หยุดการสุ่มตัวแปรแบบแยก?

ปล่อย $X$ เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่รับค่ามา $\mathbb{N}$. ฉันอยากจะลดตัวแปรนี้ลงครึ่งหนึ่งนั่นคือเพื่อหาตัวแปรแบบสุ่ม$Y$ เช่น:

$$X = Y + Y^*$$

ที่ไหน $Y^*$ เป็นสำเนาอิสระของ $Y$.

• ผมหมายถึงขั้นตอนนี้เป็นลดลงครึ่งหนึ่ง ; นี่เป็นคำศัพท์ที่สร้างขึ้น มีคำที่เหมาะสมในวรรณคดีสำหรับการดำเนินการนี้หรือไม่?
• ดูเหมือนว่าฉันเช่นนั้น $Y$มีอยู่เสมอถ้าเรายอมรับความน่าจะเป็นเชิงลบ ฉันถูกต้องในการสังเกตของฉัน?
• มีความคิดในเชิงบวกที่ดีที่สุดสำหรับ$Y$? Aka ตัวแปรสุ่มที่จะเป็น "ใกล้เคียงที่สุด" เพื่อแก้สมการข้างต้น

ขอบคุณ!

ความคิดที่เกี่ยวข้องอย่างยิ่งกับคุณสมบัตินี้ (ถ้าอ่อนแอ) เป็นย่อยสลาย กฏ decomposable คือการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งสามารถแทนการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว (หรือมากกว่า) ที่ไม่น่าสนใจ (และกฎหมาย indecomposable ไม่สามารถเขียนด้วยวิธีนั้น "หรือมากกว่า" ไม่เกี่ยวข้องแน่นอน) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการย่อยสลายคือฟังก์ชั่นลักษณะ

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ เป็นผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่นคุณสมบัติสอง (หรือมากกว่า)

ผมไม่ทราบหรือไม่ว่าสถานที่ให้คุณพิจารณาแล้วมีชื่อในทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจจะเชื่อมโยงกับความลงตัวที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งของ$X$แต่ซึ่งรวมถึงคุณสมบัตินี้: rv ทั้งหมดที่แบ่งไม่สิ้นสุดทำตามการย่อยสลายนี้

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ "การแบ่งแยกหลัก" นี้คือรากของฟังก์ชันคุณลักษณะ

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ เป็นฟังก์ชั่นพิเศษอีกครั้ง

ในกรณีของการแจกแจงที่มีการสนับสนุนจำนวนเต็มจะไม่ค่อยเกิดขึ้นเนื่องจากฟังก์ชันลักษณะเป็นพหุนาม $\exp\{it\}$. ตัวอย่างเช่นตัวแปรสุ่มของ Bernoulli ไม่ได้แยกออก

ดังที่ระบุไว้ในหน้า Wikipedia เกี่ยวกับความสามารถในการสลายตัวยังมีการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ไม่ใช่การย่อยสลายเช่นเดียวกับความหนาแน่น

$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$$

ในกรณีที่ฟังก์ชั่นลักษณะของ $X$เป็นมูลค่าจริงทฤษฎีบทของ Polyaสามารถใช้ได้:

ทฤษฎีบทของPólya หากφเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่ให้คุณค่าตามจริง

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

ดังนั้นφคือฟังก์ชันลักษณะของการกระจายสมมาตรอย่างต่อเนื่อง

แน่นอนในกรณีนี้ $\varphi^{1/2}$เป็นมูลค่าที่แท้จริงอีกครั้ง ดังนั้นสภาพที่เพียงพอสำหรับ$X$การหารหลักคือφคือรูทนูน แต่มันจะใช้กับการแจกแจงแบบสมมาตรเพื่อให้เป็นของใช้ที่ จำกัด มากขึ้นกว่าทฤษฎีบท Bochner ของตัวอย่างเช่น

มีกรณีพิเศษบางอย่างที่สิ่งนี้ถือเป็นจริง แต่สำหรับ ตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องตามอำเภอใจคุณจะไม่สามารถ "แบ่งครึ่ง" ได้

• ผลรวมของสอง Binomial อิสระ$(n,p)$ ตัวแปรสุ่มเป็นแบบทวินาม$(2n,p)$ ตัวแปรสุ่มและเป็นแบบทวินาม$(2n,p)$สามารถ "ลดลงครึ่งหนึ่ง"
  การออกกำลังกาย: คิดออกว่า Binomial$(2n+1,p)$ ตัวแปรสุ่มสามารถ "ลดลงครึ่งหนึ่ง"

• ในทำนองเดียวกัน Binomial เชิงลบ$(2n,p)$ ตัวแปรสุ่มสามารถ "ลดลงครึ่งหนึ่ง"

• ผลรวมของปัวส์ซองอิสระสองตัว$(\lambda)$ ตัวแปรสุ่มคือปัวซอง$(2\lambda)$; ตรงกันข้ามปัวซอง$(\lambda)$ ตัวแปรสุ่มคือผลรวมของสองปัวซองอิสระ$(\frac{\lambda}{2})$ตัวแปรสุ่ม อันที่จริง @ @ ซีอานชี้ให้เห็นในความคิดเห็นปัวซอง$(\lambda)$ ตัวแปรสุ่มสามารถ "ลดลงครึ่งหนึ่ง" ได้บ่อยเท่าที่เราต้องการ: สำหรับจำนวนเต็มบวกแต่ละตัว $n$มันคือผลรวมของ $2^n$ ปัวซองอิสระ$\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ ตัวแปรสุ่ม

ปัญหาดูเหมือนว่าฉันที่คุณขอ "สำเนาอิสระ" มิฉะนั้นคุณก็สามารถคูณด้วย $\frac{1}{2}$? แทนที่จะเขียนสำเนา (สำเนาขึ้นอยู่กับคุณเสมอ) คุณควรจะเขียน "ตัวแปรอิสระสองตัว แต่แยกแบบสุ่มเหมือนกัน"

เพื่อตอบคำถามของคุณ

• สิ่งที่ใกล้เคียงที่สุดอาจเป็นคำศัพท์ สำหรับที่ได้รับ$X$คุณกำลังมองหาสอง iid RV พร้อมการโน้มน้าวใจ $X$.

• หากคุณยอมรับความน่าจะเป็นเชิงลบเหล่านี้จะไม่เป็นตัวแปรสุ่มอีกต่อไปเนื่องจากไม่มีพื้นที่ความน่าจะเป็นอีกต่อไป มีหลายกรณีที่คุณสามารถหาได้$Y,Y^*$ ($X$ $\lambda$-Poisson กระจาย $Y$,$Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$-Poisson- กระจาย) และกรณีที่มันเป็นไปไม่ได้ ($X$ Bernoulli เป็นตัวอย่าง)

• ฉันไม่ได้เห็นใด ๆ และผมก็ไม่สามารถคิดวิธีการที่จะทำพิธีดังกล่าวที่ดีที่สุดพอดี โดยปกติแล้วการประมาณตัวแปรสุ่มจะถูกวัดโดยบรรทัดฐานบนพื้นที่ของตัวแปรสุ่ม ฉันไม่สามารถคิดถึงการประมาณค่าของตัวแปรสุ่มโดยหรือตัวแปรที่ไม่สุ่ม

ฉันหวังว่าฉันจะช่วย