ความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับเมื่อ


18

ให้และ ,... ความคาดหวังของเป็นn \ rightarrow \ inftyคืออะไร?X1U[0,1]XiU[Xi1,1]i=2,3,...X1X2Xnn


7
ข้อความอวดรู้: XiU[Xi1,1]ตั้งใจจะหมายถึงXiX1,,Xi1U[Xi1,1] ? หรือมิฉะนั้นก็อาจหมายถึงเครื่องเฉพาะในXi1 , ที่อยู่, XiXi1U[Xi1,1]1] แต่เนื่องจากหลังไม่ได้ระบุการกระจายการร่วมของX_iอย่างสมบูรณ์Xiจึงไม่ชัดเจนในทันทีว่าการคาดการณ์นั้นได้รับการกำหนดโดยไม่ซ้ำกันหรือไม่
Juho Kokkala

ผมคิดว่าในทางทฤษฎีมันควรจะปรับอากาศในทุกที่ก่อนหน้านี้XiจนถึงXi11} แต่ให้Xi1เราจะได้รับการจัดจำหน่ายสำหรับx_iXiดังนั้นฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้
usedbywho

@JuhoKokkala ตามที่ระบุไว้ก็ไม่ได้ว่าถ้าคุณอยู่กับตัวแปรสภาพก่อนXi1เพราะพวกเขาจะไม่เปลี่ยนความจริงที่ว่าXiเป็นชุด[Xi1,1]1] การกระจายของ(X1,,Xn)ดูเหมือนว่าจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์แบบสำหรับฉัน
dsaxton

@dsaxton ถ้าเราถือว่าX1U(0,1)และXiXi1U(Xi1,1),i=2,3,... , มัน ยังคงเป็นไปได้ว่าX1และX3ไม่ได้ตามเงื่อนไขอิสระเงื่อนไขในX_2X2ดังนั้นการแจกแจง(X1,X2,X3)จึงไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน
Juho Kokkala

@JuhoKokkala ถ้าฉันบอกคุณว่าX2=tการกระจายตัวของX3คืออะไร? หากคุณสามารถตอบคำถามโดยไม่ต้องนึกถึงX1 , X1และX3จะขึ้นอยู่กับว่าได้รับX2อย่างไร สังเกตว่าโปสเตอร์อื่น ๆ ไม่มีปัญหาในการจำลองลำดับนี้
dsaxton

คำตอบ:


12

คำตอบคือแน่นอน ,1/eเป็นเดาในการตอบกลับก่อนหน้านี้อยู่บนพื้นฐานของการจำลองและการประมาณ จำกัด

การแก้ปัญหาคือมาถึงได้อย่างง่ายดายโดยการแนะนำลำดับของฟังก์ชั่น[0,1] แม้ว่าเราจะสามารถไปยังขั้นตอนนั้นได้ทันที แต่มันอาจดูค่อนข้างลึกลับ ส่วนแรกของการแก้ปัญหานี้อธิบายวิธีที่หนึ่งอาจปรุงเหล่านี้ ที่สองแสดงให้เห็นว่าส่วนหนึ่งวิธีที่พวกเขาจะใช้ประโยชน์ในการหาสมการทำงานความพึงพอใจโดยฟังก์ชั่น จำกัด(t) ส่วนที่สามแสดงการคำนวณ (ประจำ) ที่จำเป็นในการแก้สมการการทำงานนี้fn:[0,1][0,1]fn(t)f(t)=limnfn(t)


1. แรงจูงใจ

เราสามารถมาถึงสิ่งนี้ได้โดยใช้เทคนิคการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ในกรณีนี้เมื่อการดำเนินการบางอย่างซ้ำแล้วซ้ำอีกไม่สิ้นสุดวงเงินจะมีอยู่เป็นจุดคงที่ของการดำเนินการนั้น กุญแจสำคัญคือการระบุการดำเนินการ

ปัญหาคือการย้ายจากเป็นE [X_1X_2 \ cdots X_ {n-1} X_n]ดูซับซ้อน มันจะง่ายเพื่อดูขั้นตอนนี้เป็นที่เกิดจากการติดX_1ตัวแปร(X_2, \ ldots, X_n)มากกว่าที่อยู่ติดกันX_nตัวแปร(X_1, X_2, \ ldots, X_ {n-1}) หากเราต้องพิจารณา(X_2, \ ldots, X_n)ตามที่อธิบายไว้ในคำถาม - ด้วยX_2กระจายอย่างสม่ำเสมอใน[0,1] , X_3มีการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขใน[X_2, 1]และอื่น ๆ - จากนั้นแนะนำX_1E [ X 1 X 2X n - 1 X n ] X 1 ( X 2 , , X n ) X n ( X 1 , X 2 , , X n - 1 ) ( X 2 , , X nE[X1X2Xn1]E[X1X2Xn1Xn]X1(X2,,Xn)Xn(X1,X2,,Xn1)(X2,,Xn)X2[0,1]X3[X2,1]X1จะทำให้เกิดการอย่างใดอย่างหนึ่งต่อมาทุกXiที่จะหดตัวลงโดยปัจจัยของ1X1ต่อขีด จำกัด บน1 1 เหตุผลนี้นำไปสู่การก่อสร้างดังต่อไปนี้ตามธรรมชาติ

ในฐานะที่เป็นเรื่องเบื้องต้นเนื่องจากมันเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เรียบง่ายที่จะหดตัวต่อหมายเลข0กว่าต่อ1ให้Yi=1Xi1 ดังนั้นY1จึงกระจายอย่างสม่ำเสมอใน[0,1]และYi+1มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอใน[0,Yi]เงื่อนไขบน(Y1,Y2,,Yi)สำหรับi=1,2,3,. เราสนใจสองสิ่ง:

  1. ค่า จำกัด ของ(1-y_n)]E[X1X2Xn]=E[(1Y1)(1Y2)(1Yn)]

  2. วิธีค่าเหล่านี้ทำงานเมื่อหดตัวทั้งหมดสม่ำเสมอต่อ : นั่นคือโดยการปรับพวกเขาทั้งหมดโดยบางส่วนปัจจัยร่วมกัน ,1Yi0t0t1

ด้วยเหตุนี้กำหนด

fn(t)=E[(1tY1)(1tY2)(1tYn)].

เห็นได้ชัดว่าแต่ละถูกกำหนดและต่อเนื่อง (อนันต์อนุพันธ์ได้จริง) สำหรับจริงทั้งหมดที เราจะมุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมของพวกเขาสำหรับเสื้อ \ in [0,1]fntt[0,1]


2. ขั้นตอนสำคัญ

ต่อไปนี้ชัดเจน:

  1. แต่ละfn(t)เป็นฟังก์ชัน monotonically ลดลงจาก[0,1]เพื่อ[0,1][0,1]

  2. fn(t)>fn+1(t)สำหรับทุกnn

  3. fn(0)=1สำหรับทุกnn

  4. E(X1X2Xn)=fn(1).

เหล่านี้บ่งบอกว่าที่มีอยู่สำหรับทุกและ 1f(t)=limnfn(t)t[0,1]f(0)=1

สังเกตว่าเงื่อนไขบนตัวแปรมีรูปแบบเหมือนกันในและตัวแปร (มีเงื่อนไขกับตัวแปรก่อนหน้าทั้งหมด) มีรูปแบบเดียวกันใน : นั่นคือ ,ตอบสนองความแม่นยำเงื่อนไขความพึงพอใจโดย{n-1}) ดังนั้นY1Y2/Y1[0,1]Yi+1/Y1[0,Yi/Y1](Y2/Y1,Y3/Y1,,Yn/Y1)(Y1,,Yn1)

fn(t)=E[(1tY1)E[(1tY2)(1tYn)|Y1]]=E[(1tY1)E[(1tY1Y2Y1)(1tY1YnY1)|Y1]]=E[(1tY1)fn1(tY1)].

นี่คือความสัมพันธ์แบบวนซ้ำที่เรากำลังมองหา

ในวงเงินที่เป็นมันจึงต้องเป็นกรณีที่สำหรับกระจายอย่างสม่ำเสมอในเป็นอิสระจากทั้งหมด ,nY[0,1]Yi

f(t)=E[(1tY)f(tY)]=01(1ty)f(ty)dy=1t0t(1x)f(x)dx.

นั่นคือจะต้องเป็นจุดคงที่ของการทำงานที่fL

L[g](t)=1t0t(1x)g(x)dx.

3. การคำนวณโซลูชัน

ล้างส่วนโดยการคูณทั้งสองข้างด้วยเสื้อเนื่องจากด้านขวามือเป็นส่วนสำคัญเราอาจแยกมันออกมาเทียบกับให้1/ttt

f(t)+tf(t)=(1t)f(t).

เท่าเมื่อลบและหารทั้งสองข้างด้วย ,f(t)t

f(t)=f(t)

สำหรับ1 เราอาจจะขยายต่อเนื่องนี้โดยจะรวม 0 ด้วยสภาวะเริ่มต้น (3)ที่ไม่ซ้ำกันแก้ปัญหาคือ0<t1t=0f(0)=1

f(t)=et.

ดังนั้นโดย (4) ความคาดหวังที่ จำกัด ของคือ , QEDX1X2Xnf(1)=e1=1/e


เพราะMathematicaดูเหมือนจะเป็นเครื่องมือที่นิยมสำหรับการศึกษาปัญหานี้ที่นี่เป็นMathematicaรหัสในการคำนวณและพล็อสำหรับขนาดเล็กและnพล็อตของแสดงการบรรจบกันอย่างรวดเร็วถึง (แสดงเป็นกราฟสีดำ)fnnf1,f2,f3,f4et

a = 0 <= t <= 1;
l[g_] := Function[{t}, (1/t) Integrate[(1 - x) g[x], {x, 0, t}, Assumptions -> a]];
f = Evaluate@Through[NestList[l, 1 - #/2 &, 3][t]]
Plot[f, {t,0,1}]

รูป


3
(+1) การวิเคราะห์ที่สวยงาม
พระคาร์ดินัล

ขอบคุณสำหรับการแบ่งปันกับเรา มีบางคนที่ยอดเยี่ยมจริงๆที่นั่น!
เฟลิเป้เจอราร์ด

4

ปรับปรุง

ฉันคิดว่ามันเป็นเดิมพันที่ปลอดภัยว่าคำตอบคือ E ฉันใช้อินทิกรัลสำหรับค่าที่คาดหวังจากถึงโดยใช้Mathematicaและกับฉันได้รับ1/en=2n=100n=100

0.367879441171442321595523770161567628159853507344458757185018968311538556667710938369307469618599737077005261635286940285462842065735614

(ถึง 100 ตำแหน่งทศนิยม) ส่วนกลับของค่านั้นคือ

2.718281828459045235360287471351873636852026081893477137766637293458245150821149822195768231483133554

ความแตกต่างกับส่วนกลับและนั้นคือe

-7.88860905221011806482437200330334265831479532397772375613947042032873*10^-31

ฉันคิดว่ามันใกล้เกินไปฉันกล้าพูดว่าเป็นเรื่องบังเอิญ

Mathematicaรหัสต่อไปนี้:

Do[
 x = Table[ToExpression["x" <> ToString[i]], {i, n}];
 integrand = Expand[Simplify[(x[[n - 1]]/(1 - x[[n - 1]])) Integrate[x[[n]], {x[[n]], x[[n - 1]], 1}]]];
 Do[
   integrand = Expand[Simplify[x[[i - 1]] Integrate[integrand, {x[[i]], x[[i - 1]], 1}]/(1 - x[[i - 1]])]],
   {i, n - 1, 2, -1}]
  Print[{n, N[Integrate[integrand, {x1, 0, 1}], 100]}],
 {n, 2, 100}]

สิ้นสุดการอัพเดต

นี่เป็นความคิดเห็นที่ขยายเพิ่มเติมมากกว่าคำตอบ

หากเราไปตามเส้นทางที่ดุร้ายโดยกำหนดค่าที่คาดไว้สำหรับค่าหลายค่าของบางทีอาจมีบางคนจำรูปแบบแล้วจึงสามารถ จำกัด ได้n

สำหรับเรามีค่าที่คาดหวังของผลิตภัณฑ์n=5

μn=01x11x21x31x41x1x2x3x4x5(1x1)(1x2)(1x3)(1x4)dx5dx4dx3dx2dx1

ซึ่งเป็น 96547/259200 หรือประมาณ 0.3724807098765432

ถ้าเราลดอินทิกรัลจาก 0 เป็น 1 เราจะมีพหุนามในโดยมีผลลัพธ์ต่อไปนี้สำหรับถึง (และฉันทิ้งการห้อยเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น):x1n=1n=6

x

(x+x2)/2

(5x+5x2+2x3)/12

(28x+28x2+13x3+3x4)/72

(1631x+1631x2+791x3+231x4+36x5)/4320

(96547x+96547x2+47617x3+14997x4+3132x5+360x6)/259200

ถ้ามีคนรู้จักรูปแบบของค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มอาจจะกำหนดขีด จำกัด เป็น (หลังจากทำการรวมจาก 0 ถึง 1 ที่ถูกลบออกเพื่อแสดงพหุนามพื้นฐาน)n


1/eสวยงามมาก! :)
wolfies

4

เป็นคำถามที่ดี เช่นเดียวกับความคิดเห็นด่วนฉันจะทราบว่า:

  • Xnจะมารวมกันเป็น 1 อย่างรวดเร็วดังนั้นสำหรับการตรวจสอบ Monte Carlo การตั้งค่าจะเป็นการหลอกลวงมากกว่าn=1000

  • หากแล้วโดยการจำลอง Monte Carlo เป็น ,0.367Zn=X1X2XnnE[Zn]0.367

  • แผนภาพต่อไปนี้เป็นการเปรียบเทียบไฟล์จำลอง Monte Carlo pdf ของกับการกระจายฟังก์ชั่นการใช้พลังงาน [เช่นเบต้า (a, 1) pdf)]Zn

f(z)=aza1

... ที่นี่พร้อมพารามิเตอร์ :a=0.57


(ที่มา: tri.org.au )

ที่อยู่:

  • เส้นโค้งสีน้ำเงินแสดงถึงรูปแบบไฟล์ PDF ของของ Monte CarloZn
  • เส้นประประสีแดงเป็นไฟล์ PDF PowerFunction

พอดีจะดูดีสวย

รหัส

นี่คือภาพวาดปลอม 1 ล้านตัวของผลิตภัณฑ์ (พูดด้วย ) โดยใช้Mathematica :Znn=1000

data = Table[Times @@ NestList[RandomReal[{#, 1}] &, RandomReal[], 1000], {10^6}];

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ:

 Mean[data]

0.367657


คุณสามารถแบ่งปันรหัสทั้งหมดของคุณได้หรือไม่ โซลูชันของฉันแตกต่างจากของคุณ

1
สัญลักษณ์แสดงหัวข้อแรกซึ่งมีความสำคัญไม่ปรากฏว่ามีเหตุผลเพียงพอ ทำไมคุณสามารถยกเลิกผลกระทบของการพูด, ค่าต่อไปของ ? แม้จะมีการบรรจบกันอย่างรวดเร็ว แต่ผลสะสมของพวกเขาสามารถลดความคาดหวังได้อย่างมาก x n10100xn
whuber

1
ใช้การจำลองได้ดีที่นี่ ฉันมีคำถามที่คล้ายกันเป็น @whuber เราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าค่าดังกล่าวแปรสภาพเป็น 0.367 แต่ไม่ได้ลดลงไปซึ่งอาจเป็นไปได้ถ้ามีขนาดใหญ่กว่า n
usedbywho

ในการตอบกลับความคิดเห็น 2 ข้อด้านบน: (a) ชุดอย่างรวดเร็วมากถึง 1 แม้จะเริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้นที่ภายในระยะการวนซ้ำ 60 ครั้งจะแยกไม่ออกตัวเลขจากตัวเลข 1.0 ไปยังคอมพิวเตอร์ . ดังนั้นการจำลองกับจึงเป็นการ overkill (b) ในฐานะส่วนหนึ่งของการทดสอบ Monte Carlo ฉันยังตรวจสอบการจำลองเดียวกัน (ด้วยการวิ่ง 1 ล้านครั้ง) แต่ใช้มากกว่า 1,000 และผลลัพธ์ไม่สามารถแยกแยะได้ ดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้ที่ค่าที่มากกว่าของจะสร้างความแตกต่างที่มองเห็นได้: เหนือ ,นั้นมีประสิทธิภาพ 1.0X 1 = 0.1 X 60 X n n = 1,000 n = 5,000 n n = 100 X nXiX1=0.1X60Xnn=1000n=5000nn=100Xn
wolfies

0

หมดจดอย่างสังหรณ์ใจและตามคำตอบอื่น ๆ ของ Rusty ฉันคิดว่าคำตอบควรเป็นดังนี้:

n = 1:1000
x = (1 + (n^2 - 1)/(n^2)) / 2
prod(x)

0.3583668ซึ่งจะช่วยให้เรา สำหรับแต่ละคุณจะแยก( , 1 )ในช่วงครึ่งปีที่เริ่มออกที่0 ดังนั้นจึงเป็นผลิตภัณฑ์ของ1 / 2 , ( 1 + 3 / 4 ) / 2 , ( 1 + 8 / 9 ) / 2ฯลฯX(a,1)a01/2,(1+3/4)/2,(1+8/9)/2

นี่เป็นเพียงสัญชาตญาณ


ปัญหาเกี่ยวกับคำตอบของ Rusty คือ U [1] นั้นเหมือนกันในทุก ๆ การจำลอง การจำลองไม่เป็นอิสระ การแก้ไขสำหรับเรื่องนี้เป็นเรื่องง่าย ย้ายบรรทัดด้วยU[1] = runif(1,0,1)ไปที่ภายในลูปแรก ผลลัพธ์คือ:

set.seed(3)    #Just for reproducibility of my solution

n = 1000    #Number of random variables
S = 1000    #Number of Monte Carlo samples

Z = rep(NA,S)
U = rep(NA,n)

for(j in 1:S){
    U[1] = runif(1,0,1)
    for(i in 2:n){
        U[i] = runif(1,U[i-1],1)
    }
    Z[j] = prod(U)
}

mean(Z)

0.3545284นี้จะช่วยให้


1
แก้ไขง่ายมาก! ฉันเดาว่ามันเป็นความจริงมีข้อผิดพลาดในรหัสเสมอ! ฉันจะตอบคำตอบของฉัน

1
ใช่นั่นคือสิ่งที่ฉันคาดหวังว่าจะเกิดขึ้นเพราะคุณเสียบค่าที่คาดหวังไว้เป็นขอบเขตที่ต่ำกว่า

1
ฉันเรียกใช้รหัสของคุณด้วยและได้รับ0.3631297เป็นคำตอบ นั่นไม่ใช่เรื่องแปลกเพราะถ้ามันรวมเข้ากับค่าจะไม่ยิ่งทำให้เราเข้าใกล้คุณค่านั้นมากขึ้นใช่ไหม S=100000.3631297
usedbywho
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.