แนวคิดสถิติเพื่ออธิบายว่าทำไมคุณถึงมีโอกาสน้อยที่จะพลิกจำนวนหัวเท่ากันกับก้อยเมื่อจำนวนการโยนเพิ่มขึ้น

ฉันทำงานเกี่ยวกับการเรียนรู้ความน่าจะเป็นและสถิติโดยการอ่านหนังสือสองสามเล่มและเขียนรหัสบางส่วนและในขณะที่การจำลองเหรียญพลิกฉันสังเกตเห็นบางสิ่งบางอย่างที่ทำให้ฉันเป็นตัวนับสัญชาตญาณไร้เดียงสาเล็กน้อย หากคุณพลิกเหรียญที่ยุติธรรมครั้งอัตราส่วนของหัวต่อหางจะแปรเปลี่ยนเป็น 1 เมื่อเพิ่มขึ้นตามที่คุณคาดหวัง แต่ในทางกลับกันเมื่อเพิ่มขึ้นปรากฏว่าคุณมีโอกาสน้อยที่จะพลิกจำนวนหัวเท่ากันเป็นหางดังนั้นจะได้อัตราส่วน1 ที่แน่นอนn $n$$n$$n$

ตัวอย่างเช่น (ผลงานบางส่วนจากโปรแกรมของฉัน)

For 100 flips, it took 27 experiments until we got an exact match (50 HEADS, 50 TAILS)
For 500 flips, it took 27 experiments until we got an exact match (250 HEADS, 250 TAILS)
For 1000 flips, it took 11 experiments until we got an exact match (500 HEADS, 500 TAILS)
For 5000 flips, it took 31 experiments until we got an exact match (2500 HEADS, 2500 TAILS)
For 10000 flips, it took 38 experiments until we got an exact match (5000 HEADS, 5000 TAILS)
For 20000 flips, it took 69 experiments until we got an exact match (10000 HEADS, 10000 TAILS)
For 80000 flips, it took 5 experiments until we got an exact match (40000 HEADS, 40000 TAILS)
For 100000 flips, it took 86 experiments until we got an exact match (50000 HEADS, 50000 TAILS)
For 200000 flips, it took 96 experiments until we got an exact match (100000 HEADS, 100000 TAILS)
For 500000 flips, it took 637 experiments until we got an exact match (250000 HEADS, 250000 TAILS)
For 1000000 flips, it took 3009 experiments until we got an exact match (500000 HEADS, 500000 TAILS)

คำถามของฉันคือ: มีแนวคิด / หลักการในสถิติ / ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่อธิบายสิ่งนี้หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นหลักการ / แนวคิดมันคืออะไร?

ลิงก์ไปยังรหัสหากใครสนใจที่จะเห็นว่าฉันสร้างสิ่งนี้อย่างไร

- แก้ไข -

สำหรับสิ่งที่คุ้มค่านี่คือวิธีที่ฉันอธิบายสิ่งนี้กับตัวเองก่อนหน้านี้ หากคุณพลิกเหรียญอย่างยุติธรรมครั้งและนับจำนวนหัวคุณจะสร้างตัวเลขสุ่ม ในทำนองเดียวกันถ้าคุณทำสิ่งเดียวกันและนับส่วนท้ายคุณก็จะสร้างเลขสุ่ม ดังนั้นถ้าคุณนับทั้งคู่คุณจะสร้างตัวเลขสุ่มสองตัวและเมื่อใหญ่ขึ้นตัวเลขสุ่มก็จะใหญ่ขึ้น และยิ่งเลขสุ่มที่คุณสร้างมีโอกาสมากขึ้นที่พวกเขาจะ "พลาด" ซึ่งกันและกัน สิ่งที่ทำให้สิ่งนี้น่าสนใจก็คือตัวเลขทั้งสองนั้นเชื่อมโยงกันในแง่หนึ่งโดยมีอัตราส่วนของการรวมเข้าหากันเมื่อพวกเขาใหญ่ขึ้นแม้ว่าตัวเลขแต่ละตัวจะถูกสุ่ม อาจจะเป็นแค่ฉัน แต่ฉันพบว่ามันดูเรียบร้อย $\mathtt n$$\mathtt n$

โปรดทราบว่ากรณีที่จำนวนหัวและจำนวนก้อยเท่ากันเท่ากับ "ครึ่งเวลาที่คุณได้หัว" ลองนับจำนวนหัวดูว่ามันเป็นครึ่งหนึ่งของการโยนหรือเปรียบเทียบสัดส่วนของหัวกับ 0.5 เท่ากัน

ยิ่งคุณพลิกจำนวนของจำนวนหัวที่เป็นไปได้มากเท่าไหร่คุณก็ยิ่งกระจายได้มากขึ้น (เช่นช่วงเวลาสำหรับจำนวนหัวที่มี 95% ของความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนการโยนที่เพิ่มขึ้น) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ครึ่งหัวจะมีแนวโน้มลดลงเมื่อเราโยนเพิ่ม

ตามลําดับสัดส่วนของหัวจะใช้ค่าที่เป็นไปได้มากขึ้น ดูที่นี่ที่เราเปลี่ยนจาก 100 tosses เป็น 200 tosses:

ด้วย 100 ทอยเราสามารถสังเกตสัดส่วนของ 0.49 หัวหรือ 0.50 หัวหรือ 0.51 หัว (และอื่น ๆ - แต่ไม่มีอะไรอยู่ระหว่างค่าเหล่านั้น) แต่ด้วย 200 ทอยเราสามารถสังเกต 0.49 หรือ 0.495 หรือ 0.50 หรือ 0.505 หรือ 0.510 - ความน่าจะเป็นมีค่ามากขึ้นที่จะ "ครอบคลุม" ดังนั้นแต่ละคนจึงมีแนวโน้มที่จะได้รับส่วนแบ่งที่น้อยลง

พิจารณากว่าที่คุณต้องกลมๆกับบางส่วนน่าจะเป็นของการได้รับหัว (เรารู้ว่าน่าจะเป็นเหล่านี้ แต่ก็ไม่ได้สำคัญสำหรับส่วนนี้) และคุณเพิ่มสองโยนเพิ่มเติม ในการโยนหัวเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด (และลงไปจากที่นั่น)$2n$$p_i$$i$$2n$$n$$p_n>p_{n\pm 1}$

โอกาสที่จะมีหัวในการโยนคืออะไร$n+1$$2n+2$

(ติดฉลากความน่าจะเป็นเหล่านี้ด้วยดังนั้นเราจึงไม่ทำให้สับสนกับค่าก่อนหน้านี้และให้ P (HH) เป็นความน่าจะเป็นของ "หัวหัว" ในการโยนถัดไปสองครั้งและอื่น ๆ )$q$

$q_{n+1} = p_{n-1} P(HH) + p_n (P(HT)+P(TH)) + p_{n+1} P(TT)$

$\qquad < p_{n} P(HH) + p_n (P(HT)+P(TH)) + p_{n} P(TT) = p_n$

นั่นคือถ้าคุณเพิ่มการโยนเหรียญอีกสองครั้งความน่าจะเป็นของค่ากลางจะลดลงตามธรรมชาติเพราะมันจะเฉลี่ยค่าที่มีโอกาสมากที่สุด (กลาง) ด้วยค่าเฉลี่ยของค่าที่เล็กลงทั้งสองข้าง)

ดังนั้นตราบใดที่คุณพอใจที่จุดสูงสุดจะอยู่ตรงกลาง (สำหรับ ) ความน่าจะเป็นที่ครึ่งหัวจะต้องลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น$2n= 2,4,6,...$$n$

---

ในความเป็นจริงเราสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับขนาดใหญ่,ลดลงตามสัดส่วนด้วย (น่าแปลกใจเนื่องจากการกระจายของจำนวนมาตรฐานของหัวเข้าสู่ภาวะปกติและความแปรปรวนของสัดส่วนของหัวลดลงด้วย )$n$$p_n$$\frac{1}{\sqrt{n}}$$n$

---

ตามที่ขอรหัส R ต่อไปนี้ที่สร้างบางสิ่งบางอย่างใกล้เคียงกับพล็อตด้านบน:

 x1 = 25:75
 x2 = 50:150
 plot(x1 / 100, dbinom(x1, 100, 0.5), type = "h",
       main = "Proportion of heads in 100 and 200 tosses",
       xlab = "Proportion of heads",
       ylab = "probability")
 points(x2 / 200, dbinom(x2, 200, 0.5), type = "h", col = 3)

เรารู้ว่ากฎของตัวเลขขนาดใหญ่คือสิ่งที่รับประกันได้ว่าข้อสรุปแรกของประสบการณ์ของคุณกล่าวคือถ้าคุณพลิกเหรียญที่ยุติธรรมครั้งอัตราส่วนของหัวต่อก้อยเข้าหา 1 เมื่อเพิ่มขึ้น $n$$n$

ดังนั้นไม่มีปัญหา อย่างไรก็ตามเกี่ยวกับกฎจำนวนมากบอกเราในสถานการณ์นี้

แต่ตอนนี้ให้คิดเกี่ยวกับปัญหานี้มากขึ้นอย่างสังหรณ์ใจ คิดเกี่ยวกับการพลิกเหรียญขนาดเล็กจำนวนครั้งตัวอย่างเช่น: n$n=2,4,8,10$

เมื่อคุณพลิกเหรียญสองครั้งคือให้คิดถึงสถานการณ์ที่เป็นไปได้ของการโยนทั้งสอง (ที่นี่จะแทนหัวและจะแทนหาง) บนพลิกกำปั้นที่คุณจะมีอากาศและพลิกสองคุณจะมีอากาศTแต่นั่นเป็นเพียงวิธีเดียวที่การพลิกทั้งสองเกิดขึ้น คุณอาจได้รับในครั้งแรกของและในครั้งที่สองและรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นในตอนท้ายของวันเมื่อคุณพลิก 2 เหรียญชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ที่คุณสามารถเห็นได้ในการโยนสองครั้งคือ และมีสถานการณ์ที่เป็นไปได้ 4 อย่างสำหรับการพลิกเหรียญ$n=2$$H$$T$$H$$T$$T$$H$

$$S=\{HH,HT,TH,TT\}$$ $n=2$

หากคุณต้องพลิก 4 เหรียญจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ที่คุณจะเห็นคือ และมีสถานการณ์ที่เป็นไปได้ 16 กรณีสำหรับการโยนเหรียญn =

$$S=\{HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTTH,TTHH,THHT,THTH,HTHT,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,TTTT\}$$ $n=4$

การโยนเหรียญนำไปสู่การรวมกัน 256 ครั้ง$n=8$

การโยนเหรียญนำไปสู่ ​​1,024 ชุด$n=10$

และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการโยนเหรียญใด ๆ ที่มีจำนวนนำไปสู่การรวมกันที่เป็นไปได้2 $n$$2^n$

ทีนี้ลองทำมุมมองความน่าจะเป็นของปัญหา เมื่อมองย้อนกลับไปในกรณีที่เรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนเฮดและก้อยเท่ากัน (กล่าวคือเมื่อคุณใส่อัตราส่วนที่แน่นอน 1) คือ เมื่อเรารู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนเฮดและก้อยเท่ากันคือ P r ( อัตราส่วนที่แน่นอน 1 ) = $n=2$n=4Pr(อัตราส่วนแน่นอน 1)=

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=\frac{2}{4}=0.5$$ $n=4$ $$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=\frac{6}{16}=0.375$$

และโดยทั่วไปเมื่อมีแนวโน้มที่จะขยายใหญ่ขึ้นเรามีความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนเฮดและก้อยเท่ากันเท่ากับ 0$n$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อเรามีที่ P r ( อัตราส่วนที่แน่นอน 1 ) → $n\rightarrow\infty$

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})\rightarrow 0$$

เพื่อตอบคำถามของคุณ จริงๆแล้วสิ่งที่คุณสังเกตคือเพียงแค่ความจริงที่ว่าจะมีการโยนเหรียญผสมกันมากขึ้นซึ่งจำนวนหัวและก้อยจะไม่เท่ากันเมื่อเทียบกับจำนวนชุดค่าผสมที่เท่ากัน

---

---

ตามที่ @Mark L. Stone แนะนำถ้าคุณพอใจกับสูตรทวินามและตัวแปรสุ่มแบบทวินามคุณก็สามารถใช้มันเพื่อแสดงอาร์กิวเมนต์เดียวกันได้

ให้เป็นจำนวนของหัวที่บันทึกไว้เมื่อพลิกเหรียญที่ยุติธรรมครั้ง เราสามารถถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มาจากการแจกแจงทวินามเช่น (ที่นี่เราถือว่าเพราะเรากำลังติดต่อกับเหรียญที่ยุติธรรม) จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับ จำนวนหัวเท่ากันกับจำนวนของก้อย (เช่นอัตราส่วนที่แน่นอน 1) คือn $X$$n$$X$p = $X\sim Bin(n,p=0.5)$$p=0.5$

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=Pr\left(X=\frac{n}{2}\right)= {n \choose n/2} 0.5^{n/2}(0.5)^{n-n/2}={n \choose n/2} 0.5^{n}$$

ตอนนี้อีกครั้งในขณะที่มีแนวโน้มที่จะขยายขนาดใหญ่, การแสดงออกดังกล่าวข้างต้นมีแนวโน้มต่อ 0 เพราะเป็นn($n$n→${n \choose n/2}0.5^n\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$

ดูสามเหลี่ยมปาสคาล

โอกาสในการพลิกเหรียญจะถูกแทนด้วยตัวเลขที่อยู่แถวล่างสุด ผลลัพธ์ของหัวและก้อยเท่ากันคือตัวเลขกลาง เมื่อต้นไม้โตขึ้น (กล่าวคือพลิกมากขึ้น) ตัวเลขกลางจะกลายเป็นสัดส่วนที่เล็กลงของผลรวมของแถวล่าง

บางทีมันอาจช่วยให้เค้าร่างได้ว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับกฎหมายอาร์ซีซีน มันบอกว่าสำหรับหนึ่งเส้นทางของผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นที่การเข้าพักเส้นทางสำหรับเวลาส่วนใหญ่อยู่ในโดเมนเชิงบวกหรือเชิงลบจะสูงกว่าว่ามันจะขึ้นและลงกว่าที่คุณคาดหวังจากสัญชาตญาณ นี่ลิงค์บางส่วน:

http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/ProbabilityTheory/Lessons/BernoulliTrials/ExcessHeads/excessheads.shtml

https://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_law

ในขณะที่อัตราส่วนของส่วนหัวต่อท้ายรวมเป็น 1 ช่วงของตัวเลขที่เป็นไปได้จะกว้างขึ้น (ฉันทำตัวเลขขึ้นมา) พูดได้ 100 คะแนนความน่าจะเป็น 90% ที่คุณมีระหว่าง 45% ถึง 55% หัว นั่นคือ 90% ที่คุณได้ 45 ถึง 55 หัว 11 ความเป็นไปได้สำหรับจำนวนหัว ประมาณ 9% โดยประมาณว่าคุณได้หัวและก้อยเท่ากัน

สมมติว่า 10,000 คะแนนความน่าจะเป็นคือ 95% ที่คุณได้รับระหว่างหัว 49% ถึง 51% อัตราส่วนนั้นเข้าใกล้ 1 มากขึ้น แต่ตอนนี้คุณมีหัวระหว่าง 4,900 ถึง 5,100 201 ความเป็นไปได้ โอกาสของตัวเลขที่เท่ากันมีค่าประมาณประมาณ 0.5% เท่านั้น

และด้วยการโยนหนึ่งล้านครั้งคุณค่อนข้างแน่ใจว่าจะมีหัวระหว่าง 49.9% ถึง 50.1% นั่นคือช่วงจาก 499,000 ถึง 501,000 หัว ความเป็นไปได้ 2,001 ตอนนี้โอกาสลดลงเหลือ 0.05%

ตกลงคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น แต่นี่ควรให้ความคิดเกี่ยวกับ "ทำไม" แม้ว่าอัตราส่วนมาใกล้ชิดกับ 1 จำนวนเป็นไปได้ที่จะกลายเป็นมากขึ้นเพื่อให้การกดปุ่มตรงครึ่งหัวหางครึ่งกลายเป็นน้อยลงและมีโอกาสน้อย

ผลกระทบที่ใช้งานได้จริง: มันไม่น่าเป็นไปได้ในทางปฏิบัติที่คุณมีเหรียญที่ความน่าจะเป็นของการโยนหัวเท่ากับ 50% อาจเป็น 49.99371% ถ้าคุณมีเหรียญที่ดีจริงๆ สำหรับการโยนเพียงเล็กน้อยก็ไม่ได้สร้างความแตกต่าง สำหรับจำนวนมากเปอร์เซ็นต์ของส่วนหัวจะรวมกันเป็น 49.99371% ไม่ใช่ 50% หากจำนวนการขว้างมีขนาดใหญ่พอการโยน 50% หรือมากกว่านั้นจะกลายเป็นเรื่องยากมาก

สิ่งหนึ่งที่ควรทราบก็คือเมื่อมีการพลิกจำนวนเท่ากัน (ไม่เช่นนั้นความน่าจะเป็นของการเท่ากันของหัวและก้อยการโยนเป็นศูนย์แน่นอน) ผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดจะเป็นอันเดียว

การกระจายของการโยนถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ดังนั้นสำหรับแม้แต่ความน่าจะเป็นคือ ( 1 + $n$n p n = 2 - n (

$$\bigl(\frac{1+x}2\bigr)^n\qquad .$$ $n$ $$p_n = 2^{-n}{n \choose n/2}\qquad .$$

ใช้การประมาณสเตอร์ลิงสำหรับคุณมาถึงบางสิ่งบางอย่างเช่น สำหรับความน่าจะเป็นว่าหัว (และตามลําดับหาง) พลิกสำหรับพลิกโดยรวม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่แน่นอนของผลลู่นี้ให้เป็น 0 แต่ช้ากว่ามากที่สุดของผลอื่น ๆ ที่มีกรณีที่มากจาก 0 หัว (หรือหรือ 0 หาง) พลิกเป็นn}p ≈ $n!$ n/2n2-

$$p \approx\frac1{\sqrt{\pi n/2}}$$ $n/2$$n$$2^{-n}$

สมมติว่าคุณพลิกเหรียญสองครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สี่ประการคือ HH, HT, TH และ TT ในสองสิ่งนี้คุณมีจำนวนหัวและก้อยเท่ากันดังนั้นจึงมีโอกาส 50% ที่คุณจะได้จำนวนหัวและก้อยเท่ากัน

ทีนี้สมมติว่าคุณพลิกเหรียญ 4,306,492,102 ครั้ง คุณคาดหวังว่าโอกาสร้อยละ 50 ที่คุณจะลมขึ้นกับว่า 2153246051 2153246051 หัวและหาง?