ความสัมพันธ์คืออะไรหากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรหนึ่งตัวคือ 0

15

ดังที่ฉันเข้าใจเราสามารถได้สหสัมพันธ์โดยการทำให้ความแปรปรวนร่วมเป็นปกติโดยใช้สมการ

ρ_{i, j} = \frac{c o v (X_{i}, X_{j})}{σ_{i} σ_{j}}

$\rho_{i,j}=\frac{cov(X_i, X_j)}{\sigma_i \sigma_j}$

ที่เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของx_i $\sigma_i=\sqrt{E[(X_i-\mu_i)^2]}$ $X_i$

ความกังวลของฉันคืออะไรถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับศูนย์? มีเงื่อนไขใด ๆ ที่รับประกันได้หรือไม่ว่าจะไม่เป็นศูนย์?

ขอบคุณ

correlation standard-deviation covariance

— chepukha
แหล่งที่มา

11

ไม่มีตัวแปรที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 อาจมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอื่น (ไม่คงที่) ความสัมพันธ์คือการวัดว่าค่าใหญ่ / เล็กในหนึ่งตัวแปรสอดคล้องกับค่าใหญ่ / เล็กในตัวแปรอื่น - ถ้าหนึ่งในตัวแปรนั้นเท่ากับค่าคงที่ที่มีความน่าจะเป็น 1 (เป็นผลมาจากการมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0) จากนั้น อาจให้ข้อมูลว่าตัวแปรอื่นมีขนาดเล็กหรือใหญ่ ฉันไม่รู้ว่าการประชุมคืออะไร แต่ดูเหมือนว่าควรกำหนดความสัมพันธ์เป็น 0 ในกรณีนั้น

— มาโคร

ขอบคุณมากครับ ฉันคิดว่าความคิดของคุณเหมือนกับคำตอบด้านล่าง อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถลงคะแนนความคิดเห็นของคุณได้เนื่องจากข้อ จำกัด ในคะแนน ขอบคุณ

— chepukha

4

คุณได้ตอบคำตอบแล้วดังนั้นฉันจะเขียนเพียงความเห็น ถ้าตัวแปรสุ่ม

มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ดังนั้น

สำหรับตัวแปรสุ่มอื่น ๆ

(ตั้งแต่

ด้วยความน่าจะเป็น

Y

$Y$

σ_{Y} = 0

$\sigma_Y = 0$

cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = 0

$\text{cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=0$

X

$X$

(Y - μ_{Y}) = 0

$(Y-\mu_Y)=0$

1

$1$ ) ดังนั้นนิยามของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

ให้รูปแบบไม่ จำกัด

ρ_{X, Y} = \frac{cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

$\rho_{X,Y}=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

. มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะนิยาม

เท่ากับ

ในกรณีนี้และสามารถป้องกันได้ในบริเวณที่มีค่า จำกัด ของ

เป็น

และอื่น ๆ

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

0

$0$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

σ_{Y} \to 0

$\sigma_Y \to 0$

— Dilip Sarwate

6

@dip ถ้ามันเป็นคำตอบก็ควรไปเป็นคำตอบ ไม่สำคัญว่าคำตอบจะได้รับการยอมรับแล้ว

— Andy W

1

@Dilip ปัญหากับ

form คือแม้ว่าจะสามารถทำให้มีค่าที่ชัดเจนโดยใช้การ จำกัด การดำเนินการค่าจะขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณใช้ขีด จำกัด ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ที่

นั้นไม่สมบูรณ์ (และไม่น่าเชื่อถือ) คุณสามารถอ้างอิงแหล่งที่มาซึ่งใช้การประชุมนี้และสนับสนุนด้วยเหตุผลที่ถูกต้องได้หรือไม่?

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y} = 0

$\rho_{X,Y}= 0$

— whuber

14

เป็นความจริงที่ว่าหากหนึ่งใน SD ของคุณเป็น 0 สมการนั้นจะไม่ได้กำหนด อย่างไรก็ตามวิธีที่ดีกว่าที่จะคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้คือถ้าหนึ่งใน SD ของคุณคือ 0 จะไม่มีความสัมพันธ์กัน ในแง่ของความคิดหลวม ๆ ความสัมพันธ์กำลังบอกคุณเกี่ยวกับวิธีที่ตัวแปรหนึ่งเคลื่อนไปรอบ ๆ เมื่อตัวแปรอื่นเคลื่อนไปมา SD ของ 0 หมายถึงว่าตัวแปรนั้นไม่ 'เคลื่อนที่ไปรอบ ๆ ' rep(constant, n_times)คุณจะต้องมีเวกเตอร์ของอย่างต่อเนื่องเช่น

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. ฉันคิดว่านั่นสมเหตุสมผล เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่ฉันไม่ได้เห็นหนังสือที่พูดถึงกรณีนี้

— chepukha

@gung ดังนั้นนี่คือข้อ จำกัด ในคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ฉันหมายถึงสมการความสัมพันธ์สามารถมีสองค่าหนึ่งได้รับในสมการข้างต้นและ 0 เมื่อ SD ของหนึ่งในตัวแปรคือ 0

— prashanth

@prashanth ฉันคิดว่า

— gung - Reinstate Monica

2

สิ่งอื่นที่คิดคือข้อสมมติฐานพื้นฐานเมื่อเราพูดถึงค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและสหสัมพันธ์

หากเรากำลังพูดถึงตัวอย่างข้อมูลหนึ่งข้อสันนิษฐานทั่วไปก็คือข้อมูลนั้น (อย่างน้อยประมาณ) กระจายตามปกติหรือสามารถเปลี่ยนรูปแบบที่มันเป็น (เช่นผ่านการแปลงบันทึก) หากคุณสังเกตว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์มีสองสถานการณ์: ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจริง ๆ แล้วไม่ใช่ศูนย์ แต่มีขนาดเล็กมากดังนั้นชุดข้อมูลที่คุณมีตัวอย่างที่อยู่บนค่าเฉลี่ย (ตัวอย่างเช่นอาจเกิดขึ้นได้ หากคุณกำลังวัดข้อมูลด้วยความแม่นยำระดับหยาบ); หรือแบบจำลองได้รับการผิดพลาด

ในสถานการณ์ที่สองนี้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความสัมพันธ์จึงเป็นตัวชี้วัดที่ไร้ความหมาย

โดยทั่วไปแล้วการแจกแจงพื้นฐานต้องมีช่วงเวลาที่ จำกัด และดังนั้นจึงไม่เป็นศูนย์เบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อให้สหสัมพันธ์เป็นแนวคิดที่ถูกต้อง

— TDC
แหล่งที่มา

อาจเป็นเรื่องที่น่าสังเกตว่าคำถามดั้งเดิมนั้นเกี่ยวกับการแจกแจง (เชิงทฤษฎี) ไม่ใช่เกี่ยวกับข้อมูล

— whuber

ถ้าเป็นเช่นนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของศูนย์จะบอกถึงการกระจายตัวที่ลดลงด้วยการวัดที่ค่าเฉลี่ย (เช่นฟังก์ชันคงที่) ... อีกครั้งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพียงทำให้รู้สึกว่าการแจกแจงพื้นฐานเป็นเรื่องปกติ หากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ PDF ของ Gaussian ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเหมาะสมและด้วยเหตุนี้จึงไม่อนุญาตในแบบจำลอง

— tdc

ฉันประหลาดใจกับการปรากฏตัวของเกาส์ในความคิดเห็นของคุณทอม ดูเหมือนว่าจะเป็นข้อ จำกัด ที่ไม่จำเป็น การมีอยู่ที่ต้องการของ pdf ก็ดูเหมือนจะมีข้อ จำกัด (หลังจากนั้นไม่มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่มี pdf) โปรดทราบเช่นกันว่า SD นั้นถูกกำหนดอย่างดี - "มีความหมาย" - เมื่อใดก็ตามที่ช่วงเวลาที่สองนั้นมีขอบเขต จำกัด ซึ่งรวมถึงอะตอมความน่าจะเป็น (ฟังก์ชัน Dirac delta ของคุณ)

— whuber

ตกลงฉันเห็นด้วยอาจจะถูก จำกัด มากเกินไป แต่โดยทั่วไปนี่คือสิ่งที่ผู้คนหมายถึงโดย SD เช่นจาก Wolfram: "ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถกำหนดได้สำหรับการแจกแจงใด ๆ ที่มี จำกัด สองช่วงเวลาแรก แต่มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสมมติว่าการแจกแจงพื้นฐานเป็นเรื่องปกติ" คุณคิดว่าถ้า SD = 0 สำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งหรือไม่สมมติฐานขั้นพื้นฐานที่เกี่ยวกับแนวคิดทางสถิติของสหสัมพันธ์นั้นไม่ได้ถูกพบเจอ?

— tdc

ใช่ทอมคำพูดสุดท้ายของคุณตรงจุดและฉันก็ยินดีด้วย อย่างไรก็ตามความคิดที่แสดงออกนั้นไม่ปรากฏเด่นชัดในการตอบของคุณ ถ้ามันอยู่ที่นั่นมันจะถูกฝังอยู่ในคำพูดเกี่ยวกับการแจกแจงปกติ, บันทึก, ฟังก์ชั่นเดลต้าและการมุ่งเน้นไปที่ข้อมูลมากกว่าการกระจายตัวเอง BTW หนึ่งควรระวังเกี่ยวกับงบสถิติที่ปรากฏบนเว็บไซต์ Wolfram: มันมุ่งเน้นไปที่คณิตศาสตร์อย่างหนักเพื่อให้ลักษณะของมันเกี่ยวกับการปฏิบัติทางสถิติอาจเป็นปัญหา นี่มันผิดปกติ: การใช้ SD มีมากกว่าการตั้งค่าการแจกแจงแบบปกติ

— whuber

2

ความสัมพันธ์คือโคไซน์ของมุมระหว่างสองเวกเตอร์ หากต้องการบอกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ Y เท่ากับศูนย์จะเหมือนกับการบอกว่าเวกเตอร์ Y- ค่าเฉลี่ย (Y) เป็นศูนย์ (หรือมากกว่านั้นอย่างจริงจังยิ่งขึ้นซึ่งแสดงถึงศูนย์ในปริภูมิเวกเตอร์ที่เหมาะสม) ดังนั้นคำถามจะกลายเป็น "ใครจะพูดอะไรได้บ้างเกี่ยวกับมุม (โคไซน์ของ) ระหว่างเวกเตอร์ศูนย์กับเวกเตอร์ X-Mean (X)? โดยทั่วไปในพื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ ที่มีผลิตภัณฑ์ภายในมุมของเวกเตอร์ที่เป็นศูนย์กับเวกเตอร์อื่น ๆ มีความหมายอย่างไร ในความคิดของฉันมีเพียงคำตอบเดียวและนั่นคือแนวคิดของ "มุม" ในสถานการณ์นี้ไม่มีความหมายดังนั้นแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์ในสถานการณ์นี้จึงไม่มีความหมาย

— David Epstein
แหล่งที่มา

0

ข้อจำกัดความรับผิดชอบฉันรู้ว่ามีคำตอบคุณภาพที่ได้รับการยอมรับอยู่แล้วดังนั้นนี่ควรเป็นการตอบสนอง แต่ฉันไม่มีคะแนนประสบการณ์ที่อนุญาต @Dilip กล่าวว่าคุณสามารถกำหนดความสัมพันธ์เป็น 0 สำหรับการประชุม แต่ดูเหมือนว่ามีปัญหาเพราะมันจะมีการตีความที่แตกต่างกันมากจากความสัมพันธ์ที่เป็นศูนย์อย่างแท้จริง (กับ SDs ที่ไม่ใช่ศูนย์) คำถามเดิมกล่าวว่า "ถ้า SD ของหนึ่งตัวแปรเป็นศูนย์" ถ้าเราแค่หยุดและคิดถึงความหมายของ 'ตัวแปร' เราก็จะได้คำตอบที่ตรงกว่า ตัวแปรที่มี 0 SD ไม่ใช่ตัวแปรเลยมันเป็นค่าคงที่ ดังนั้นในกรณีนี้คุณไม่มีตัวแปรสองตัวดังนั้นแนวคิดจึงไม่เหมาะสมที่จะนิยามความสัมพันธ์เลย

— Skye Buckner-Petty
แหล่งที่มา

หากคุณมีคะแนนไม่เพียงพอที่จะแสดงความคิดเห็นคุณไม่ควรแสดงความคิดเห็นผ่านคำตอบ

— Michael R. Chernick