ความแปรปรวนของความสัมพันธ์กับการแปลงเชิงเส้น:

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาในBasic Econometricsรุ่นที่ 4 (Q3.11) ของ Gujarati และกล่าวว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์นั้นมีค่าคงที่เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของต้นกำเนิดและมาตราส่วนนั่นคือโดยที่ , , ,เป็นค่าคงที่โดยพลการ

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

แต่คำถามหลักของฉันคือต่อไปนี้: Letและจะจับคู่สังเกตและคิดว่าและมีความสัมพันธ์ในเชิงบวกคือ 0 ฉันรู้ว่าจะเป็นลบตามสัญชาตญาณ อย่างไรก็ตามถ้าเราใช้ , มันจะตามมาว่าซึ่งทำ ไม่สมเหตุสมผล$X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนชี้ให้เห็นช่องว่าง ขอบคุณ

ตั้งแต่ และ ความเสมอภาคจะเก็บเมื่อเท่านั้น

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$และมีทั้งเชิงบวกหรือเชิงลบทั้งสองคือ 0$c$$ac>0$