ไฟล์ PDF ของ


15

สมมติว่าเป็น iid จากโดยไม่ทราบและX1,X2,...,XnN(μ,σ2)μRσ2>0

ให้ S คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่นี่Z=X1X¯S,

มันสามารถแสดงให้เห็นว่า มีไฟล์ LebesgueZ

f(z)=nΓ(n12)π(n1)Γ(n22)[1nz2(n1)2]n/22I(0,(n1)/n)(|Z|)

คำถามของฉันคือวิธีการรับ pdf นี้

คำถามคือจากที่นี่ในตัวอย่าง 3.3.4 เพื่อหา UMVUE ของP(X1c)ค) ฉันเข้าใจตรรกะและขั้นตอนเพื่อค้นหา UMVUE แต่ไม่รู้วิธีรับ PDF

ผมคิดว่าคำถามนี้ยังเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างใดอย่างหนึ่ง

ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือหรือชี้ไปที่การอ้างอิงใด ๆ ที่เกี่ยวข้องจะได้รับการจัดสรร

คำตอบ:


14

สิ่งที่น่าสนใจมากเกี่ยวกับผลลัพธ์นี้คือดูเหมือนว่าการกระจายของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ มีเหตุผล


สมมติว่าเป็นค่าปกติ bivariate ที่ไม่มีสหสัมพันธ์และความแปรปรวนทั่วไปสำหรับทั้งสองตัวแปร วาดตัวอย่าง IIDy_n) มันเป็นที่รู้จักกันดีและสร้างขึ้นอย่างง่ายดายในเชิงเรขาคณิต (เช่นเดียวกับฟิชเชอร์เมื่อหนึ่งศตวรรษก่อน) ว่าการกระจายตัวของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างσ 2 ( x 1 , y 1 ) , , ( x n , y n )(X,Y)σ2(x1,y1),,(xn,yn)

r=i=1n(xix¯)(yiy¯)(n1)SxSy

คือ

f(r)=1B(12,n21)(1r2)n/22, 1r1.

(ที่นี่ตามปกติและเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างและและเป็นรากที่สองของการประมาณค่าความแปรปรวนแบบไม่เอนเอียง) คือฟังก์ชันเบต้าซึ่งˉ y SxSyBx¯y¯SxSyB

(1)1B(12,n2-1)=Γ(n-12)Γ(12)Γ(n2-1)=Γ(n-12)πΓ(n2-1).

ในการคำนวณเราอาจใช้ความไม่แปรเปลี่ยนของมันภายใต้การหมุนในรอบเส้นที่สร้างโดยพร้อมกับความแปรปรวนของการกระจายตัวของตัวอย่างภายใต้การหมุนเดียวกัน และเลือกเป็นเวกเตอร์หน่วยใดก็ได้ที่มีผลรวมองค์ประกอบเป็นศูนย์ หนึ่งเวกเตอร์ดังกล่าวเป็นสัดส่วนกับ-1) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือR n ( 1 , 1 , , 1 ) y i / S y v = ( n - 1 , - 1 , , - 1 )RRn(1,1,...,1)Yผม/SYv=(n1,1,,1)

Sv=1n1((n1)2+(1)2++(1)2)=n.

ดังนั้นต้องมีการแจกแจงแบบเดียวกับr

i=1n(xix¯)(viv¯)(n1)SxSv=(n1)x1x2xn(n1)Sxn=n(x1x¯)(n1)Sxn=nn1Z.

ดังนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือ rescaleเพื่อค้นหาการกระจายตัวของ :rZ

fZ(z)=|nn1|f(nn1z)=1B(12,n21)nn1(1n(n1)2z2)n/22

สำหรับ{n}} สูตร (1) แสดงสิ่งนี้เหมือนกับคำถาม|z|n1n


ไม่มั่นใจอย่างสมบูรณ์? นี่คือผลลัพธ์ของการจำลองสถานการณ์นี้ 100,000 ครั้ง (ด้วยที่การแจกแจงสม่ำเสมอ)n=4

รูป

ครั้งแรกที่แปลงกราฟค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของในขณะที่แปลง histogram สองค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของสำหรับการสุ่มเลือก vectorที่คงที่สำหรับการวนซ้ำทั้งหมด พวกเขาทั้งสองเหมือนกัน พล็อต QQ- ทางด้านขวาเป็นการยืนยันว่าการแจกแจงเหล่านี้เหมือนกัน( x i , v i ) , i = 1 , , 4 ) v i(xi,yi),i=1,,4(xi,vi),i=1,,4) vi

นี่คือRรหัสที่สร้างพล็อต

n <- 4
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
par(mfrow=c(1,3))
#
# Simulate spherical bivariate normal samples of size n each.
#
x <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
y <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` and `y`.
#
sim <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], y[,i]))
hist(sim)
#
# Specify *any* fixed vector in place of `y`.
#
v <- c(n-1, rep(-1, n-1)) # The case in question
v <- rnorm(n)             # Can use anything you want
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` with `v`.
#
sim2 <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], v))
hist(sim2)
#
# Compare the two distributions.
#
qqplot(sim, sim2, main="QQ Plot")

การอ้างอิง

ชาวประมง RA, ความถี่การกระจายของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ในตัวอย่างจากประชากรที่มีขนาดใหญ่ไปเรื่อย Biometrika , 10 , 507 ดูหัวข้อ 3 (อ้างถึงในทฤษฎีขั้นสูงทางสถิติของเคนดัลล์ , 5 เอ็ด, มาตรา 16.24)


ลิงก์ไปยังข้อมูลอ้างอิงใช้งานไม่ได้
Sextus Empiricus

@Martijn ขอบคุณสำหรับการตรวจสอบ ฉันเห็นสิ่งที่คุณหมายถึง - การเชื่อมโยงใช้งานได้ แต่มันไม่ได้เกี่ยวข้องอะไรเลย! ฉันได้แก้ไขแล้ว
whuber

4

ฉันอยากจะแนะนำวิธีนี้ในการรับไฟล์ PDF ของ Z โดยการคำนวณ MVUE ของโดยตรงโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์แม้ว่ามันจะมีจำนวนไม่มากและซับซ้อนP(Xc)

เนื่องจากและ ,เป็นสถิติที่สมบูรณ์ที่สมบูรณ์ร่วม MVUE ของ จะเป็นเช่นนี้:E[I(,c)(X1)]=P(X1c)Z1=X¯Z2=S2P(Xc)

ψ(z1,z2)=E[I(,c)(X1)|z1,z2]=I(,c)fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)dx1

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทของเบย์เราจะได้

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)fX1(x1)fZ1,Z2(z1,z2)

ตัวส่วนสามารถเขียนในรูปแบบปิดเนื่องจาก ,เป็นอิสระต่อกันfZ1,Z2(z1,z2)=fZ1(z1)fZ2(z2)Z1N(μ,σ2n)Z2Γ(n12,2σ2n1)

เพื่อให้ได้รูปแบบตัวเลขที่ปิดเราสามารถนำสถิติเหล่านี้มาใช้:

W1=i=2nXin1
W2=i=2nXi2(n1)W12(n1)1

ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวอย่างและพวกเขามีความเป็นอิสระของแต่ละอื่น ๆ และยังเป็นอิสระจากX_1เราสามารถแสดงเหล่านี้ในแง่ของการZ_2X2,X3,...,XnX1Z1,Z2

W1=nZ1X1n1 ,W2=(n1)Z2+nZ12X12(n1)W12n2

เราสามารถใช้การแปลงในขณะที่ , X1=x1

fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)=nn2fW1,W2(w1,w2)=nn2fW1(w1)fW2(w2)

ตั้งแต่ ,เราสามารถรับรูปแบบปิดนี้ โปรดทราบว่าสิ่งนี้มีไว้สำหรับซึ่ง จำกัดถึงz_2}W1N(μ,σ2n1)W2Γ(n22,2σ2n2)w20x1z1n1nz2x1z1+n1nz2

ดังนั้นให้รวมเข้าด้วยกันเทอมชี้แจงจะหายไปและคุณจะได้

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)nz2(n1)(1(n(x1z1)z2(n1))2)
โดยที่และศูนย์อื่น ๆz1n1nz2x1z1+n1nz2

จากจุดนี้ ณ จุดนี้เราสามารถรับไฟล์ PDF ของโดยใช้การแปลงZ=X1z1z2

โดยวิธีการ MVUE จะเป็นเช่นนี้: ในขณะที่และจะเป็น 1 ถ้า

ψ(z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)π2θccosn3θdθ
θc=sin1(n(cz1)(n1)z1)cz1+n1nz2

ฉันไม่ใช่คนพูดภาษาอังกฤษและอาจมีประโยคที่น่าอึดอัดใจ ฉันกำลังศึกษาสถิติด้วยตัวเองด้วยการแนะนำหนังสือตำราสถิติทางคณิตศาสตร์โดย Hogg ดังนั้นอาจมีข้อผิดพลาดทางแนวคิดทางไวยากรณ์หรือคณิตศาสตร์ มันจะได้รับการชื่นชมถ้ามีคนแก้ไขพวกเขา

ขอบคุณสำหรับการอ่าน.

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.