ค่าที่คาดหวังของ , ค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดภายใต้สมมติฐานว่าง

ผมอยากรู้เกี่ยวกับคำสั่งที่ทำที่ด้านล่างของหน้าแรกในข้อความนี้ เกี่ยวกับปรับ $R^2_\mathrm{adjusted}$

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

ข้อความระบุ:

ตรรกะของการปรับตัวคือต่อไปนี้: ในการถดถอยพหุคูณสามัญทำนายสุ่มอธิบายในสัดส่วนเฉลี่ย $1/(n – 1)$ ของการเปลี่ยนแปลงการตอบสนองเพื่อให้ $m$ ทำนายสุ่มอธิบายกันโดยเฉลี่ย $m/(n – 1)$ ความแปรปรวนของการตอบสนอง; ในคำอื่น ๆ ที่คาดว่าค่าตัวของ $R^2$ คือ $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ 1) การใช้สูตร[ $R^2_\mathrm{adjusted}$ ] กับค่านั้นโดยที่ตัวทำนายทั้งหมดสุ่มเลือกให้ $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$ "

นี้น่าจะเป็นแรงจูงใจที่ง่ายมากและ interpretable สำหรับ $R^2_\mathrm{adjusted}$ {} อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถระบุได้ว่า $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$ สำหรับตัวทำนายแบบสุ่มเดี่ยว (เช่นไม่มีการจับคู่)

ใครช่วยชี้ทางฉันให้ถูกทางที่นี่?

— gregory_britten
แหล่งที่มา

ในกรณีที่ลิงค์เสียชีวิตในอนาคตคุณสามารถให้ข้อมูลอ้างอิงแบบเต็มได้หรือไม่? ขอบคุณ.

— Richard Hardy

นี่คือสถิติทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ ดูโพสต์นี้สำหรับการได้มาของการแจกแจงของภายใต้สมมติฐานที่ว่า regressors ทั้งหมด (บาร์เทอมคงที่) ไม่มีการเชื่อมโยงกับตัวแปรตาม ("การทำนายแบบสุ่ม") $R^2$

การจัดจำหน่ายนี้เป็นเบต้ากับเป็นจำนวนพยากรณ์โดยไม่ต้องนับระยะคงที่และ ขนาดตัวอย่าง $m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

และอื่น ๆ

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ชาญฉลาดในการ "ปรับ" ตรรกะที่อยู่เบื้องหลังการปรับ : หากผู้ลงทะเบียนทั้งหมดไม่มีความสัมพันธ์กันจริง ๆ แล้วการปรับคือศูนย์โดยเฉลี่ย $R^2$ $R^2$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

เพียงเล็กน้อยของข้อมูลที่ฉันต้องการ! ขอบคุณ! และการแลกเปลี่ยนสดที่ยาวนาน!

— gregory_britten

ฉันสนใจในกรณีที่ regressors ไม่ทั้งหมดไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตาม คุณจะมีการอ้างอิงเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่?

— Olivier

@ Olivier ไม่ฉันไม่กลัว ดูภายใต้ "การทดสอบ F สำหรับความสำคัญของการถดถอยการแจกแจงภายใต้ทางเลือก" หรืออะไรทำนองนั้น

— Alecos Papadopoulos