ค่าสูงสุดของสัมประสิทธิ์การแปรผันสำหรับชุดข้อมูลที่มีขอบเขต

17

ในการอภิปรายทำตามคำถามล่าสุดเกี่ยวกับว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถสูงกว่าค่าเฉลี่ยได้หรือไม่คำถามหนึ่งถูกยกให้สั้น ๆ แต่ไม่เคยตอบอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นฉันถามมันที่นี่

พิจารณาชุดของ $n$ ตัวเลขไม่ติดลบ $x_i$ ที่ $0 \leq x_i \leq c$ สำหรับ $1 \leq i \leq n$ nไม่จำเป็นต้องให้ $x_i$ แตกต่างนั่นคือเซตอาจเป็นหลายเซ็ต ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของชุดถูกกำหนดเป็น

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, σ_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - {\bar{x}}^{2}

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ~~ \sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar{x}^2$ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

σ_{x}

$\sigma_x$ x

โปรดทราบว่าชุดของตัวเลขไม่ใช่ตัวอย่างจากประชากรและเราไม่ได้ประมาณค่าเฉลี่ยประชากรหรือความแปรปรวนของประชากร คำถามคือ:

ค่าสูงสุดของคืออะไร $\dfrac{\sigma_x}{\bar{x}}$ สัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงมากกว่าตัวเลือกทั้งหมดของ $x_i$ 's ในช่วง $[0,c]$ ?

ค่าสูงสุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับ $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ คือ $\sqrt{n-1}$ ซึ่งทำได้เมื่อ $n-1$ ของ $x_i$ มีค่า $0$ และส่วนที่เหลือ (นอก) $x_i$ มีค่า $c$ , ให้ แต่นี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเลยและฉันสงสัยว่าถ้าค่าที่มากขึ้นอาจขึ้นอยู่กับทั้งและสามารถทำได้

\bar{x} = \frac{c}{n}, \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} = \frac{c^{2}}{n} \Rightarrow σ_{x} = \sqrt{\frac{c^{2}}{n} - \frac{c^{2}}{n^{2}}} = \frac{c}{n} \sqrt{n - 1} .

$\bar{x} = \frac{c}{n},~~ \frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{c^2}{n} \Rightarrow \sigma_x = \sqrt{\frac{c^2}{n} - \frac{c^2}{n^2}} = \frac{c}{n}\sqrt{n-1}.$

c

$c$

n

$n$

c

$c$

ความคิดใด ๆ ฉันแน่ใจว่าคำถามนี้ได้รับการศึกษาในวรรณคดีทางสถิติมาก่อนและดังนั้นการอ้างอิงถ้าไม่ได้ผลลัพธ์ที่แท้จริงจะได้รับการชื่นชมมาก

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณพูดถูกว่าเป็นสิ่งที่มีค่าที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และฉันก็ประหลาดใจที่

ไม่สำคัญ เย็น.

c

$c$

— Peter Flom - Reinstate Monica

7

ไม่ควรส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์เช่น

c

$c$

ไม่เปลี่ยนแปลงถ้าค่าทั้งหมดจะถูกคูณด้วยค่าคงที่ใด ๆ ในเชิงบวกk

\frac{σ_{x}}{\bar{x}}

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$

k

$k$

— เฮนรี่

15

รูปทรงเรขาคณิตให้ความเข้าใจที่ลึกซึ้งและความไม่เท่าเทียมแบบคลาสสิกที่เข้าถึงได้ง่าย

วิธีการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

เรารู้จากรูปทรงเรขาคณิตของสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุดนั่นเป็นการประมาณการมุมฉากของเวกเตอร์ของข้อมูล $\mathbf{\bar{x}} = (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$ บน สเปซย่อยเชิงเส้นที่สร้างโดยเวกเตอร์คงที่และ $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $(1,1,\ldots,1)$ $\sigma_x$ เป็นสัดส่วนโดยตรงกับ (แบบยุคลิด) ระยะห่างระหว่างและ ข้อ จำกัด ที่ไม่ใช่การปฏิเสธคือเส้นตรงและระยะทางเป็นฟังก์ชันนูนดังนั้นระยะทางไกลสุดขั้วต้องบรรลุที่ขอบของกรวยที่กำหนดโดยข้อ จำกัด กรวยนี้เป็น orthant ในเชิงบวกในและขอบที่มีพิกัดแกนไหนได้ทันทีตามที่ทุกคน แต่หนึ่งในต้องเป็นศูนย์ที่ระยะทางสูงสุด สำหรับชุดข้อมูลดังกล่าวการคำนวณโดยตรง (ง่าย) จะแสดง $\mathbf{x}$ $\mathbf{\bar{x}}.$ $\mathbb{R}^n$ $x_i$ $\sigma_x/\bar{x}=\sqrt{n}.$

โซลูชันที่ใช้ประโยชน์จากความไม่เท่าเทียมแบบดั้งเดิม

$\sigma_x/\bar{x}$ ถูกปรับให้เหมาะสมพร้อมกันกับการแปลงแบบโมโนโทนิกใด ๆ เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} = \frac{1}{n} (\frac{n - 1}{n} {(\frac{σ_{x}}{\bar{x}})}^{2} + 1) = f (\frac{σ_{x}}{\bar{x}}) .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} = \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right)^2+1\right) = f\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right).$

(The formula for $f$ may look mysterious until you realize it just records the steps one would take in algebraically manipulating $\sigma_x/\bar{x}$ to get it into a simple looking form, which is the left hand side.)

An easy way begins with Holder's Inequality,

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} \leq (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) max ({x_{i}}) .

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \le \left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\max(\{x_i\}).$

(This needs no special proof in this simple context: merely replace one factor of each term $x_i^2 = x_i \times x_i$ by the maximum component $\max(\{x_i\})$ : obviously the sum of squares will not decrease. Factoring out the common term $\max(\{x_i\})$ yields the right hand side of the inequality.)

$x_i$ $0$ $\sigma_x/\bar{x}$

\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} \leq \frac{max ({x_{i}})}{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}} .

$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} \le \frac{\max(\{x_i\})}{x_1+x_2+\ldots+x_n}.$

Because the denominator cannot be less than the numerator (which itself is just one of the terms in the denominator), the right hand side is dominated by the value $1$ , which is achieved only when all but one of the $x_i$ equal $0$ . Whence

\frac{σ_{x}}{\bar{x}} \leq f^{- 1} (1) = \sqrt{(1 \times (n - 1)) \frac{n}{n - 1}} = \sqrt{n} .

$\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \le f^{-1}\left(1\right) = \sqrt{\left(1 \times (n - 1)\right)\frac{n}{n-1}}=\sqrt{n}.$

Alternative approach

Because the $x_i$ are nonnegative and cannot sum to $0$ , the values $p(i) = x_i/(x_1+x_2+\ldots+x_n)$ determine a probability distribution $F$ on $\{1,2,\ldots,n\}$ . Writing $s$ for the sum of the $x_i$ , we recognize

\begin{aligned} \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})^{2}} & = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{s^{2}} \\ = (\frac{x_{1}}{s}) (\frac{x_{1}}{s}) + (\frac{x_{2}}{s}) (\frac{x_{2}}{s}) + \dots + (\frac{x_{n}}{s}) (\frac{x_{n}}{s}) \\ = p_{1} p_{1} + p_{2} p_{2} + \dots + p_{n} p_{n} \\ = E_{F} [p] . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} &= \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{s^2} \\ &= \left(\frac{x_1}{s}\right)\left(\frac{x_1}{s}\right)+\left(\frac{x_2}{s}\right)\left(\frac{x_2}{s}\right) + \ldots + \left(\frac{x_n}{s}\right)\left(\frac{x_n}{s}\right)\\ &= p_1 p_1 + p_2 p_2 + \ldots + p_n p_n\\ &= \mathbb{E}_F[p]. }$

The axiomatic fact that no probability can exceed $1$ implies this expectation cannot exceed $1$ , either, but it's easy to make it equal to $1$ by setting all but one of the $p_i$ equal to $0$ and therefore exactly one of the $x_i$ is nonzero. Compute the coefficient of variation as in the last line of the geometric solution above.

— whuber
แหล่งที่มา

Thanks for a detailed answer from which I have learned a lot! I assume that the difference between the

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ in your answer and the

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$ that I obtained (and Henry confirmed) is due to the fact that you are using

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$ as the definition of

σ_{x}

$\sigma_x$ while I used

σ_{x} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} ?

$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}?$

— Dilip Sarwate

1

Yes Dilip, that's right. Sorry about the discrepancy with the question; I should have checked first and I should have defined

σ_{x}

$\sigma_x$ (which I intended to do but forgot).

— whuber

10

Some references, as small candles on the cakes of others:

Katsnelson and Kotz (1957) proved that so long as all $x_i \ge 0$ , then the coeﬃcient of variation cannot exceed $\sqrt{n − 1}$ . This result was mentioned earlier by Longley (1952). Cramér (1946, p.357) proved a less sharp result, and Kirby (1974) proved a less general result.

Cramér, H. 1946. Mathematical methods of statistics. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Katsnelson, J., and S. Kotz. 1957. On the upper limits of some measures of variability. Archiv für Meteorologie, Geophysik und Bioklimatologie, Series B 8: 103–107.

Kirby, W. 1974. Algebraic boundedness of sample statistics. Water Resources Research 10: 220–222.

Longley, R. W. 1952. Measures of the variability of precipitation. Monthly Weather Review 80: 111–117.

I came across these papers in working on

Cox, N.J. 2010. The limits of sample skewness and kurtosis. Stata Journal 10: 482-495.

which discusses broadly similar bounds on moment-based skewness and kurtosis.

— Nick Cox
แหล่งที่มา

8

With two numbers $x_i \ge x_j$ , some $\delta \gt 0$ and any $\mu$ :

(x_{i} + δ - μ)^{2} + (x_{j} - δ - μ)^{2} - (x_{i} - μ)^{2} - (x_{j} - μ)^{2} = 2 δ (x_{i} - x_{j} + δ) > 0.

$(x_i+\delta - \mu)^2 + (x_j - \delta - \mu)^2 - (x_i - \mu)^2 - (x_j - \mu)^2 = 2\delta(x_i - x_j +\delta) \gt 0.$

Applying this to $n$ non-negative datapoints, this means that unless all but one of the $n$ numbers are zero and so cannot be reduced further, it is possible to increase the variance and standard deviation by widening the gap between any pair of the data points while retaining the same mean, thus increasing the coefficient of variation. So the maximum coefficient of variation for the data set is as you suggest: $\sqrt{n-1}$ .

$c$ should not affect the result as $\frac{\sigma_x}{\bar{x}}$ does not change if all the values are multiplied by any positive constant $k$ (as I said in my comment).

— Henry
แหล่งที่มา