นิยาม p-value สองวิธีทำอย่างไรจึงจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันได้

ฉันอ่านหนังสือของ Larry Wasserman สถิติทั้งหมดและในปัจจุบันเกี่ยวกับค่า p (หน้า 187) ให้ฉันแนะนำคำจำกัดความก่อน (ฉันพูด)

คำจำกัดความ 1ฟังก์ชั่นพลังงานของการทดสอบที่มีพื้นที่การปฏิเสธถูกกำหนดโดย ขนาดของการทดสอบถูกกำหนดให้เป็น การทดสอบจะกล่าวว่ามีระดับถ้าขนาดของมันคือน้อยกว่าหรือเท่ากับ\ $R$
$β (θ) = P_{θ} (X \in R)$ $\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$ $α = sup_{θ \in Θ_{0}} β (θ)$ $\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$ $\alpha$ $\alpha$

โดยพื้นฐานแล้วบอกว่า $\alpha$ ขนาดคือความน่าจะเป็น "ใหญ่ที่สุด" ของข้อผิดพลาดประเภท I ค่า $p$ จะถูกกำหนดผ่านทาง (I quote)

ความหมายที่ 2สมมติว่าทุก $\alpha\in(0,1)$ เรามีขนาด $\alpha$ ทดสอบกับภูมิภาคปฏิเสธR_ $R_\alpha$ จากนั้น
$p -value = inf {α : T (X^{n}) \in R_{α}}$ $p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$ ที่ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ X_n)

สำหรับฉันนี่หมายถึง: รับเฉพาะ $\alpha$ มีพื้นที่ทดสอบและปฏิเสธ $R_\alpha$ ดังนั้น $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ alpha) สำหรับ $p$ -value ผมก็ใช้เวลาแล้วที่เล็กที่สุดของทั้งหมดเหล่านี้\ $\alpha$

คำถามที่ 1ในกรณีนี้จะเป็นกรณีที่แล้วผมได้อย่างชัดเจนสามารถเลือก $\alpha = \epsilon$ สำหรับธุรกิจขนาดเล็กโดยพล\ $\epsilon$ การตีความคำจำกัดความที่ 2 ของฉันคืออะไรหมายถึงอะไร

ตอนนี้ Wasserman ต่อเนื่องและแจ้งให้ทฤษฎีบทมีคำนิยาม "เทียบเท่า" ของ $p$ ซึ่งฉันคุ้นเคย (ฉันพูด):

ทฤษฎีบทสมมติว่าการทดสอบขนาดเป็นรูปแบบ จากนั้น ที่เป็นค่าสังเกตของ n $\alpha$
$reject H_{0} ⟺ T (X^{n}) \geq c_{α}$ $\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$ $p -value = sup_{θ \in Θ_{0}} P_{θ} (T (X^{n}) \geq T (x^{n}))$ $p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$ $x^n$ $X^n$

ดังนั้นนี่คือคำถามที่สองของฉัน:

คำถามที่ 2ฉันจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้อย่างไร อาจเป็นเพราะความเข้าใจผิดเกี่ยวกับคำจำกัดความของค่าแต่ฉันไม่สามารถหาคำตอบได้ $p$

hypothesis-testing mathematical-statistics p-value

— คณิตศาสตร์
แหล่งที่มา

มันแปลกในเชิงบวกที่ Wasserman จะกำหนดพลังงานเป็น " " เนื่องจากสัญลักษณ์เกือบจะถูกใช้ในระดับสากลสำหรับอัตราความผิดพลาด Type II (เช่น power = 1-สำหรับผู้เขียนคนอื่น ๆ ที่พูดถึงอำนาจ) ฉันพบว่ามันยากที่จะจินตนาการว่าตัวเลือกสัญกรณ์สามารถทำให้เกิดความสับสนที่เลวร้ายยิ่งขึ้นยกเว้นโดยจงใจตั้งใจทำมัน

β

$\beta$

β

$\beta$

β

$\beta$

— Glen_b -Reinstate Monica

ฉันยอมรับว่าเป็นเรื่องแปลกเกลน - แต่ Casella และ Berger ทำสิ่งเดียวกันและข้อความของพวกเขาคือในความคิดของฉันมาตรฐานทองคำสำหรับทฤษฎีทางสถิติ

— Matt Brems

คำตอบ:

เรามีข้อมูลหลายตัวแปร , ดึงออกมาจากการกระจายมีบางอย่างไม่ทราบพารามิเตอร์\โปรดทราบว่าคือผลลัพธ์ตัวอย่าง $x$ $\mathcal{D}$ $\theta$ $x$

เราต้องการที่จะทดสอบสมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักค่าของภายใต้สมมติฐานที่มีอยู่ในชุด\ $\theta$ $\theta$ $\theta_0$

ในช่องว่างของเราสามารถกำหนดขอบเขตการปฏิเสธและพลังของภูมิภาคนี้ถูกกำหนดเป็นR) ดังนั้นอำนาจในการคำนวณหาค่าเฉพาะของเป็นโอกาสที่ผลตัวอย่างอยู่ในภูมิภาคปฏิเสธเมื่อค่าของมีtheta} เห็นได้ชัดว่าอำนาจขึ้นอยู่กับภูมิภาคและเลือก $X$ $R$ $R$ $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$ $\bar{\theta}$ $\theta$ $x$ $R$ $\theta$ $\bar{\theta}$ $R$ $\bar{\theta}$

คำจำกัดความ 1 กำหนดขนาดของพื้นที่ $R$ เป็นค่าสูงสุดของค่าสำหรับในดังนั้นสำหรับค่าของภายใต้ H_0เห็นได้ชัดว่านี้ขึ้นอยู่กับภูมิภาคดังนั้น R $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$ $\bar{\theta}$ $\theta_0$ $\bar{\theta}$ $H_0$ $\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

เนื่องจากขึ้นอยู่กับเรามีค่าอื่นเมื่อการเปลี่ยนแปลงภูมิภาคและนี่คือพื้นฐานสำหรับการกำหนดค่า p-value: เปลี่ยนภูมิภาค แต่ในลักษณะที่ตัวอย่างที่สังเกตค่ายังคงเป็นของภูมิภาคสำหรับ แต่ละภูมิภาคดังกล่าวคำนวณตามที่ระบุไว้ข้างต้นและใช้ infimum: R ดังนั้น p-value มีขนาดเล็กที่สุดของทุกภูมิภาคที่มี x $\alpha^R$ $R$ $\alpha_R$ $pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$ $x$

ทฤษฎีบทนั้นเป็นเพียง 'การแปล' ของมันคือกรณีที่ขอบเขตถูกกำหนดโดยใช้สถิติและสำหรับค่าคุณกำหนดขอบเขตเป็น\} หากคุณใช้ขอบเขตประเภทนี้ในการให้เหตุผลข้างต้นทฤษฎีบทก็จะตามมา $R$ $T$ $c$ $R$ $R=\{ x | T(x) \ge c \}$ $R$

แก้ไขเนื่องจากความคิดเห็น:

@ user8: สำหรับทฤษฎีบท; ถ้าคุณกำหนดขอบเขตการปฏิเสธตามทฤษฎีบทพื้นที่การปฏิเสธขนาดคือชุดที่ดูเหมือนสำหรับบางc_ $\alpha$ $R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$ $c_\alpha$

ในการหาค่า p-value ของค่าที่สังเกตได้คือ ieคุณต้องหาขอบเขตที่เล็กที่สุดนั่นคือค่าที่ใหญ่ที่สุดของเช่นนั้นยังคงมี , หลัง (ขอบเขตมี ) เท่ากับ (เนื่องจากวิธีการกำหนดภูมิภาค) เพื่อบอกว่าดังนั้นคุณต้องหา ใหญ่ที่สุดเช่นนั้น $x$ $pv(x)$ $R$ $c$ $\{X | T(X) \ge c \}$ $x$ $x$ $c \ge T(x)$ $c$ $\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

เห็นได้ชัดว่าใหญ่ที่สุดที่ควรเป็นจากนั้นชุด supra กลายเป็น $c$ $c \ge T(x)$ $c = T(x)$ $\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบของคุณ สำหรับคำถามเกี่ยวกับการตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบท: ไม่มีเกินหายไปหรือไม่?

inf

$\inf$

α

$\alpha$

— คณิตศาสตร์

@ user8: ฉันเพิ่มวรรคท้ายคำตอบของคุณคุณเห็นจุดที่ไม่สิ้นสุดตอนนี้หรือไม่

ในความละเอียด 2, -value ของสถิติทดสอบเป็นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าของทุกดังกล่าวว่าสมมติฐานที่ถูกปฏิเสธสำหรับการทดสอบขนาด\จำได้ว่ามีขนาดเล็กกว่าที่เราทำ , ความอดทนน้อยสำหรับข้อผิดพลาดประเภทที่เราจะช่วยให้จึงภูมิภาคปฏิเสธยังจะลดลง ดังนั้น (มาก) พูดอย่างไม่เป็นทางการเป็นเล็กที่สุดที่เราสามารถเลือกได้ซึ่งยังช่วยให้เราปฏิเสธสำหรับข้อมูลที่เราสังเกตเห็น เราไม่สามารถเลือกเล็กกว่าได้เองเนื่องจากบางประเด็น $p$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $R_\alpha$ $p$ $\alpha$ $H_0$ $\alpha$ $R_\alpha$ จะมีขนาดเล็กจนไม่รวม (เช่นไม่สามารถมี) เหตุการณ์ที่เราสังเกต

ตอนนี้ตามที่กล่าวมาฉันขอเชิญคุณให้ทบทวนทฤษฎีบทอีกครั้ง

— heropup
แหล่งที่มา

ฉันยังคงสับสนเล็กน้อย ดังนั้นครั้งแรกในความหมายเป็นสถิติคงที่สำหรับทุก ? ฉันไม่เห็นด้วยกับข้อความของคุณ: "... ณ จุดหนึ่งจะมีขนาดเล็กจนจะแยกออก (เช่นไม่สามารถมี) เหตุการณ์ที่เราสังเกตเห็น" สมบูรณ์ดีถ้ามีขนาดเล็กเพื่อที่ว่ามันไม่ได้มีตัวอย่างสังเกตเราไม่ปฏิเสธH_0มีปัญหาอะไรกับเรื่องนี้? ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ / ความอดทน

2

$2$

T

$T$

α

$\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

H_{0}

$H_0$

— คณิตศาสตร์

ใช่. การทดสอบสถิติเป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้คงที่ของกลุ่มตัวอย่างที่ "คงที่" ในความหมายนี้หมายถึงรูปแบบของฟังก์ชั่นจะไม่เปลี่ยนแปลงใด ๆ\ค่าที่ใช้ในอาจ (และควร) ขึ้นอยู่กับตัวอย่าง คำสั่งของคุณ "เราไม่ปฏิเสธ " แสดงให้เห็นว่าทำไมไม่เห็นด้วยคุณไม่ถูกต้อง: โดยความหมาย ,ประกอบด้วยชุดของค่าทั้งหมดที่ทดสอบสถิติที่นำไปสู่การปฏิเสธของโมฆะ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีข้อความระบุว่า - สำหรับการออก "R" ฉันจะโพสต์การอัปเดตคำตอบของฉันเพื่ออธิบายรายละเอียดเพิ่มเติม

T

$T$

α

$\alpha$

H_{0}

$H_0$

R_{α}

$R_\alpha$

R

$R$

— heropup

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบที่รวดเร็วและล่วงหน้าสำหรับเวอร์ชั่นที่อัปเดตของคุณ สิ่งที่ฉันหมายถึงคือ: เราปฏิเสธถ้าโดยที่เป็นตัวอย่างที่สังเกตได้ บอกว่าฉันรุนแรงมากและเลือกขนาดเล็กมากดังนั้นสำหรับตัวอย่างให้ซึ่งก็หมายความว่าเราไม่ปฏิเสธH_0ดังนั้นขนาดเล็กจึงไม่ใช่สิ่งที่ apriori เป็นสิ่งเลวร้าย เห็นได้ชัดว่าเมื่อถึงจุดหนึ่งมันมีขนาดเล็กเพื่อที่มากมากมากไม่น่าจะสังเกตตัวอย่างที่อยู่ในR_ขอขอบคุณอีกครั้งสำหรับความอดทน / ความช่วยเหลือของคุณ ชื่นชมจริงๆ!

H_{0}

$H_0$

T (x_{n}) \in R_{α}

$T(x_n)\in R_\alpha$

x_{n}

$x_n$

R_{α}

$R_\alpha$

T (x_{n}) \notin R_{α}

$T(x_n)\notin R_\alpha$

H_{0}

$H_0$

R_{α}

$R_\alpha$

R_{α}

$R_\alpha$

— คณิตศาสตร์

คำนิยามที่กำหนดของ p-value อย่างชัดเจนต้องใช้สถิติทดสอบสำหรับตัวอย่างที่จะเป็นในภูมิภาคปฏิเสธ คุณไม่สามารถเปลี่ยนแปลงส่วนหนึ่งของคำนิยามของ p-value ได้

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น อันที่จริงความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันไม่ละเมิดคำจำกัดความ ขอบคุณที่ชี้นำ

— คณิตศาสตร์