คุณจะอธิบายความแตกต่างระหว่างสหสัมพันธ์และความแปรปรวนร่วมได้อย่างไร

การติดตามคำถามนี้คุณจะอธิบายความแปรปรวนร่วมของคนที่เข้าใจค่าเฉลี่ยได้อย่างไร ซึ่งกล่าวถึงปัญหาของการอธิบายความแปรปรวนร่วมกับบุคคลทั่วไปทำให้เกิดคำถามคล้ายกันขึ้นมาในใจ

หนึ่งจะอธิบายให้ neophyte สถิติความแตกต่างระหว่างความแปรปรวนร่วมและสหสัมพันธ์อย่างไร ดูเหมือนว่าทั้งสองอ้างถึงการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรหนึ่งที่เชื่อมโยงกลับไปยังตัวแปรอื่น

คล้ายกับคำถามที่อ้างถึงการขาดสูตรจะดีกว่า

ปัญหาของความแปรปรวนร่วมนั้นยากที่จะเปรียบเทียบ: เมื่อคุณคำนวณความแปรปรวนร่วมของชุดของความสูงและน้ำหนักดังที่แสดงในหน่วยเมตรและกิโลกรัม (ตามลำดับ) คุณจะได้รับความแปรปรวนร่วมที่แตกต่างจากเมื่อคุณทำในหน่วยอื่น ๆ ซึ่งทำให้เกิดปัญหาสำหรับผู้ที่ทำสิ่งเดียวกันโดยมีหรือไม่มีระบบเมตริก!) แต่ก็ยากที่จะบอกได้ว่า (เช่น) ส่วนสูงและน้ำหนัก 'โควารีมากกว่า' พูดความยาวนิ้วเท้าและนิ้วของคุณหรือไม่ เพียงเพราะ 'มาตราส่วน' ความแปรปรวนร่วมที่คำนวณได้นั้นแตกต่างกัน

วิธีแก้ปัญหานี้คือ 'ทำให้ปกติ' ความแปรปรวนร่วม: คุณแบ่งความแปรปรวนร่วมโดยบางสิ่งที่แสดงถึงความหลากหลายและมาตราส่วนทั้งในความแปรปรวนร่วมและจบลงด้วยค่าที่มั่นใจได้ว่าจะอยู่ระหว่าง -1 ถึง 1: ความสัมพันธ์ ไม่ว่าหน่วยตัวแปรดั้งเดิมของคุณจะเป็นอะไรคุณก็จะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิมเสมอและสิ่งนี้จะช่วยให้แน่ใจว่าคุณสามารถทำได้ในระดับหนึ่งเปรียบเทียบว่าตัวแปรสองตัวนั้นมีความสัมพันธ์กันมากกว่าสองตัวแปรโดยการเปรียบเทียบความสัมพันธ์ของพวกเขา

หมายเหตุ: ข้างต้นถือว่าผู้อ่านเข้าใจแนวคิดความแปรปรวนร่วมอยู่แล้ว

ความต้องการของคำถามประเภทนี้ทำให้ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อย นี่คือแนวคิด / สูตรทางคณิตศาสตร์แต่ฉันต้องการพูดถึงมันในบางบริบทโดยสิ้นเชิงโดยไม่มีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ฉันยังคิดว่าควรระบุด้วยว่าพีชคณิตจริงที่จำเป็นต่อการทำความเข้าใจกับสูตรฉันคิดว่าควรได้รับการสอนให้กับคนส่วนใหญ่ก่อนการศึกษาระดับอุดมศึกษา (ไม่จำเป็นต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับพีชคณิตเมทริกซ์

ดังนั้นในตอนแรกแทนที่จะมองข้ามสูตรอย่างสิ้นเชิงและพูดถึงมันในการเปรียบเทียบที่มีมนต์ขลังและแบบฮิวริสติกลองดูสูตรแล้วพยายามอธิบายส่วนประกอบแต่ละชิ้นในขั้นตอนเล็ก ๆ ความแตกต่างในแง่ของความแปรปรวนร่วมและสหสัมพันธ์เมื่อดูสูตรควรจะชัดเจน ในขณะที่การพูดในแง่ของการเปรียบเทียบและการวิเคราะห์พฤติกรรมฉันสงสัยว่าจะทำให้เสียความคิดสองแนวคิดที่ค่อนข้างง่ายและความแตกต่างของพวกเขาในหลาย ๆ สถานการณ์

ดังนั้นขอเริ่มด้วยสูตรสำหรับความแปรปรวนร่วมตัวอย่าง (สิ่งเหล่านี้ฉันเพิ่งถ่ายและนำมาใช้จากวิกิพีเดีย);

$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$

เพื่อให้ทุกคนได้อย่างรวดเร็วให้กำหนดองค์ประกอบและการทำงานทั้งหมดในสูตรอย่างชัดเจน

• และ y iแต่ละการวัดของคุณลักษณะสองอย่างแยกกันของการสังเกตเดียวกัน$x_i$$y_i$
• และ ˉ yเป็นค่าเฉลี่ย (หรือค่าเฉลี่ย) ของแต่ละแอตทริบิวต์$\bar{x}$$\bar{y}$
• สำหรับ , ช่วยให้เพียงแค่พูดแบบนี้หมายความว่าเราแบ่งผลสุดท้ายโดยn-1$\frac{1}{n-1}$${n-1}$
• อาจเป็นสัญลักษณ์ต่างประเทศสำหรับบางคนดังนั้นจึงน่าจะมีประโยชน์ในการอธิบายการดำเนินการนี้ มันเป็นเพียงผลรวมของทั้งหมดที่ฉันแยกสังเกตและ nหมายถึงจำนวนของการสังเกต$\sum_{i=1}^{n}$$i$$n$

ณ จุดนี้ฉันอาจแนะนำตัวอย่างง่ายๆเพื่อพูดคุยเกี่ยวกับองค์ประกอบและการดำเนินงานเพื่อพูด ตัวอย่างเช่นให้สร้างตารางโดยที่แต่ละแถวสอดคล้องกับการสังเกต (และและyมีป้ายกำกับอย่างเหมาะสม) มีแนวโน้มว่าจะทำให้ตัวอย่างเหล่านี้มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้น (เช่นพูดว่าxแทนอายุและyหมายถึงน้ำหนัก) แต่สำหรับการสนทนาของเราที่นี่มันไม่ควรสำคัญ$x$$y$$x$$y$

x y
---
2 5
4 8
9 3
5 6
0 8

ณ จุดนี้ถ้าคุณรู้สึกว่าการดำเนินการผลรวมในสูตรอาจไม่ได้รับการเข้าใจอย่างสมบูรณ์คุณสามารถแนะนำมันอีกครั้งในบริบทที่ง่ายกว่ามาก พูดเพียงแค่นำเสนอว่าเหมือนกับการพูดในตัวอย่างนี้$\sum_{i=1}^{n}(x_i)$

  x
 --
  2
  4
  9
  5
+ 0
 --
 20

ตอนนี้ความยุ่งเหยิงนั้นควรจะหมดไปและเราสามารถทำงานในส่วนที่สองของสูตร) ทีนี้สมมติว่าผู้คนรู้แล้วว่าค่าเฉลี่ยคืออะไร, ˉ xและ ˉ yหมายถึง,และฉันจะพูดว่า, เมื่อคุณเสแสร้งความคิดเห็นของฉันเองก่อนหน้านี้ในโพสต์, เราสามารถอ้างถึงค่าเฉลี่ยในแง่ของฮิวริสติกแบบง่าย ๆ ของการกระจาย) จากนั้นหนึ่งสามารถใช้กระบวนการนี้ทีละการดำเนินการ คำแถลง ( x i - ˉ x$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$\bar{x}$$\bar{y}$$(x_i-\bar{x})$เป็นเพียงการตรวจสอบความเบี่ยงเบน / ระยะห่างระหว่างการสังเกตแต่ละครั้งและค่าเฉลี่ยของการสังเกตทั้งหมดสำหรับคุณลักษณะเฉพาะนั้น ดังนั้นเมื่อการสังเกตอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ยการดำเนินการนี้จะได้รับค่าที่สูงกว่า จากนั้นหนึ่งสามารถอ้างอิงกลับไปที่ตารางตัวอย่างที่กำหนดและแสดงให้เห็นถึงการดำเนินการบนเวกเตอร์ของการสังเกต$x$

x x_bar (x - x_bar)
2 4     -2
4 4      0
9 4      5
5 4      1
0 4     -4

การดำเนินการเหมือนกันสำหรับ vector แต่สำหรับการเสริมแรงคุณสามารถแสดงการดำเนินการนั้นได้เช่นกัน$y$

y y_bar (y - y_bar)
5  6     -1
8  6      2
3  6     -3
6  6      0
8  6      2

ทีนี้เงื่อนไขและ( y i - ˉ $(x_i-\bar{x})$$(y_i-\bar{y})$$(x_i-\bar{x})\cdot(y_i-\bar{y})$

จดสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อทำการคูณหากการสังเกตสองครั้งนั้นทั้งสองอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากการสังเกตที่เกิดขึ้นจะมีค่าเป็นบวกที่ยิ่งใหญ่กว่าเดิม เท่ากับค่าบวก) โปรดสังเกตว่าหากการสังเกตหนึ่งครั้งสูงกว่าค่าเฉลี่ยและอีกข้อสังเกตอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยผลลัพธ์ที่ได้จะมีขนาดใหญ่ (ในรูปแบบสัมบูรณ์) และลบ (ตามเวลาที่เป็นบวกลบจะเท่ากับจำนวนลบ) ในที่สุดโปรดทราบว่าเมื่อค่าใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของการสังเกตอย่างใดอย่างหนึ่งการคูณสองค่าจะส่งผลให้มีจำนวนน้อย เราสามารถแสดงการดำเนินการนี้ในตารางอีกครั้ง

(x - x_bar) (y - y_bar)  (x - x_bar)*(y - y_bar)
-2             -1                2
 0              2                0  
 5             -3              -15 
 1              0                0
-4              2               -8

$n-1$

(x - x_bar)*(y - y_bar)
-----------------------
   2
   0
 -15
   0
+ -8
-----
 -21

-21/(5-1) = -5.25

ณ จุดนี้คุณอาจต้องการเสริมกำลังที่มาจาก 5 แต่ควรง่ายเหมือนการอ้างอิงกลับไปที่ตารางและนับจำนวนการสังเกต (ช่วยให้ความแตกต่างระหว่างกลุ่มตัวอย่างกับประชากรอีกครั้ง)

$\rho$

$\rho = \frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x)Var(y)}}$

$Cov(x,x) = Var(x)$) และแนวคิดเดียวกันทั้งหมดที่คุณนำมาใช้กับความแปรปรวนร่วมนั้นใช้ (เช่นถ้าซีรีส์มีค่ามากมายวิธีที่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยมันจะมีความแปรปรวนสูง) อาจทราบได้ที่นี่ว่าชุดไม่สามารถมีความแปรปรวนเชิงลบเช่นกัน (ซึ่งควรมีเหตุผลตามจากคณิตศาสตร์ที่นำเสนอก่อนหน้านี้)

$Var(x)Var(y)$$\sqrt{Var(x)Var(y)}$

ฉันเข้าใจในบางสถานการณ์การรักษาระดับนี้จะไม่เหมาะสม วุฒิสภาต้องการบทสรุปผู้บริหาร ในกรณีนี้คุณสามารถอ้างถึงฮิวริสติกแบบเรียบง่ายที่ผู้คนใช้ในตัวอย่างอื่น ๆ แต่โรมไม่ได้สร้างขึ้นในวันเดียว และวุฒิสภาขอให้ผู้บริหารสรุปถ้าคุณมีเวลาน้อยบางทีคุณควรจะเอาคำพูดของฉันมันและแจกจ่ายให้กับพิธีการของการเปรียบเทียบและสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อย

$\sqrt{Var[x]Var[y]}$

นั่นคือความสัมพันธ์เป็นเพียงตัวแทนของความแปรปรวนร่วมดังนั้นผลลัพธ์จะต้องอยู่ระหว่าง -1 (มีความสัมพันธ์แบบผกผันอย่างสมบูรณ์) และ +1 (มีความสัมพันธ์เชิงบวกอย่างสมบูรณ์แบบ) โดยสังเกตว่าค่าใกล้เคียงกับศูนย์หมายความว่า

ความแปรปรวนร่วมนั้นไม่มีขอบเขตและขาดบริบทเมื่อเปรียบเทียบกับความแปรปรวนร่วมอื่น ๆ โดย Normalizing / ปรับ / มาตรฐาน covariances เป็นสหสัมพันธ์ชุดข้อมูลสามารถเปรียบเทียบได้ง่ายขึ้น

อย่างที่คุณสามารถจินตนาการได้มีหลายวิธีที่สถิติ (เช่นความแปรปรวนร่วม) สามารถทำให้เป็นมาตรฐาน / เป็นมาตรฐานได้ สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับความสัมพันธ์ระหว่างสหสัมพันธ์และความแปรปรวนร่วมเพียงสะท้อนให้เห็นถึงสถิติการประชุมที่ใช้ (กล่าวคือปรับตามค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพวกเขา):

หากคุณคุ้นเคยกับแนวคิดของการจัดกึ่งกลางและกำหนดมาตรฐาน x-xbar คือการจัดกึ่งกลาง x ที่ค่าเฉลี่ย เช่นเดียวกับ y ความแปรปรวนร่วมเพียงแค่จัดศูนย์กลางข้อมูล อย่างไรก็ตามความสัมพันธ์ไม่เพียง แต่จัดให้อยู่กึ่งกลางข้อมูลเท่านั้น แต่ยังปรับขนาดโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (มาตรฐาน) การคูณและการรวมกันนั้นคือผลคูณจุดของเวกเตอร์สองตัวและมันบอกว่าเวกเตอร์สองตัวนี้ขนานกันอย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกัน การหารของ (n-1) หรือการรับค่าที่คาดหวังคือการปรับขนาดสำหรับจำนวนการสังเกต คิด?

เท่าที่ฉันเข้าใจ สหสัมพันธ์นั้นเป็นความแปรปรวนร่วม

ความสัมพันธ์จะถูกปรับให้อยู่ระหว่าง -1 ถึง +1 ขึ้นอยู่กับว่ามีความสัมพันธ์ในเชิงบวกหรือเชิงลบและไม่มีมิติ ความแปรปรวนร่วมนั้นอยู่ในช่วงตั้งแต่ศูนย์ในกรณีของตัวแปรอิสระสองตัวถึง Var (X) ในกรณีที่ชุดข้อมูลสองชุดมีค่าเท่ากัน หน่วยของ COV (X, Y) คือหน่วยของ X คูณหน่วยของ Y