ถ้าและนั่นคือ ?

9

นี่ไม่ใช่การบ้าน

ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่ม ถ้า $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ และ $\text{Var}[X] = 0$ มันเป็นไปตามที่ $\Pr\left(X = k\right) = 1$ หรือไม่?

อย่างสังหรณ์ใจดูเหมือนว่าชัดเจน แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันจะพิสูจน์มันได้อย่างไร ฉันรู้สำหรับข้อเท็จจริงที่ว่าจากสมมติฐานที่มันตามที่ $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ 2 ดังนั้น

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ นี่ดูเหมือนจะไม่นำฉันไปทุกที่ ฉันลอง

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ ตั้งแต่นี้

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ ตามด้วย

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ เช่นกัน

แต่ถ้าฉันต้องใช้ความเท่าเทียม

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ จากนั้นสัญชาตญาณลำไส้ของฉันก็คือ

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ เพื่อให้

X \equiv k

$X \equiv k$ k

ฉันจะรู้สิ่งนี้ได้อย่างไร ฉันคิดว่าหลักฐานโดยความขัดแย้ง

ถ้าไปในทางตรงกันข้าม $X \neq k$ สำหรับทุก $X$ แล้ว $(X-k)^2 > 0$ และ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ สำหรับทุกX $X$ เรามีความขัดแย้งดังนั้น $X \equiv k$ k

เสียงพิสูจน์ของฉัน - และถ้าเป็นเช่นนั้นอาจมีวิธีที่ดีกว่าในการพิสูจน์ข้อเรียกร้องนี้หรือไม่?

probability

— clarinetist
แหล่งที่มา

@ user777 ฉันลองใช้วิธีนั้น แต่เดิม (ดังที่คุณเห็นในสมการ ) แต่ไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการต่อไปได้อย่างไร

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetist

3

ฉันเชื่อว่าความไม่เท่าเทียมของ Chebyshev ตอบคำถามนี้ทันที

— whuber

@whuber: อย่างน้อยคำแถลงของ Wikipedia เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมของ Chebyshevต้องมีความแปรปรวนที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างชัดเจน ผมไม่เห็นว่าเราจะต้องชนิดของหลักฐานเบื้องต้นบางอย่างสำหรับกรณีศูนย์แปรปรวน ...

— สเตฟาน Kolassa

1

@Stephan คุณสามารถผสมในการแจกแจงแบบไม่แจกแจงใด ๆ กับช่วงและใช้ความไม่เท่าเทียมกันเพื่อแสดงว่าสำหรับทั้งหมดและทุก0

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

นี่คือการพิสูจน์ทางทฤษฎีการวัดเพื่อเสริมอื่น ๆ โดยใช้คำจำกัดความเท่านั้น เราทำงานในพื้นที่น่าจะเป็นP) ขอให้สังเกตว่าและพิจารณาหนึ่งomega) สมมติว่าสำหรับบางมีอยู่ดังกล่าวว่าบนและ 0 จากนั้นใกล้เคียงจากด้านล่างดังนั้นโดยคำจำกัดความมาตรฐานของในฐานะที่เป็นสุดยอดของปริพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายซึ่งประมาณจากด้านล่าง $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้น ,0 เสร็จสิ้น

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— Ekvall
แหล่งที่มา

5

พิสูจน์ด้วยการโต้แย้ง โดยนิยามของความแปรปรวนและสมมติฐานของคุณคุณมี

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

ที่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นXโปรดทราบว่าทั้งสองและนั้นไม่ติดลบ $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

ทีนี้ถ้างั้น $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

มีวัดมากกว่าศูนย์และU แต่แล้ว $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

( อาจมีการรวมอาร์กิวเมนต์สไตล์ไว้ที่นี่ด้วย) และดังนั้น $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

และความขัดแย้งของคุณ

— สเตฟาน Kolassa
แหล่งที่มา

2

คืออะไร ? นั่นเหมือนกับใช่ไหม? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

อย่างไรก็ตามมันชัดเจนว่า

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

สมมติ

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

แล้วก็

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

ขั้นตอนสุดท้ายที่ฉันเชื่อว่าเกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของความน่าจะเป็น ... หรือสิ่งที่คุณทำ

เอาใจใส่ยังเซฟของความไม่เท่าเทียมกัน :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

การพูดคุยที่ดีอีกครั้ง

Btw ทำไมมันเป็นอย่างนั้น

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

ฉันว่าในขณะที่ $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
แหล่งที่มา

1

ใช่คุณพูดถูก ฉันได้แก้ไขโพสต์

— Clarinetist

@Clarinetist แก้ไขฉันแล้วเช่นกัน: P

— BCLC