การแปลงสถิติคำสั่งซื้อ

สมมติว่าตัวแปรสุ่มและเป็นอิสระและกระจาย แสดงว่ามีแจกแจง $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

ฉันได้เริ่มต้นปัญหานี้ด้วยการตั้งค่า $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ แล้ว $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ จะกระจายเป็น $(\frac{z}{a})^{2n}$ และ $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ จะกระจายเป็น $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ ความหนาแน่นสามารถพบได้ง่ายเหมือนกับ $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ และ $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

นี่คือที่ฉันมีเวลายากที่จะรู้ว่าจะไปที่ไหนต่อไปตอนนี้สิ่งเหล่านี้จะถูกคำนวณ ฉันคิดว่ามันต้องทำอะไรบางอย่างกับการเปลี่ยนแปลง แต่ฉันไม่แน่ใจ ...

self-study data-transformation order-statistics

— ซูซาน
แหล่งที่มา

แน่นอนคุณต้องถือว่านอกเหนือจากที่ไม่เพียง แต่เป็น

X_{i}

$X_i$ และ

Y_{i}

$Y_i$ IID แต่ยัง

X_{i}

$X_i$ มีความเป็นอิสระของY_j

Y_{j}

$Y_j$ ระบุว่าคุณคิดว่าจะทำงานโดยตรงกับ

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ หรือไม่

— whuber

@ เมื่อความคิดของฉันจากความคิดเห็นของคุณคือการตั้งค่าการแปลงที่ฉันแก้ความหนาแน่นของ n * log (Z

_{i}

$_i$ )?

— Susan

ฉันทำการฟอร์แมตใหม่เล็กน้อย (โดยเฉพาะการเปลี่ยนและเป็น and ) แต่ถ้าคุณไม่ชอบมันเป็นอย่างไรคุณสามารถย้อนกลับไปเป็นเวอร์ชั่นก่อนหน้า (โดยคลิกที่ลิงค์ "แก้ไข <x> ที่ผ่านมา" เหนือ gravatar ของฉันที่ด้านล่างโพสต์ของคุณ) จากนั้นคลิกลิงก์ "ย้อนกลับ" ด้านบนเวอร์ชันก่อนหน้าของคุณ

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b -Reinstate Monica

Susan คุณดูเหมือนจะตีความผิด / อ่านคำถามผิด คำถามนี้หาอัตราส่วนของตัวส่วนที่อ้างถึง : โดยที่เป็นสถิติลำดับสูงสุดของ s และเป็นสถิติลำดับสูงสุดของ s กล่าวอีกนัยหนึ่ง หาขั้นต่ำ (maxX, maxY) ไม่ใช่ขั้นต่ำของ s และทั้งหมดดังนั้นคุณจึงไม่สามารถใช้กลลวง Z ของคุณได้ เพื่อทำให้แบน / รวมค่า X และ Y ทั้งหมด .......

\frac{สูงสุด (Y_{(n)}, X_{(n)})}{นาที (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies

ในกรณีใด ๆ และเป็นเรื่องแยกต่างหากไม่มีประเด็น (ตามที่คุณทำ) คำนวณความหนาแน่นของและแยกความหนาแน่นของเนื่องจากสถิติลำดับที่แตกต่างกันไม่ได้ อิสระโดยทั่วไป หากต้องการค้นหาอัตราส่วนของอันดับแรกจะต้องค้นหาไฟล์ PDF ร่วมของหากเป็นปัญหา ที่มือ (ซึ่งไม่ใช่)

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— wolfies

คำตอบ:

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้จากคำจำกัดความเพียงอย่างเดียว: การคำนวณขั้นสูงเพียงอย่างเดียวคือส่วนสำคัญของ monomial

ข้อสังเกตเบื้องต้น

มาทำงานกับตัวแปรและตลอด: สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแต่มันทำให้ iid ด้วยการแจกแจงเครื่องแบบกำจัดการปรากฏที่น่ารำคาญของในการคำนวณ ดังนั้นเราอาจสมมติโดยไม่สูญเสียความเป็นไปได้ทั่วไป $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

ทราบว่าเป็นอิสระของและจำหน่ายชุดของพวกเขาบ่งบอกว่าตัวเลขใด ๆที่ , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

ราคา (Y \geq Y_{(n)}) = ราคา (Y \geq Y_{1}, ..., Y \geq Y_{n}) = ราคา (Y \geq Y_{1}) \dots ราคา (Y \geq Y_{n}) = Y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

ที่มีผลเหมือนกันผู้ถือหุ้นสำหรับ{(n)} สำหรับการอ้างอิงในอนาคตสิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

สารละลาย

ให้เป็นจำนวนจริงบวก หากต้องการค้นหาการแจกแจงของให้แทนที่คำจำกัดความและทำให้ความไม่เท่าเทียมเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

เหตุการณ์นี้แบ่งออกเป็นสองกรณีที่สามารถพึ่งพาได้ขึ้นอยู่กับว่าหรือมีขนาดเล็กกว่าของทั้งสอง (และจุดตัดที่มีความน่าจะเป็นศูนย์) ดังนั้นเราต้องคำนวณโอกาสของกรณีเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง (พูดว่ามีขนาดเล็กกว่า) และเพิ่มเป็นสองเท่า ตั้งแต่ ,ทำให้เรา (เมื่อให้เพื่อเล่นบทบาท จาก ) เพื่อใช้การคำนวณในส่วนเบื้องต้น: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

นั่นคือสิ่งที่มันหมายถึงที่จะมีประสบการณ์การจัดจำหน่าย $Z_n$ $(1)$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันจะร่างวิธีการแก้ปัญหาที่นี่โดยใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์เพื่อทำสิ่งที่น่ารังเกียจ ...

สารละลาย

ถ้าเป็นตัวอย่างของขนาดบน parent ดังนั้นไฟล์ pdf ของตัวอย่างสูงสุดคือ: และในทำนองเดียวกันสำหรับY $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

วิธีที่ 1:ค้นหาไฟล์ PDF ร่วมของ $(X_{(n)},Y_{(n)})$

เนื่องจากและมีความเป็นอิสระรูปแบบไฟล์ PDF ร่วมของจำนวนสูงสุดของตัวอย่างสูงสุด 2 ตัวอย่างเป็นเพียงผลคูณของ pdf 2 ตัวกล่าวว่า : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

ได้รับ {(n)})} จากนั้น cdf ของคือคือ: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

ที่ฉันใช้Probฟังก์ชั่นจากชุดmathStaticaสำหรับMathematicaอัตโนมัติ ความแตกต่างของ cdf wrtให้ผลเป็น pdf ของเป็นเลขชี้กำลังมาตรฐาน $z$ $Z_n$

วิธีที่ 2:สถิติการสั่งซื้อ

เราสามารถใช้สถิติการสั่งซื้อเพื่อ 'บายพาส' กลไกของการจัดการกับฟังก์ชั่น Max และ Min

อีกครั้ง: ถ้าเป็นตัวอย่างขนาดบน parent ดังนั้นไฟล์ pdf ของตัวอย่างสูงสุดคือ พูด : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

ตัวอย่างสูงสุดและเป็นเพียงภาพวาดอิสระสองภาพจากการกระจายนี้ เช่นและสถิติการสั่งซื้อของ (ในตัวอย่างขนาด 2) เป็นเพียงสิ่งที่เรากำลังมองหา: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

PDF ข้อต่อของในตัวอย่างขนาด 2 คือคือ: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

ได้รับ {(n)})} จากนั้น cdf ของคือคือ: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

ข้อดีของวิธีนี้คือการคำนวณความน่าจะไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นสูงสุด / นาทีอีกต่อไปซึ่งอาจทำให้เกิดความยากลำบากในการแสดง

อื่น ๆ

ตามความคิดเห็นของฉันด้านบนดูเหมือนว่าคุณได้ตีความคำถามผิดไป ...

เราถูกขอให้ค้นหา:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

โดยที่ตัวส่วนเป็น min (xMax, yMax), ... ไม่ใช่ค่าต่ำสุดของและทั้งหมด $X$ $Y$

— wolfies
แหล่งที่มา

ตามร่างของคุณฉันเข้าใจว่าฉันตีความคำถามผิดไปอย่างไร ฉันเข้าใจวิธีคำนวณ pdf ร่วมของค่าสูงสุดตัวอย่างทั้งสอง แต่ฉันยังไม่แน่ใจว่าเราจะตีความอัตราส่วนสูงสุด / นาทีได้อย่างไร

— ซูซาน

ฉันได้เพิ่มการสืบทอดทางเลือกโดยใช้สถิติการสั่งซื้อซึ่ง 'หลีกเลี่ยง' สูงสุด / นาที

— wolfies

ถ้าคุณได้เริ่มต้นด้วยการบันทึกของข้อมูลที่ซูซานแล้วคุณจะมองที่แตกต่างจากสถิติการสั่งซื้อมากกว่าอัตราส่วน

— whuber

ฉันไม่มั่นใจในการใช้คอมพิวเตอร์การคำนวณอย่างเป็นทางการเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายสาเหตุที่อัตราส่วนเป็นตัวแปรสุ่ม Exp (1)

— ซีอาน

จุดที่ดี ... ยกเว้น OP ไม่ได้ถามเหตุผล ... แต่เพื่อแสดงว่ามันคือ Exp [1] ฉันไม่แน่ใจด้วยว่าการบ้าน (หรือการมอบหมาย) ... และนั่นคือข้อดีข้อหนึ่งของการใช้คอมพิวเตอร์: มีขั้นตอนในการติดตามตรวจสอบผลลัพธ์เพื่อให้มีแนวทางที่ถูกต้อง แต่กลไกยังคงอยู่ใน OP น่าจะดีสำหรับบางคนที่จะสำรวจคำแนะนำของ @ whuber เกี่ยวกับการบันทึกเมื่อเริ่มต้น

— wolfies