เปรียบเทียบฮิสโตแกรมสองภาพโดยใช้ระยะทาง Chi-Square

18

ฉันต้องการเปรียบเทียบภาพใบหน้าสองภาพ ฉันคำนวณ LBP-histograms ของพวกเขา ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องเปรียบเทียบฮิสโตแกรมสองตัวนี้และรับบางสิ่งที่จะบอกว่าฮิสโทแกรมเหล่านี้เท่ากัน (0 - 100%)

มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้ แต่ผู้เขียนของวิธี LBP เน้น (คำอธิบายใบหน้าด้วยรูปแบบไบนารีท้องถิ่น: การประยุกต์ใช้การจดจำใบหน้า 2004) ที่ Chi-Square ระยะทางดีกว่าการแยกฮิสโทแกรมและสถิติความน่าจะเป็น

ผู้เขียนยังแสดงสูตรของระยะทาง Chi-Square:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{(x_{i} + y_{i})}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

โดยที่คือจำนวนของถังขยะคือค่าของถังขยะแรกคือค่าของถังขยะที่สอง $n$ $x_i$ $y_i$

ในงานวิจัยบางชิ้น (ตัวอย่างเช่นตระกูลระยะทางฮิสโตแกรม Quadratic-Chi) ฉันเห็นว่าสูตรของระยะทาง Chi-Square คือ:

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{(x_{i} + y_{i})}

$\cfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

และมีhttp://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htmฉันเห็นสูตรของระยะทาง Chi-Square นั่นคือ:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{y_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {y_i}$

ฉันติดอยู่กับมัน ฉันมีคำถามหลายข้อ:

ฉันควรใช้นิพจน์ใด
ฉันจะตีความผลลัพธ์ของความแตกต่างได้อย่างไร ฉันรู้ว่าความแตกต่างที่เท่ากับ 0 หมายความว่าฮิสโทแกรมทั้งสองเท่ากัน แต่ฉันจะรู้ได้อย่างไรเมื่อฮิสโทแกรมทั้งสองนั้นแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ฉันจำเป็นต้องใช้ตาราง Chi-Square สำหรับมันหรือไม่? หรือฉันจะต้องใช้เกณฑ์? โดยทั่วไปฉันต้องการทำแผนที่ความแตกต่างกับร้อยละ
เหตุใดนิพจน์ทั้งสามนี้จึงแตกต่างกัน

chi-squared histogram image-processing

— Anton Holovin
แหล่งที่มา

yi ไม่ใช่ค่าของ bin เดียวกันกับ xi แต่อยู่ในการกระจายการเปรียบเทียบแทนที่จะเป็น bin ที่สองใช่ไหม

— ReneBt

7

@Silverfish ขอขยายคำตอบโดย PolatAlemdar ซึ่งไม่ได้รับดังนั้นฉันจะพยายามขยายที่นี่

ทำไมระยะทางชื่อ chisquare? การทดสอบ chisquare สำหรับตารางฉุกเฉินขึ้นอยู่กับ ดังนั้นแนวคิดก็คือเก็บฟอร์มนี้และใช้เป็น วัดระยะทาง นี่เป็นสูตรที่สามของ OP โดยที่ตีความว่าเป็นการสังเกตและเป็นความคาดหมายซึ่งอธิบายความคิดเห็นของ PolatAlemdar "มันถูกใช้ในการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบแยกส่วน" เช่นในการทดสอบแบบพอดี รูปแบบที่สามนี้เป็นไม่ได้ฟังก์ชั่นระยะตามที่มันเป็นแบบอสมมาตรในตัวแปรและy ที่สำหรับการเปรียบเทียบฮิสโตแกรมเราจะต้องการฟังก์ชันระยะทางซึ่งมีความสมมาตร

χ^{2} = \sum_{cells} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi^2 = \sum_{\text{cells}} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

y

$y$

x

$x$ และ

y

$y$ และสองรูปแรกให้สิ่งนี้ ความแตกต่างระหว่างพวกเขาเป็นเพียงปัจจัยคงที่ซึ่งไม่สำคัญตราบใดที่คุณเพียงเลือกรูปแบบเดียวอย่างสม่ำเสมอ (แม้ว่ารุ่นที่มีปัจจัยพิเศษจะดีกว่าถ้าคุณต้องการเปรียบเทียบกับรูปแบบไม่สมมาตร) โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกันในสูตรเหล่านี้ด้วยระยะทางแบบยุคลิดแบบสแควร์นั่นไม่ใช่เรื่องบังเอิญระยะทาง chisquare เป็นน้ำหนักแบบเดียวกัน

\frac{1}{2}

$\frac12$

\frac{1}{2}

$\frac12$ ยุคลิดแบบหนึ่ง สำหรับเหตุผลที่สูตรใน OP ที่มักจะวางภายใต้การเข้าสู่ระบบรากที่จะได้รับในระยะทาง ในต่อไปนี้เราทำตามนี้

ระยะทาง Chisquare ยังใช้ในการวิเคราะห์การโต้ตอบ หากต้องการดูความสัมพันธ์กับแบบฟอร์มที่ใช้ให้เป็นเซลล์ของตารางฉุกเฉินที่มีแถวและคอลัมน์แสดงว่าผลรวมเป็นแถวและผลรวมคอลัมน์{IJ} ระยะห่างระหว่างแถว chisquareถูกกำหนดโดย $x_{ij}$ $R$ $C$ $x_{+j}=\sum_i x_{ij}$ $x_{i+}=\sum_j x_{ij}$ $l,k$

χ^{2} (l, k) = \sqrt{\sum_{j} \frac{1}{x_{+ j}} {(\frac{x_{l j}}{x_{l +}} - \frac{x_{k j}}{x_{k +}})}^{2}}

$\chi^2(l,k) = \sqrt{\sum_j \frac1{x_{+j}}\left(\frac{x_{lj}}{x_{l+}}-\frac{x_{kj}}{x_{k+}} \right)^2 }$ สำหรับกรณีที่มีเพียงสองแถว (ฮิสโทแกรมสองอัน) เหล่านี้จะกู้คืนสูตรแรกของ OP (โมดูโลเครื่องหมายราก)

EDIT

การตอบคำถามในความคิดเห็นด้านล่าง: หนังสือที่มีการพูดคุยกันเป็นระยะเวลานานในระยะทาง chisquare คือ "การวิเคราะห์ CORRESPONDENCE ANALYSIS ในภาคปฏิบัติ (ฉบับที่สอง)" โดย Michael Greenacre (Chapman & Hall) มันเป็นชื่อที่รู้จักกันดีมาจากความคล้ายคลึงกับ chisquare เช่นเดียวกับที่ใช้กับตารางฉุกเฉิน มีการกระจายแบบใด ฉันไม่เคยศึกษาเรื่องนี้ แต่อาจ (ภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง ... ) มันจะมีการกระจาย chisquare ประมาณ หลักฐานควรคล้ายกับสิ่งที่ทำกับตารางฉุกเฉินวรรณกรรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับการวิเคราะห์การติดต่อไม่ได้เข้าสู่ทฤษฎีการกระจาย กระดาษที่มีบางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องอาจจะเป็น http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382016000100023 ยังดู/stats//search?q=%22chisquare+distance%22สำหรับโพสต์ที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ ในเว็บไซต์นี้

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

ฉันขอถามได้ไหมว่าทำไมสมการสุดท้ายของคุณเรียกว่าระยะทาง chisquare มันกระจายเช่นนี้หรือไม่? คุณสามารถให้แหล่งที่มาโปรดหรือลิงค์ไปยังได้หรือไม่ ฉันไม่สามารถหามันเจอ

— LeastSquaresWonderer

1

ดูการแก้ไขของฉันด้านบน

— kjetil b halvorsen

3

ฉันพบว่าลิงก์นี้มีประโยชน์มาก: http://docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/imgproc/histograms/histogram_comparison/histogram_comparison.html

ฉันไม่แน่ใจว่าทำไม แต่ OpenCV ใช้สูตร 3 ที่คุณแสดงรายการสำหรับการเปรียบเทียบฮิสโตแกรม Chi-Square

ในความหมายฉันไม่แน่ใจว่าอัลกอริธึมการวัดใดจะให้ขอบเขตที่ จำกัด เช่น 0% ถึง 100% คุณสามารถบอกได้ว่าภาพสองภาพเหมือนกัน: ค่าสหสัมพันธ์ 1.0 หรือค่าไคสแควร์ 0.0 แต่มันยากที่จะกำหนดขีด จำกัด ว่าภาพทั้งสองแตกต่างกันอย่างไร: จินตนาการเปรียบเทียบภาพสีขาวสนิทกับภาพสีดำสนิทค่าตัวเลขอาจเป็นแบบ Infinity หรือ Not-a-Number

— รัสเซล
แหล่งที่มา

2

ในความเป็นจริงคุณสามารถใช้สิ่งที่คุณเชื่อว่าถูกต้องสำหรับกรณีของคุณ อันสุดท้ายแตกต่างกัน มันถูกใช้ในการกระจายความน่าจะเป็นที่ไม่ต่อเนื่องเป็นคนสุดท้ายที่จะได้ส่วนถ้าคุณสลับและy ที่ $x$ $y$

ส่วนอีกสองจะใช้ในการคำนวณความคล้ายคลึงกันฮิสโตแกรม

— PolatAlemdar
แหล่งที่มา

1

$x$

x

$x$

2

x

$x$

y

$y$

0

ตามที่ OP ร้องขอค่าเป็นเปอร์เซ็นต์ (สำหรับสมการ 1):

$p = \frac{\chi * S * 100}{N}$

$p$ $\chi$ $N$ $S$

เติมเต็มตามที่ร้องขอ:

การคำนวณสมการนี้สามารถมีเปอร์เซ็นต์ของความแตกต่างจากฮิสโตแกรมเต็มรูปแบบ การคำนวณนี้สำหรับฮิสโตแกรมทั้งสองจากนั้นลบอันใดอันหนึ่งออกจากกันหนึ่งอันสามารถมีเปอร์เซ็นต์แตกต่างกันได้

— Carlos Barcellos
แหล่งที่มา

2

ฉันมีเวลายากที่จะเห็นว่านี่เป็นคำตอบสำหรับคำถามใด ๆ คุณสามารถทำอย่างละเอียด?

— Laconic

สิ่งนี้จะให้ (เป็นเปอร์เซ็นต์ตามที่ร้องขอ) ฮีสโตแกรมหนึ่งแตกต่างจากฮิสโตแกรมเต็มรูปแบบอย่างไร หากคุณคำนวณสมการนี้จากฮิสโตแกรมทั้งสองเราจะทราบความแตกต่างจากอันหนึ่งไปอีกอันหนึ่งเช่นเดียวกับที่ใช้สำหรับการคำนวณสมการ

— Carlos Barcellos