Latin Hypercube Sampling Asymptotics

ฉันกำลังพยายามสร้างหลักฐานสำหรับปัญหาที่ฉันกำลังทำอยู่และหนึ่งในข้อสมมติที่ฉันทำคือชุดของจุดที่ฉันสุ่มตัวอย่างจากนั้นหนาแน่นทั่วทั้งพื้นที่ ในทางปฏิบัติฉันใช้การสุ่มตัวอย่าง hypercube แบบละตินเพื่อให้ได้คะแนนจากพื้นที่ตัวอย่างทั้งหมด สิ่งที่ฉันอยากรู้คือถ้าตัวอย่าง hypercube ละตินมีความหนาแน่นมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดถ้าคุณปล่อยให้ขนาดตัวอย่างของคุณมีแนวโน้มที่จะ ? ถ้าเป็นเช่นนั้นการอ้างอิงสำหรับความจริงนี้จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก$\infty$

คำตอบสั้น ๆ : ใช่ในความน่าจะเป็น มันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่มีระยะทางเซตย่อยจำกัดใด ๆของพื้นที่ตัวอย่างและ 'ความอดทน'กำหนดไว้สำหรับขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่ แน่ใจว่าน่าจะเป็นที่มีจุดตัวอย่างภายในระยะไกลของเป็นสำหรับทุกม.{ x 1 , … , x m } δ > 0 ϵ x i > 1 - δ i = 1 , … , $\epsilon>0$$\{x_1,…,x_m\}$$\delta>0$$\epsilon$$x_i$$>1-\delta$$i=1,…,m$

คำตอบยาว: ฉันไม่ทราบถึงการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องโดยตรง (แต่ดูด้านล่าง) วรรณกรรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับ Latin Hypercube Sampling (LHS) เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการลดความแปรปรวน ปัญหาอื่นคือขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะเป็นหมายความว่าอย่างไร สำหรับการสุ่มตัวอย่าง IID อย่างง่าย ๆ ตัวอย่างของขนาดสามารถรับได้จากตัวอย่างขนาดโดยต่อท้ายตัวอย่างอิสระเพิ่มเติม สำหรับ LHS ฉันไม่คิดว่าคุณสามารถทำได้เนื่องจากมีการระบุจำนวนตัวอย่างล่วงหน้าเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการ ดังนั้นจึงปรากฏว่าคุณจะต้องใช้การสืบทอดของอิสระตัวอย่าง LHS ขนาด...n n - 1 1 , 2 , 3 , . $\infty$$n$$n-1$$1,2,3,...$

นอกจากนี้ยังมีความต้องการที่จะเป็นวิธีการแปลความหมายของ 'หนาแน่นในขีด จำกัด บางอย่างในขณะที่ขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะ\ความหนาแน่นดูเหมือนจะไม่เป็นไปตามที่กำหนดไว้สำหรับ LHS เช่นในสองมิติคุณสามารถเลือกลำดับของตัวอย่าง LHS ที่มีขนาดเช่นที่พวกเขาทั้งหมดยึดติดกับเส้นทแยงมุมของ 2 ดังนั้นการนิยามความน่าจะเป็นบางอย่างจึงจำเป็น อนุญาตสำหรับทุก ๆ ,เป็นตัวอย่างของขนาดสร้างขึ้นตามกลไกสุ่ม สมมติว่าสำหรับแตกต่างกันตัวอย่างเหล่านี้เป็นอิสระ จากนั้นเพื่อกำหนดความหนาแน่นแบบอะซิมโทติคเราอาจต้องการสิ่งนั้นสำหรับทุกตัวและสำหรับทุกคน$\infty$$1,2,3,...$$[0,1)^2$$n$$X_n=(X_{n1},X_{n2},...,X_{nn})$$n$$n$$\epsilon>0$$x$ในพื้นที่ตัวอย่าง (สันนิษฐานว่าเป็น ) เรามี ( เป็น )$[0,1)^d$$P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x\|\geq \epsilon)\to0$$n\to \infty$

ถ้าตัวอย่างจะได้รับโดยการกลุ่มที่เป็นอิสระจากการกระจาย ( 'IID สุ่มสุ่มตัวอย่าง') แล้วที่คือปริมาตรของลูกมิติรัศมี\แน่นอนว่าการสุ่มตัวอย่างของ IID นั้นมีความหนาแน่นแบบเชิงเส้นกำกับ$X_n$$n$$U([0,1)^d)$

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ตัวอย่างได้มาจาก LHS ทฤษฎีบท 10.1 เหล่านี้ในบันทึกระบุว่าสมาชิกของกลุ่มตัวอย่างจะกระจายทั้งหมดเป็นง) อย่างไรก็ตามการเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้ในคำจำกัดความของ LHS (แม้ว่าจะเป็นอิสระสำหรับมิติที่แตกต่างกัน) ทำให้เกิดการพึ่งพาระหว่างสมาชิกของกลุ่มตัวอย่าง ( ) ดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าสมบัติความหนาแน่นของซีมโทติค$X_n$$X_n$$U([0,1)^d)$$X_{nk}, k\leq n$

แก้ไขและ d กำหนดepsilon) เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า0 ในการทำเช่นนี้เราสามารถใช้ประโยชน์จากข้อเสนอ 10.3 ในบันทึกย่อเหล่านั้นซึ่งเป็นทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับการสุ่มตัวอย่าง Hypercube แบบละติน กำหนดโดยถ้าอยู่ในลูกบอลรัศมีรอบ ,มิฉะนั้น จากนั้นข้อเสนอ 10.3 บอกเราว่าโดยที่และ$\epsilon\gt 0$$x\in [0,1)^d$$P_n=P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x\|\geq \epsilon)$$P_n\to 0$$f:[0,1]^d\to\mathbb{R}$$f(z)=1$$z$$\epsilon$$x$$f(z)=0$$Y_n:=\sqrt n (\hat{\mu}_{LHS}-\mu)\xrightarrow{d} N(0,\Sigma)$$\mu=\int_{[0,1]^d} f(z) dz$$\hat{\mu}_{LHS}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(X_{ni})${พรรณี})

ใช้เวลา 0 ในที่สุดมีขนาดใหญ่พอสำหรับเราจะมี-L ดังนั้นในที่สุดเราจะมี-L) ดังนั้นโดยที่เป็นมาตรฐาน cdf ปกติ เนื่องจากเป็นแบบสุ่มมันจึงตามมาว่าตามต้องการ$L>0$$n$$-\sqrt n\mu\lt -L$$P_n=P(Y_n=-\sqrt n \mu)\le P(Y_n\lt -L)$$\limsup P_n\le \limsup P(Y_n\lt -L)=\Phi(\frac{-L}{\sqrt\Sigma})$$\Phi$$L$$P_n\to 0$

นี่เป็นการพิสูจน์ความหนาแน่นของ asymptotic (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) สำหรับทั้งการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มและการสุ่ม หมายความว่าเมื่อใดก็ตามที่และใด ๆในพื้นที่สุ่มตัวอย่างความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างได้ภายในของนั้นใกล้เคียงกับ 1 ตามที่คุณต้องการโดยเลือกขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอสมควร มันง่ายที่จะขยายแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของ asymptotic เพื่อนำไปใช้กับขอบเขตย่อยของพื้นที่ตัวอย่าง - โดยการใช้สิ่งที่เรารู้แล้วไปยังแต่ละจุดในเซตย่อย จำกัด อย่างเป็นทางการมากขึ้นซึ่งหมายความว่าเราสามารถแสดง: สำหรับและเซตย่อยที่ จำกัดของพื้นที่ตัวอย่าง$\epsilon$$x$$\epsilon$$x$$\epsilon>0$$\{x_1,...,x_m\}$$min_{1\leq j\leq m} P(min_{1\leq k\leq n} \|X_{nk}-x_j\|\lt \epsilon)\to 1$ (เป็น )$n\to\infty$

ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นสิ่งที่คุณต้องการหรือไม่ แต่นี่จะไป

คุณกำลังสุ่มตัวอย่าง LHSแต้มจากพูด เราจะเถียงมากอย่างไม่เป็นทางการว่าสำหรับการใด ๆจำนวนที่คาดหวังของว่าง (มากเกินไป) รูปทรงสี่เหลี่ยมขนาดในแต่ละมิติไปเป็นศูนย์n$n$$[0,1)^d$$\epsilon>0$$\epsilon$$n\to\infty$

ปล่อยดังนั้นถ้าเราแบ่งสม่ำเสมอเป็นลูกบาศก์เล็ก ๆ - microcuboidsพูด - จากความกว้างแล้วทุกความกว้าง - cuboid ประกอบด้วย อย่างน้อยหนึ่ง microcuboid ดังนั้นหากเราสามารถแสดงให้เห็นว่าจำนวน microcuboids ที่ไม่ได้สุ่มตัวอย่างที่คาดหวังนั้นเป็นศูนย์ในจำนวนที่ จำกัด เป็นเราก็เสร็จแล้ว (โปรดทราบว่าmicrocuboidsของเราถูกจัดเรียงในตารางปกติ แต่ -cuboids สามารถอยู่ในตำแหน่งใดก็ได้)$m=\lceil 2/\epsilon \rceil$$[0,1)^d$$m^d$$1/m$$\epsilon$$n\to\infty$$\epsilon$

โอกาสที่จะหายไปอย่างสิ้นเชิงจาก microcuboid ที่มีจุดตัวอย่างแรกคือซึ่งเป็นอิสระจากเนื่องจากพิกัดตัวอย่างชุดแรก (จุดตัวอย่างแรก) สามารถเลือกได้อย่างอิสระ เนื่องจากจุดตัวอย่างแรก ๆ ไม่ได้รับ microcuboid จุดตัวอย่างที่ตามมาจะพบว่ามันยากที่จะพลาด (โดยเฉลี่ย) ดังนั้นโอกาสของจุดทั้งหมดที่หายไปนั้นน้อยกว่า .$1-m^{-d}$$n$$d$$n$$(1-m^{-d})^n$

มีmicrocuboidsในดังนั้นจำนวนที่คาดหวังที่พลาดจะถูก จำกัด โดย - เนื่องจากความคาดหวังเพิ่ม - ซึ่งเป็น ศูนย์ในขีด จำกัด เป็นn$m^d$$[0,1)^d$$m^d(1-m^{-d})^n$$n\to\infty$

อัปเดต ...

(1) นี่คือภาพที่แสดงวิธีการสำหรับคุณสามารถเลือกใหญ่พอเพื่อที่ของ "microcuboids" (สี่เหลี่ยมในภาพประกอบ 2 มิตินี้) รับประกันว่ามีอย่างน้อยหนึ่ง microcuboid ภายในanyขนาดภูมิภาค ฉันได้แสดงสองภูมิภาค"แบบสุ่ม" - เลือกและมีสีม่วงสอง microcuboids ที่มีสี$\epsilon$$m$$m\times m$ $\epsilon\times\epsilon$$\epsilon\times\epsilon$

(2) พิจารณา microcuboid ใด ๆ โดยเฉพาะ มันมีปริมาณ , เศษส่วนของพื้นที่ทั้งหมด ดังนั้นตัวอย่าง LHS แรก - ซึ่งเป็นเพียงคนเดียวที่ได้รับการแต่งตั้งอย่างสมบูรณ์ได้อย่างอิสระ - จะพลาดไม่ได้กับความน่าจะเป็นd} ความจริงที่สำคัญเพียงอย่างเดียวคือว่านี่เป็นค่าคงที่ (เราจะแจ้งให้แต่เก็บคงที่) ที่น้อยกว่า1$(1/m)^d$$m^{-d}$$1-m^{-d}$$n\to\infty$$m$$1$

(3) ตอนนี้คิดว่าเกี่ยวกับจำนวนของจุดตัวอย่างม. ฉันแสดงให้เห็นในภาพ LHS ทำงานในตาข่ายเล็ก ๆ เหล่านี้ขนาด "nanocuboids" (ถ้าคุณต้องการ) ไม่ใช่ขนาดใหญ่กว่า "microcuboids" ขนาด แต่ที่จริงแล้วมันไม่สำคัญในการพิสูจน์ การพิสูจน์ต้องการเพียงคำสั่งที่โบกมือเล็กน้อยซึ่งโดยเฉลี่ยแล้วจะค่อยๆยากขึ้นเรื่อย ๆ เพื่อที่จะไม่ได้รับ microcuboid ที่กำหนดในขณะที่คุณทิ้งคะแนนมากขึ้น ดังนั้นจึงน่าจะเป็นสำหรับจุด LHS แรกที่หายไป แต่น้อยกว่าสำหรับทั้งหมดที่หายไป: นั่นคือศูนย์ในขีด จำกัด ที่เป็น$n>m$$n=6m$$n^{-1}\times n^{-1}$$m^{-1}\times m^{-1}$$1-m^{-d}$$(1-m^{-d})^n$ $n$$n\to\infty$n

(4) epsilons เหล่านี้ทั้งหมดเป็นสิ่งที่ดีสำหรับการพิสูจน์ แต่ไม่ดีสำหรับสัญชาตญาณของคุณ ดังนั้นนี่คือภาพสองภาพที่แสดงตัวอย่างจุดและด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมที่ว่างเปล่าที่ใหญ่ที่สุด (ตารางเป็นตารางสุ่มตัวอย่าง LHS - "nanocuboids" ที่อ้างถึงก่อนหน้านี้) มันควรจะเป็น "ชัดเจน" (ในความรู้สึกที่เข้าใจง่ายคลุมเครือ) ว่าพื้นที่ว่างที่ใหญ่ที่สุดจะหดเป็นขนาดเล็กโดยพลตามจำนวนจุดตัวอย่าง\$n=10$$n=50$$n\to\infty$