ให้ n ของ r.v ที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ PDF สำหรับ 1 rv หารด้วยผลรวมของ n r.v ทั้งหมดคืออะไร?

10

ฉันสนใจกรณีประเภทต่อไปนี้: มีตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง 'n' ซึ่งจะต้องรวมเป็น 1 แล้ว PDF จะเป็นอย่างไรสำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ดังนั้นถ้า $n=3$ ดังนั้นฉันสนใจในการแจกแจงสำหรับ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ โดยที่ $X_1, X_2$ และ $X_3$ มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ค่าเฉลี่ยของหลักสูตรในตัวอย่างนี้คือ $1/3$ เป็นค่าเฉลี่ยเป็นเพียง $1/n$ และแม้ว่ามันจะเป็นเรื่องง่ายที่จะกระจายจำลองใน R ผมไม่ทราบว่าสิ่งที่เกิดขึ้นจริงสมสำหรับ PDF หรือ CDF คือ

สถานการณ์นี้เกี่ยวข้องกับการแจกแจงของ Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ) มีเพียงเออร์วิน - ฮอลล์คือการกระจายตัวของผลรวมของตัวแปรสุ่ม n ชุดในขณะที่ฉันต้องการการกระจายของหนึ่งใน rv ที่เหมือนกันหารด้วยผลรวมของตัวแปร n ทั้งหมด ขอบคุณ

uniform

— user3593717
แหล่งที่มา

1

ถ้า

อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอสุ่มรวมตัวแปร

แล้วกับ

,

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

และเพื่อให้การกระจายตัวของ

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$ เท่ากับการกระจายของ

จริงไหม?

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

1

ฉันควรแก้ไขด้วยตัวเอง: การแจกแจงแบบ N จะไม่รวมกันเป็น 1 ฉันถือว่าพวกมันแต่ละชุดอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และผลรวมของพวกมันอาจเป็นอะไรก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง N โดยรวมผลรวมของตัวแปร N ทั้งหมดเพื่อรับชุดของตัวแปรสุ่ม N ซึ่งรวมถึง 1 และมีค่าที่คาดหวัง 1 / N หมายเหตุ: ฉันลบคำว่า 'ชุด' ออกจากประโยคแรกของฉัน การกระจายที่ฉันกำลังมองหาไม่เหมือนกัน แต่มาจากการหารหนึ่งในตัวแปรชุด N โดยผลรวมของตัวแปรชุด N ทั้งหมดอย่างใด ฉันไม่แน่ใจเหมือนกัน

— user3593717

ในกรณีที่

มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเวกเตอร์ของตัวแปรที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะมีการแจกแจง Dirichlet สิ่งนี้อาจเป็นที่สนใจของตัวเอง แต่การตรวจสอบอาจเป็นกลยุทธ์สำหรับสถานการณ์ประเภทนี้

X_{i}

$X_i$

— คาดเดา

4

จุดพักในโดเมนทำให้ค่อนข้างยุ่ง วิธีการที่เรียบง่าย แต่น่าเบื่อคือการสร้างผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับให้ $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ และจากนั้น $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

จุดพักอยู่ที่ 1 สำหรับ 1 และ 2 สำหรับ 2 และ 3 สำหรับและและสำหรับฉันพบไฟล์ PDF ที่สมบูรณ์ที่จะเป็น $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

ฉ (Z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - Z)^{2}}, & ถ้า 0 \leq Z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 Z^{3} - 9 Z^{2} + 6 Z - 1}{3 Z^{3} (1 - Z)^{2}}, & ถ้า 1 / 3 \leq Z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - Z}{3 Z^{3}}, & ถ้า 1 / 2 \leq Z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

cdf สามารถพบได้ในขณะที่

F (Z) = {\begin{cases} \frac{Z}{(1 - Z)}, & ถ้า 0 \leq Z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 Z^{3} + 24 Z^{2} - 9 Z + 1}{6 Z^{2} (1 - Z)}, & ถ้า 1 / 3 \leq Z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 Z - 1}{6 Z^{2}}, & ถ้า 1 / 2 \leq Z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
แหล่งที่มา

+1 ดี นอกจากนี้ความหนาแน่นของคุณตกลงอย่างสวยงามด้วยการจำลอง

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Let ฉันเราสามารถหา cdf ของโดยการคำนวณ $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ จากนั้นเราแยกความแตกต่างและแทนที่ Irwin-Hall pdf เพื่อรับ pdf ที่ต้องการ:

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

จากที่นี่มันยุ่งเล็กน้อย แต่คุณควรจะสามารถแลกเปลี่ยนอินทิกรัลและการรวมแล้วทำการแทน (เช่น

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

) เพื่อประเมินอินทิกรัลและเพื่อให้ได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับ pdf

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— เบรนต์เคอร์บี้
แหล่งที่มา

1

ทะลึ่ง

"การแจกแจงแบบ N ไม่มีผลรวมถึง 1"

นี่คือวิธีที่ฉันเริ่ม (ไม่สมบูรณ์):

พิจารณาและให้ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$ โดยใช้สัญลักษณ์เล็กน้อย

พิจารณาและ: $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

จากนั้นติดตามการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของมอบให้โดย: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

ที่ไหนและ $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

และ,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

ดังนั้น

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

และ $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— rightskewed
แหล่งที่มา

0

สมมติว่าเรารู้แล้วว่าผลรวมของมีการแจกแจงเออร์วิน - ฮอลล์ ตอนนี้คำถามของคุณเปลี่ยนเพื่อค้นหา pdf (หรือ CDF) ของ $U(0,1)$ เมื่อ X มีการแจกแจงและ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$ มีการแจกแจงแบบ Irwin-Hall

ก่อนอื่นเราต้องหาเขาให้เป็น pdf ร่วมของและ $X$ $Y$ Y

ให้ $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

แล้วก็

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

ตั้งแต่จะ IID กับดังนั้น $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

การกระจายตัวร่วมกับคือ $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

ต่อไปให้เรารวมและเราจะได้การกระจายตัวของและร่วมกันนั่นคือการกระจายร่วมของและ $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

ตามที่แนะนำโดย whuber ตอนนี้ฉันเปลี่ยนข้อ จำกัด

\begin{matrix} (1) & ชั่วโมง (Y_{1}, Y_{3}) = \int_{Y_{1} + 1}^{Y_{3} - 1} ก. (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) d Y_{2} = \int_{Y_{1} + 1}^{Y_{3} - 1} 1 d Y_{2} = Y_{3} - Y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

$X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

$\frac{X}{Y}$

เราต้องการการเปลี่ยนแปลงอื่น:

$Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

$X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

แล้วก็

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

$X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

$y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & {ชั่วโมง}_{2} (Y_{2}) = \int_{0}^{1} (Y_{3} - Y_{1} - 2) \frac{Y_{1}}{Y_{2}^{2}} d Y_{1} = \frac{1}{Y_{2}^{2}} (\frac{Y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

$X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

$y_3$ แล้ว?

$Y_3=X_1+X_2+X_3$

$Y_3$

$n=3$

— ภาคเหนือตอนล่าง
แหล่งที่มา

2

การจำลองดูเหมือนจะไม่เห็นด้วยกับไฟล์ PDF นั้น

— Glen_b -Reinstate Monica

ตรรกะและขั้นตอนดูเหมือนถูกต้อง แต่ฉันรู้สึกไม่สบายใจเกี่ยวกับโซลูชันนี้

— Deep North

2

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$