ชุดของตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้อง แต่เชิงเส้น

เป็นไปได้ไหมที่จะมีชุดของ $K$ ตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้อง แต่เชิงเส้นขึ้นอยู่กับ?

กล่าวคือ $cor(x_i, x_j)=0$ และ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

ถ้าใช่คุณสามารถเขียนตัวอย่างได้หรือไม่?

แก้ไข: จากคำตอบมันตามมาว่ามันเป็นไปไม่ได้

อย่างน้อยมันจะเป็นไปได้ไหม $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ ที่ไหน $\hat\rho$ คือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ประมาณจาก $n$ ตัวอย่างของตัวแปรและ $v$ เป็นตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกับ $x_i$.

ฉันกำลังคิดอะไรบางอย่างเช่น $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

ดังที่คำตอบของ @ RUser4512 แสดงให้เห็นว่าตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งไม่สามารถขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แต่เกือบตัวแปรสุ่ม uncorrelated สามารถเป็นเส้นตรงขึ้นและเป็นตัวอย่างหนึ่งของเหล่านี้เป็นสิ่งที่รักในหัวใจของสถิติ

สมมติว่า $\{X_i\}_{i=1}^K$ เป็นชุดของ $K$ ตัวแปรสุ่มแปรปรวนของหน่วยที่ไม่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยทั่วไป $\mu$. กำหนด $Y_i = X_i - \bar{X}$ ที่ไหน $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$. จากนั้น$Y_i$ เป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีค่าเฉลี่ย $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$นั่นคือพวกมันขึ้นอยู่กับเส้นตรง ตอนนี้

$$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$$ ดังนั้น $$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$$ ในขณะที่ $$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$$ แสดงว่า $Y_i$เกือบจะเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความสัมพันธ์ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$.

ดูคำตอบก่อนหน้านี้ ของฉันด้วย

เลขที่

สมมติว่าหนึ่งใน $a_i$ไม่ใช่ศูนย์ โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปลองสมมติ$a_1=1$.

สำหรับ $K=2$สิ่งนี้แสดงถึง $x_1=-a_2x_2$ และ $cor(x_1,x_2)=-1$. แต่ความสัมพันธ์นี้เป็นศูนย์$a_1$ ต้องเป็นศูนย์เช่นกันซึ่งขัดแย้งกับการมีอยู่ของความสัมพันธ์เชิงเส้น

สำหรับคนใด $K$, $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ และ $cor(x_1,x_k)=-1$. แต่โดยสมมติฐานคุณ$cor(x_1,x_k)=0$. $a_i$ค่าเป็นศูนย์ (สำหรับ $i>1$) และต้องเป็นเช่นนั้น $a_1$.

นี้อาจจะโกงนิด แต่ถ้าเรากำหนด 'uncorrelated' เป็นที่มีความแปรปรวนของ 0 คำตอบคือใช่ ปล่อย$X$ และ $Y$ ทั้งคู่เป็นศูนย์ด้วยความน่าจะเป็น 1 จากนั้น

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

ในขณะที่ $X+Y=0$ดังนั้น $X$ และ $Y$ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (ตามคำจำกัดความของคุณ)

แม้ว่าคุณจะต้องมีการกำหนดความสัมพันธ์นั่นคือความแปรปรวนของทั้งคู่$X$ และ $Y$เป็นบวกอย่างเคร่งครัดเป็นไปไม่ได้ที่จะหาตัวแปรที่ตรงตามเกณฑ์ของคุณ (ดูคำตอบอื่น ๆ )