พิสูจน์ / หักล้าง

พิสูจน์ / หักล้าง$E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

---

กำหนดพื้นที่น่าจะเป็นกรอง$(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ให้{F}$A \in \mathscr{F}$

สมมติว่ามันติดตามแล้วล่ะE [ 1 A | F s ] = E [ 1 A | F t ] เป็น∀ s > t ? ∀ s <

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ $\forall s < t$

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าหรือถ้าE [ 1 A | F t ] = p a.s สำหรับบางพี∈ ( 0 , 1 )

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

---

สิ่งที่ฉันพยายาม:

---

ถ้าดังนั้นซึ่งเหมือนกับ (เกือบจะแน่นอน) ในกรณีนี้ (เกือบแน่นอน) สำหรับแต่ละsE [ 1 A ] = 1 1 A = 1 E [ 1 A | F s ] = 1 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$$\Bbb E[1_A]=1$$1_A=1$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$$s$

ในทำนองเดียวกันถ้าดังนั้นซึ่งเหมือนกับ (เกือบจะแน่นอน) ในกรณีนี้ (เกือบแน่นอน) สำหรับแต่ละsE [ 1 A ] = 0 1 A = 0 E [ 1 A | F s ] = 0 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$$\Bbb E[1_A]=0$$1_A=0$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$$s$

ถ้าสำหรับค่าคงที่เราก็จะได้p ∈ ( 0 , 1 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$$p\in(0,1)$

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$P นี้อาจล้มเหลวหากเสื้อ$s>t$

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับกรณี:$= p$

ปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีขอบเขตF$F$$\mathscr F_t$

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

หมายความว่าและเป็นอิสระ กล่าวอีกนัยหนึ่งและเป็นอิสระ ดังนั้นและนอกจากนี้ยังมีอิสระถ้าและด้วยเหตุนี้P นี้อาจล้มเหลวหากเสื้อ F σ ( A ) F t σ ( A ) F s s < t E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p s > $1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

ฉันเดาว่าความคิดนั้นคือค่าคงที่ทั้งสองเป็นอิสระจากและวัดF$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ได้

ข้อโต้แย้งของคุณดูเหมือนจะถูกต้อง แต่คุณเริ่มจากการสมมติว่า 1 อย่างไรก็ตามคำถามระบุว่าE [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 }ซึ่งฉันอยากจะหมายความว่าตัวแปรสุ่มE [ 1 A | F t ]รับค่าในชุด{ 0 , 1 }เช่นE [ 1 A | $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$ที่B∈ Fเสื้อ การกำหนดคุณสมบัติของความคาดหวังที่มีเงื่อนไขนี้ก็คือว่า ∫ F 1 B d P = ∫ F 1 d PสำหรับทุกF∈ Fเสื้อ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการรับF=Bนำไปสู่P(B)=P(A∩B)ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าB⊂$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(ยกเว้นอาจเป็นชุดของความน่าจะเป็นศูนย์) อย่างไรก็ตามเราก็รู้ (เหมือนในข้อโต้แย้งที่คุณเขียน) ว่าเช่นP ( A ) = P ( B )ดังนั้นข้อสรุปที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือA = B (ยกเว้นอาจเป็นไปได้สำหรับชุดของความน่าจะเป็นศูนย์)$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

สำหรับ , F t ⊂ F sดังนั้นกฎหอคอยสำหรับความคาดหวังตามเงื่อนไขแสดงถึงE [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] แต่E [ 1 A | F t ] = 1 Aดังนั้นE [ 1 A | F s ] $s\gt t$$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ดังนั้นความคาดหวังตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับ s > tเท่ากับ ( 1 A ) สำหรับ s < tถ้า A ∈ F sเราจะยังคงมี E [ 1 A | F s ] = 1 ในทางกลับกันถ้าเรากลับไปที่เวลาที่ไปไม่ได้อยู่ใน F sแล้วผมไม่คิดว่าสิ่งที่สามารถจะกล่าวเกี่ยวกับ E [ 1 | F s$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$$A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$โดยทั่วไป สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมดูบทความนี้รูปที่ 1 การรับยกตัวอย่างเช่นให้ลำดับความคาดหวังตามเงื่อนไขE [ 1 A | F 0 ] = $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$,E[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$