ทำไมเมทริกซ์สำหรับการฉายภาพของการฉายฉากแบบฉากฉาก?

ฉันค่อนข้างใหม่สำหรับเรื่องนี้ดังนั้นฉันหวังว่าคุณจะยกโทษให้ฉันถ้าคำถามไร้เดียงสา (บริบท: ฉันกำลังเรียนรู้เศรษฐมิติจากหนังสือ Davidson & MacKinnon เรื่อง"เศรษฐมิติเชิงทฤษฎีและวิธีการ"และพวกเขาดูเหมือนจะไม่อธิบายสิ่งนี้ฉันยังได้ดูหนังสือการเพิ่มประสิทธิภาพของ Luenbergerที่เกี่ยวข้องกับการคาดการณ์ในระดับที่สูงขึ้นอีกเล็กน้อย ไม่มีโชค)

สมมติว่าผมมีฉากฉายกับมีการเชื่อมโยงการฉายเมทริกซ์P ฉันสนใจในการฉายแต่ละเวกเตอร์ในเป็นบางส่วนสเปซ n $\mathbb P$ $\bf P$ $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

คำถาม : ทำไมมันเป็นไปตามนั้นนั่นคือสมมาตร? ฉันสามารถดูตำราแบบใดสำหรับผลลัพธ์นี้ $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares

— weez13
แหล่งที่มา

en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

คำตอบ:

นี่คือผลลัพธ์พื้นฐานจากพีชคณิตเชิงเส้นในการทำนายมุมฉาก วิธีการที่ค่อนข้างง่ายมีดังนี้ ถ้า $u_1, \ldots, u_m$ เวกเตอร์ orthonormal ทอด $m$ มิติสเปซและเป็นเมทริกซ์กับ 's เป็นคอลัมน์แล้ว สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากความจริงที่ว่ามุมฉากของบนสามารถคำนวณได้ในแง่ของพื้นฐาน orthonormal ของเป็น $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

มันเป็นไปตามโดยตรงจากสูตรข้างต้นว่า

และ

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะให้ข้อโต้แย้งที่แตกต่างกัน ถ้าเป็นเมทริกซ์ประมาณการสำหรับการถ่ายภาพมุมฉากแล้วโดยความหมายสำหรับทุก ดังนั้น $\mathbf{P}$ $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - P y .

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$

สำหรับทุก

นี้แสดงให้เห็นว่า

ดังนั้น

0 = (P x)^{T} (y - P y) = x^{T} P^{T} (I - P) y = x^{T} (P^{T} - P^{T} P) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$

P = (P^{T})^{T} = (P^{T} P)^{T} = P^{T} P = P^{T} .

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

— NRH
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นที่ลึกซึ้งของคุณ! อย่างใดบทความ Wikipedia ซึ่งกล่าวถึงบางสิ่งบางอย่างเกี่ยวกับ adjointness adjointness ของตัวดำเนินการโยนฉันออกไปเนื่องจากหลักฐานของคุณไม่ยาก :) BTW คุณมีข้อความพีชคณิตเชิงเส้นที่ชื่นชอบที่เกี่ยวข้องกับสิ่งประเภทนี้หรือไม่?

— weez13

สมุดพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นฉันรู้ว่าดีที่สุดไม่ครอบคลุม การอ้างอิงที่ดีที่สุดที่ฉันรู้คือหนังสือขั้นสูงเกี่ยวกับการวิเคราะห์การทำงาน พีชคณิตเชิงเส้นทำถูกต้องหนังสือดูดี แต่ผมไม่ทราบว่ามัน

— NRH

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(P x)^{T} = x^{T} P^{T} .

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

ความพยายามที่ใช้สัญชาตญาณทางเรขาคณิต ... จำได้ว่า:

เมทริกซ์สมมาตรคือ adjoint ตัวเอง
ผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสจะถูกกำหนดโดยส่วนประกอบในพื้นที่เชิงเส้นร่วมกันเท่านั้น (และเป็นอิสระจากองค์ประกอบมุมฉากของเวกเตอร์ใด ๆ )

$x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

$A$

— JohnRos
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก! ก่อนที่จะอ่านความคิดเห็นของคุณฉันค่อนข้างสับสนว่าทำไมการตัดสินใจเลือกตนเองจึงมีความสำคัญที่นี่ ตอนนี้ฉันมีเงื่อนงำขอบคุณ!

— weez13