ความแตกต่างระหว่าง N และ N-1 ในการคำนวณความแปรปรวนของประชากรคืออะไร?

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมถึงมีNและN-1ขณะคำนวณความแปรปรวนของประชากร เวลาที่เราใช้Nและเมื่อไหร่ที่เราจะใช้N-1?

คลิกที่นี่สำหรับรุ่นที่ใหญ่กว่า

มันบอกว่าเมื่อประชากรมีขนาดใหญ่มากไม่มีความแตกต่างระหว่าง N และ N-1 แต่ไม่ได้บอกว่าทำไมถึงมี N-1 ตั้งแต่แรก

แก้ไข: โปรดอย่าสับสนnและn-1ใช้ในการประมาณ

แก้ไข 2: ฉันไม่ได้พูดถึงการประมาณประชากร

$N$$n$$(N-1)/N = 1-(1/N)$$1-2/N$$1-17/N$$\exp(-1/N)$

$(n-1)/n$$n$$1-1/N$

$N$$N$

$N$$N-1$$N$$N$$n$

แทนที่จะเข้าสู่วิชาคณิตศาสตร์ฉันจะพยายามทำให้เป็นคำธรรมดา หากคุณมีประชากรทั้งหมดในการกำจัดความแปรปรวน ( ความแปรปรวนของประชากร ) จะถูกคำนวณด้วยตัวNส่วน ในทำนองเดียวกันหากคุณมีเพียงตัวอย่างและต้องการคำนวณความแปรปรวนของตัวอย่างนี้คุณต้องใช้ตัวส่วนN(n ตัวอย่างในกรณีนี้) ในทั้งสองกรณีโปรดทราบว่าคุณไม่ได้ประเมินอะไรเลย: ค่าเฉลี่ยที่คุณวัดได้คือค่าเฉลี่ยจริงและความแปรปรวนที่คุณคำนวณจากค่าเฉลี่ยนั้นเป็นค่าความแปรปรวนที่แท้จริง

ตอนนี้คุณมีเพียงตัวอย่างและต้องการสรุปเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ไม่รู้จักในประชากร ในคำอื่น ๆ ที่คุณต้องการประมาณการ คุณใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณสำหรับการประมาณค่าเฉลี่ยประชากร (เพราะตัวอย่างของคุณคือตัวแทน), ตกลง เพื่อให้ได้ค่าประมาณความแปรปรวนประชากรคุณต้องแกล้งทำเป็นว่าค่าเฉลี่ยนั้นเป็นค่าเฉลี่ยประชากรจริง ๆ และดังนั้นจึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับกลุ่มตัวอย่างของคุณอีกต่อไปตั้งแต่เมื่อคุณคำนวณมัน หากต้องการ "แสดง" ว่าตอนนี้คุณได้รับการแก้ไขแล้วคุณจะจองหนึ่งการสังเกตจากตัวอย่างของคุณเพื่อ "สนับสนุน" ค่าเฉลี่ย: ไม่ว่าตัวอย่างของคุณจะเกิดอะไรขึ้นการสังเกตที่สงวนไว้เพียงครั้งเดียว ได้รับและที่เชื่อว่าไม่สำคัญต่อการสุ่มตัวอย่างฉุกเฉิน หนึ่งการสังเกตที่สงวนไว้คือ "-1"N-1 ในการคำนวณค่าความแปรปรวน

ลองนึกภาพว่าคุณรู้ค่าเฉลี่ยประชากรจริง ๆ แต่ต้องการประมาณความแปรปรวนจากกลุ่มตัวอย่าง จากนั้นคุณจะแทนที่ค่าเฉลี่ยจริงลงในสูตรสำหรับความแปรปรวนและใช้ตัวส่วนN: ไม่จำเป็นต้องมี "-1" ที่นี่เนื่องจากคุณรู้ค่าเฉลี่ยจริงคุณไม่ได้ประมาณค่าจากตัวอย่างเดียวกันนี้

โดยทั่วไปเมื่อมีเพียงเศษเสี้ยวของประชากรนั่นคือตัวอย่างคุณควรหารด้วย n-1 มีเหตุผลที่ดีที่จะทำเช่นนั้นเรารู้ว่าความแปรปรวนตัวอย่างซึ่งคูณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างโดย (n − 1) / n เป็นตัวประมาณค่าความแปรปรวนประชากรแบบไม่เอนเอียง

คุณสามารถหาหลักฐานได้ว่าตัวประมาณค่าความแปรปรวนตัวอย่างไม่เอนเอียงที่นี่: https://economictheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

นอกจากนี้หากมีการใช้ตัวประมาณความแปรปรวนประชากรนั่นคือเวอร์ชันของตัวประมาณค่าความแปรปรวนที่หารด้วย n บนตัวอย่างแทนที่จะเป็นประชากรการประมาณที่ได้รับจะมีอคติ

ในอดีตมีข้อโต้แย้งว่าคุณควรใช้ N สำหรับความแปรปรวนแบบไม่อนุมาน แต่ฉันจะไม่แนะนำอีกต่อไป คุณควรใช้ N-1 เสมอ เมื่อขนาดตัวอย่างลดลง N-1 เป็นการแก้ไขที่ดีทีเดียวสำหรับความจริงที่ว่าความแปรปรวนตัวอย่างลดลง (คุณมีแนวโน้มที่จะสุ่มตัวอย่างใกล้จุดสูงสุดของการกระจาย --- ดูรูป) ถ้าขนาดตัวอย่างใหญ่จริงมันก็ไม่สำคัญว่าจะมีความหมายอะไร

คำอธิบายทางเลือกคือประชากรเป็นโครงสร้างทางทฤษฎีที่ไม่สามารถทำได้ ดังนั้นให้ใช้ N-1 เสมอเพราะสิ่งที่คุณทำอยู่คุณจะต้องประเมินความแปรปรวนประชากร

นอกจากนี้คุณจะเห็น N-1 สำหรับการประมาณค่าความแปรปรวนจากที่นี่ในคุณอาจไม่เคยพบปัญหานี้ ... ยกเว้นในการทดสอบเมื่อครูของคุณอาจขอให้คุณแยกความแตกต่างระหว่างการอนุมานและ การวัดความแปรปรวนแบบไม่อนุมาน ในกรณีนั้นอย่าใช้คำตอบหรือเหมืองแร่ของ whuber อ้างถึงคำตอบของ ttnphns

หมายเหตุในภาพนี้ความแปรปรวนควรอยู่ใกล้กับ 1 ดูความแปรผันของขนาดตัวอย่างเมื่อคุณใช้ N เพื่อประเมินความแปรปรวน (นี่คือ "อคติ" ที่อ้างถึงทุกที่)

ความแปรปรวนประชากรคือผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าทั้งหมดในประชากรหารด้วยจำนวนค่าในประชากร เมื่อเราประเมินความแปรปรวนของประชากรจากตัวอย่างเราพบปัญหาที่ค่าเบี่ยงเบนของค่าตัวอย่างจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยน้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนเล็กน้อยของค่าตัวอย่างเหล่านั้นจาก ( ไม่ทราบ) ค่าเฉลี่ยประชากรที่แท้จริง ผลลัพธ์นั้นเป็นความแปรปรวนที่คำนวณจากกลุ่มตัวอย่างซึ่งน้อยกว่าค่าความแปรปรวนประชากรจริงเล็กน้อย การใช้ตัวหาร n-1 แทนการแก้ไข n สำหรับการประเมินค่าต่ำไป