เมื่อทำการ parametrizing ฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นอีกครั้งมันก็เพียงพอแล้วที่จะเสียบตัวแปรที่แปลงแล้วแทนที่จะเป็นสูตรการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหรือไม่?

สมมติว่าฉันกำลังพยายามสร้างความน่าจะเป็นซ้ำให้กับฟังก์ชันที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล หากฟังก์ชันความน่าจะเป็นดั้งเดิมของฉันคือ:

พี (Y | θ) = θ {อี}^{- θ Y}

$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$

และฉันต้องการอีกครั้ง parametrize โดยใช้เนื่องจากไม่ได้เป็นตัวแปรสุ่ม แต่พารามิเตอร์มันเพียงพอที่จะเสียบ? $\phi = \frac{1}{\theta}$ $\theta$

สิ่งที่ฉันหมายถึงอย่างชัดเจนคือ:

พี (Y | φ = \frac{1}{θ}) = \frac{1}{φ} {อี}^{- \frac{1}{φ} Y}

$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$

ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันไม่แน่ใจว่าทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังเรื่องนี้คืออะไร ความเข้าใจของฉันคือฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นเป็นหน้าที่ของพารามิเตอร์ดังนั้นทำไมฉันไม่จำเป็นต้องใช้การเปลี่ยนแปลงของสูตรตัวแปรทำให้ฉันสับสน ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมจริงๆขอบคุณ!

regression bayesian mathematical-statistics

— user123276
แหล่งที่มา

คุณไม่จำเป็นต้องมีจาโคเบียนในแปลงของคุณเพราะมันเป็นความน่าจะเป็นในการกระจายไม่ได้อยู่ในθมันจะต้องรวมเข้ากับหนึ่งในไม่ว่าคุณจะใช้หรือ : มันก็ต่อเมื่อคุณรวมการวัด (Bayesian) ในที่ Jacobian ปรากฏขึ้น นั่นคือถ้าเป็นค่าก่อนหน้าของ $y$ $\theta$ $y$ $\theta$ $\phi$

\int พี (Y | θ) d Y = \int พี (Y | φ) d Y = 1

$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$

θ

$\theta$

p (θ)

$p(\theta)$

θ

$\theta$ จากนั้นความหนาแน่นหลังของ

คือ

และความหนาแน่นหลังของ

คือ

θ

$\theta$

พี (θ | Y) α พี (θ) พี (Y | θ)

$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$

ϕ

$\phi$

ซึ่งเกี่ยวข้องกับจาโคเบียน

พี (φ | Y) α พี (Y | φ) พี (φ) = พี (Y | θ (φ)) พี (θ (φ)) | \frac{\partial θ}{\partial φ} | α พี (θ (φ) | Y) | \frac{\partial θ}{\partial φ} |

$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$

| \frac{\partial θ}{\partial ϕ} |

$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

p (θ | y) \propto p (y | θ) p (θ)

$p(\theta|y) \propto p(y|\theta)p(\theta)$

θ = \frac{1}{ϕ}

$\theta = \frac{1}{\phi}$

p (θ)

$p(\theta)$

p (θ | y)

$p(\theta|y)$

p (y | θ)

$p(y|\theta)$

แม้ในกรณีนี้คุณไม่ได้ใช้ยาโคบเบียนในส่วนที่เป็นไปได้

— ซีอาน