ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม iid

ฉันมาข้ามมานี้ซึ่งผมไม่เข้าใจ: ถ้า$X_1, X_2, ..., X_n$เป็นตัวอย่างแบบสุ่มขนาด n นำมาจากประชากรของค่าเฉลี่ย$\mu$และความแปรปรวน$\sigma^2$จากนั้น

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

นี่คือที่ฉันหลงทาง อาร์กิวเมนต์ที่ใช้คือ$E(X_i) = \mu$เนื่องจากมีการแจกแจงแบบเดียวกัน ในความเป็นจริงมันไม่เป็นความจริง สมมติว่าฉันมีตัวอย่าง$S=\{1,2,3,4,5,6\}$แล้วถ้าสุ่มเลือก 2 ตัวเลขด้วยการแทนที่และทำซ้ำขั้นตอนนี้ 10 ครั้งจากนั้นฉันจะได้รับ 10 ตัวอย่าง: (5, 4) (2 , 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1) นี่คือวิธีที่ดูเหมือนว่าสำหรับ 2 ตัวแปรสุ่ม$X_1, X_2$ 2 ตอนนี้ถ้าฉันใช้ค่าความคาดหวังของ$X_1$ฉันเข้าใจ

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

แต่ค่าคาดหวังของประชากรคือ 3.5 มีอะไรผิดปกติในการให้เหตุผลของฉัน?

ครั้งแรกของทั้งหมดไม่ใช่ตัวอย่าง ตัวแปรเหล่านี้เป็นตัวแปรสุ่มตามที่ Tim อธิบาย สมมติว่าคุณกำลังทำการทดลองซึ่งคุณประมาณปริมาณน้ำในรายการอาหาร เมื่อคุณวัดปริมาณน้ำ 100 รายการสำหรับรายการอาหาร 100 รายการ ทุกครั้งที่คุณได้รับคุณค่าของปริมาณน้ำ ที่นี่ปริมาณน้ำเป็นตัวแปรสุ่มและตอนนี้สมมติว่ามี 1,000 รายการอาหารที่มีอยู่ในโลก 100 รายการอาหารที่แตกต่างกันจะถูกเรียกว่าตัวอย่างของรายการอาหาร 1,000 รายการ ขอให้สังเกตว่าปริมาณน้ำเป็นตัวแปรสุ่มและ 100 ค่าปริมาณน้ำที่ได้รับทำตัวอย่าง $X_1, X_2,...,X_n$

สมมติว่าคุณออก n ค่าตัวอย่างสุ่มจากการกระจายความน่าจะเป็นอิสระและเหมือนกันมันจะได้รับว่า μ ตอนนี้คุณต้องไปหามูลค่าที่คาดว่าจะˉ X เนื่องจากแต่ละX ฉันเป็นอิสระและเหมือนกันตัวอย่างคาดว่ามูลค่าของแต่ละX ฉันคือμ ดังนั้นคุณจะได้รับn $E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$μ$\frac{n\mu}{n} =\mu$

สมการที่สามในคำถามของคุณคือเงื่อนไขสำหรับตัวประมาณให้เป็นตัวประมาณแบบไม่เอนเอียงของพารามิเตอร์ประชากร เงื่อนไขสำหรับตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงคือ

ที่ theta เป็นพารามิเตอร์ประชากรและคือพารามิเตอร์ประมาณโดยตัวอย่าง$\bar{\theta}$

ในตัวอย่างของคุณประชากรของคุณคือและคุณได้รับตัวอย่างของค่า10 iid ซึ่งคือ{ 5 , 2 , 1 , 4 , 4 , 2 , 6 , 2 , 3 , 5 $\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. คำถามคือคุณจะประมาณค่าเฉลี่ยประชากรจากตัวอย่างนี้อย่างไร ตามสูตรข้างต้นค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยประชากร ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงไม่จำเป็นต้องเท่ากับค่าเฉลี่ยจริง แต่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยที่คุณจะได้รับข้อมูลนี้