าหนึ่งในสองเด็กนั้นเป็นผู้หญิง

— Erik

ขีดข่วนความคิดเห็นก) จากด้านบน แต่ b) ร้ายแรงกว่าอยู่ดี;)

— Erik

ฉันเห็นด้วย. สำหรับ OP การแจกแจงจะไม่เป็นแบบทวินามอีกต่อไป (30, 2/30) แต่แน่นอน 1 + ทวินาม (29, 2/30)

— jf328

-3

ไม่ความรู้ของคุณเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่กำลังจะเกิดขึ้นนั้นไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรเกี่ยวกับประสบการณ์โดยทั่วไปของโรงเรียน

— ตลาด
แหล่งที่มา

2

-1 สิ่งนี้ไม่ถูกต้องตามที่อธิบายโดยละเอียดในคำตอบและความคิดเห็นอื่น ๆ ที่นี่

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

ให้อภัยการขาดคณิตศาสตร์ขั้นสูงของฉัน แต่สิ่งที่ทำให้ลูกของสุภาพบุรุษนี้ไม่ได้เป็นหนึ่งในเด็ก 'ปกติ 2'? .. เช่นนั้นเราจะได้ใกล้ชิดกับ 3

— Mart

ดูstats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

Mart: จินตนาการว่าฉันโยนเหรียญสิบครั้งแล้วนับหัว; ไม่มีอะไรแปลกเกี่ยวกับเหรียญหรือวิธีที่ฉันโยนมัน ฉันทำซ้ำการทดลองหลายครั้งและโดยเฉลี่ยฉันเห็นเกือบ 5 หัวในการโยนสิบครั้ง ซึ่งผลลัพธ์ที่คุณเห็น (1,000 โยนในทั้งหมดซึ่ง 50.3% เป็นหัวหน้าดีในรูปแบบที่คาดหวังสำหรับขั้นตอนการโยนเหรียญยุติธรรมเราตัดสินใจตกลงว่ากระบวนการดูเหมือนยุติธรรมอย่างน้อยจริง) ตอนนี้ฉันทำการทดลองกับคุณอีกหนึ่งครั้งและคุณเห็นว่าการทอย 4 ครั้งแรกนั้นเป็นสิ่งที่ต้องทำ จำนวนที่คาดหวังของหัวในชุดที่สมบูรณ์ของสิบโยนคืออะไร? 5? มากกว่า?

— Glen_b

โปรดทราบว่าโดยการโต้แย้งก่อนหน้าของคุณสี่ข้อแรก "อาจเป็นสี่ในห้าที่คาดหวัง" แต่คุณจะบอกว่ามีโอกาสน้อยกว่า 50% ในการโยนหกครั้งถัดไป (อันที่จริงแล้วคุณกำลังพูดว่ามีโอกาสโดยเฉลี่ยเพียง 1/6) เหรียญรู้ได้อย่างไรว่าจะเกิดขึ้นหัวน้อยลง

— Glen_b