คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของ Infill Asymptotics

ฉันกำลังเขียนกระดาษที่ใช้ asymptotics infill และหนึ่งในผู้ตรวจสอบของฉันได้ขอให้ฉันให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของสิ่งที่ asymptotics infill คือ (เช่นมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และสัญกรณ์)

ฉันดูเหมือนจะไม่พบสิ่งใดในวรรณคดีและหวังว่าจะมีใครบางคนชี้แนะฉันในทิศทางของบางคนหรือให้คำจำกัดความที่เขียนด้วยตัวเอง

หากคุณไม่คุ้นเคยกับ infill asymptotics (หรือที่เรียกว่า asymptotics ของโดเมนแบบคงที่) พวกเขามีดังต่อไปนี้: Infill asymptotics ขึ้นอยู่กับการสังเกตที่มีความหนาแน่นมากขึ้นในบางพื้นที่ที่แน่นอนและมีขอบเขตเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น

ระบุไว้มิฉะนั้น infill asymptotics เป็นที่เก็บข้อมูลเพิ่มเติมโดยการสุ่มตัวอย่างหนาแน่นขึ้นในโดเมนคงที่

ฉันได้ดู Stein 1999 และ Cressie 1993 แล้ว แต่ไม่มีอะไร "ทางคณิตศาสตร์" ที่นั่นอย่างเข้มงวด

นี่คือข้อความที่ยกมาจากกระดาษของฉัน

ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะรับรู้ชนิดของ asymptotics ที่เรากำลังเผชิญอยู่ ในกรณีของเรา asymptotics ที่เราจัดการนั้นมีพื้นฐานมาจากการสังเกตที่หนาแน่นมากขึ้นในบางพื้นที่ที่แน่นอนและมีขอบเขตเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น asymptotics ประเภทนี้เรียกว่าasymptotics แบบโดเมนคงที่ (Stein, 1999) หรือasymptotics infill (Cressie, 1993) Infill asymptotics ที่เก็บข้อมูลได้มากขึ้นโดยการสุ่มตัวอย่างหนาแน่นขึ้นในโดเมนคงที่จะมีบทบาทสำคัญในการช่วยเราพัฒนาอาร์กิวเมนต์สำหรับ ...

ไม่มีใครสังเกตได้ฉันกำลังสุ่มตัวอย่างการสังเกตของฉันโดยใช้การสุ่มตัวอย่าง hypercube แบบละติน

นี่คือสิ่งที่หนังสือของ Cressie พูดถึงเกี่ยวกับ asymptotics infill

asymptotics definition

มาตรา 5.8 Infill Asymptoticsในฉบับแรก (1991) ของหนังสือของ Cressie ชัดเจน แม้ว่ามันจะไม่ได้ให้คำจำกัดความในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ตัวอย่าง (ของ asymptotics ที่ "ละเอียดอ่อนกว่า infill") ได้รับอย่างชัดเจนสองหน้าในภายหลังโดยใช้สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถอ้างคำอธิบายกระดาษ "infill asymptotics" ของกระดาษของคุณเองได้ไหม?

— whuber

@whuber ฉันได้เพิ่มการเสนอราคาให้กับคำถามเดิม

ขอบคุณ. คำพูดนั้นดูเหมือนจะไม่เฉพาะเจาะจงเพียงพอ คุณจะลองสุ่มตัวอย่างโดเมนแบบคงที่ได้อย่างไร ตัวอย่าง (เสนอโดย Cressie) คือคุณสุ่มตัวอย่างหนึ่งจุดจากนั้นตลอดไปหลังจากนั้นตัวอย่างในคลัสเตอร์รอบ ๆ จุดที่แตกต่างกัน ซึ่งน่าจะมีพฤติกรรมแบบอะซิมโทติคที่แตกต่างจากการสุ่มตัวอย่างด้วยกระบวนการปัวซองแบบเอกพันธ์

— whuber

@ เมื่อฉันกำลังใช้ตัวอย่าง hypercube แบบละติน

โปรดรวมข้อมูลนั้นไว้ในคำถามของคุณเพราะเป็นสิ่งสำคัญสำหรับคำตอบ

— whuber

คำตอบ:

คำจำกัดความของ infill asymptotics ไม่มีประโยชน์อย่างยิ่ง (ในทางเทคนิคถ้าโดเมนยังคงที่และขนาดของตัวอย่างเพิ่มขึ้นนั่นคือ infill asymptotics แต่พิจารณากรณีที่คุณสุ่มตัวอย่างจากการตัดต่อจาก 0 ถึง 1 โดยรับหนึ่งตัวอย่างใน 0,1 / 2, อีกตัวอย่างใน 1 / 2,3 / 4, อีกตัวอย่างในช่วง 3/4, 7/8 เป็นต้นคุณจะสามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่ 1 ได้มากมาย แต่จะไม่สามารถพูดได้มากนัก อื่น.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

บางครั้ง infill ไม่ได้รับอย่างชัดเจนมีเพียงการออกแบบที่ได้รับ ยกตัวอย่างเช่นในกระดาษโดยLahiri (บนความไม่แน่นอนของ Estimators ตาม Spatial Data ภายใต้ Infill Asymptotics) เขาอธิบายการออกแบบที่เป็นหลัก 'jittered' กริด (สุ่มบางส่วนเป็นระดับเล็ก ๆ subregions) ที่หนาแน่น asymptotically ในโดเมนคงที่ เขาได้รับผลลัพธ์ (พบได้ทั่วไปสำหรับปัญหา infill) ว่าพารามิเตอร์ Variogram ส่วนใหญ่คาดว่าไม่สอดคล้องกัน

Lahiri, Lee และ Cressie (ในการกระจายแบบซีมโทติคและประสิทธิภาพเชิงซีเอ็นโทติคของตัวประมาณกำลังสองน้อยที่สุดของพารามิเตอร์วาไรตี้เชิงอวกาศ, J.StatPlanInf 2002, ปีที่ 103, หน้า 65-85) พิจารณากริด infill ที่ใกล้เคียงกันอย่างเป็นระบบ ตัวอย่างหนาแน่น

(ผลทั่วไปสำหรับตัวอย่างหนาแน่นคือเนื่องจาก infill asymptotics เป็นกระบวนการเดียวในการสร้างปริภูมิพารามิเตอร์เดียวของตัวแปรที่แท้จริง (ประชากรสุดยอด) ที่สามารถประมาณค่าได้อย่างต่อเนื่องคือความชันที่ศูนย์ แต่การคาดการณ์นั้นดีขึ้นเรื่อย ๆ )

— AlaskaRon
แหล่งที่มา

คุณรู้วิธีพิสูจน์ข้อความนี้หรือไม่? "สำหรับ subregions ทั้งหมดของพื้นที่ for, สำหรับ ϵ> 0, ความน่าจะเป็นของตัวอย่างที่เกิดขึ้นใน subregion ใกล้ถึง 1 เมื่อ n →∞ตัวอย่างเช่นนี้มีความหนาแน่นในโดเมน"

ϵ

$\epsilon$

คุณรู้จากเอกสารใด ๆ ที่บอกว่าละติน Hypercubes มีความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับหรือไม่?

เริ่มจากคำนิยามของการสุ่มตัวอย่างภาษาละตินไฮเปอร์คิวบ์เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนและสร้างสัญกรณ์ จากนั้นเราสามารถกำหนด infym asymptotics

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

ค_{ยังไม่มีข้อความ} ({ผม}_{1}, {ผม}_{2}, ..., {ผม}_{d}) = [{ล.}_{1} + {ผม}_{1} δ_{1} (ยังไม่มีข้อความ), {ล.}_{1} + ({ผม}_{1} + 1) δ_{1} (ยังไม่มีข้อความ)) \times \dots [{ล.}_{d} + {ผม}_{d} δ_{d} (ยังไม่มีข้อความ), {ล.}_{d} + ({ผม}_{d} + 1) δ_{d} (ยังไม่มีข้อความ)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{{ผม}_{J}^{1}, {ผม}_{J}^{2}, ..., {ผม}_{J}^{ยังไม่มีข้อความ}} = {1, 2, ..., ยังไม่มีข้อความ}, J = 1, 2, ..., d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (ยังไม่มีข้อความ) = {(Z_{1}^{ยังไม่มีข้อความ}, Y_{1}^{ยังไม่มีข้อความ}), ..., (Z_{ยังไม่มีข้อความ}^{ยังไม่มีข้อความ}, Y_{ยังไม่มีข้อความ}^{ยังไม่มีข้อความ})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ ของ (ตำแหน่งการสังเกต) ค่า

Asymptotics Infill

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

{เสื้อ}_{1} (X (1)), {เสื้อ}_{2} (X (2)), ..., {เสื้อ}_{ยังไม่มีข้อความ} (X (ยังไม่มีข้อความ)), ...

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— whuber
แหล่งที่มา