คำถามนี้สามารถตอบได้ตามที่ระบุไว้โดยสมมติว่าตัวแปรสุ่ม1ตัวและX 2 ที่ควบคุมโดยการแจกแจงเหล่านี้เป็นอิสระ X1X2 นี้จะทำให้พวกเขาแตกต่างปกติที่มีค่าเฉลี่ยμ = μ 2 - μ 1และแปรปรวนσ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 (วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้สามารถทำให้เป็นมาตรฐานโดยทั่วไปสำหรับการแจกแจงไบวาริเอตแบบปกติของ( X 1 , X 2X=X2−X1μ=μ2−μ1σ2=σ21+σ22 .) ดังนั้นตัวแปร(X1,X2)
Z=X−μσ=X2−X1−(μ2−μ1)σ21+σ22−−−−−−√
มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (นั่นคือโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนของหน่วย) และ
X=σ(Z+μσ).
การแสดงออก
|X2−X1|=|X|=X2−−−√=σ(Z+μσ)2−−−−−−−−√
แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างที่แท้จริงในฐานะเวอร์ชั่นสเกลของสแควร์รูทของการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางพร้อมหนึ่งระดับของอิสระและพารามิเตอร์ noncentrality λ=(μ/σ)2 2การกระจายแบบไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้มีองค์ประกอบความน่าจะเป็น
f(y)dy=y√2π−−√e12(−λ−y)cosh(λy−−√)dyy, y>0.
การเขียนสำหรับx > 0 จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างyและสแควร์รูทของมันทำให้เกิดy=x2x>0y
f(y)dy=f(x2)d(x2)=x2−−√2π−−√e12(−λ−x2)cosh(λx2−−−√)dx2x2.
ลดความซับซ้อนนี้แล้วลดขนาดโดยให้ความหนาแน่นที่ต้องการσ
f|X|(x)=1σ2π−−√cosh(xμσ2)exp(−x2+μ22σ2).
ผลลัพธ์นี้ได้รับการสนับสนุนโดยการจำลองเช่นฮิสโตแกรมนี้ที่มี 100,000 การจับฉลากอิสระของ(เรียกว่า "X" ในรหัส) กับพารามิเตอร์μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 บนมันถูกพล็อตกราฟของf | X | ซึ่งสอดคล้องกับค่าฮิสโตแกรมอย่างประณีต|X|=|X2−X1|μ1=−1,μ2=5,σ1=4,σ2=1f|X|
R
รหัสสำหรับการจำลองนี้ดังต่อไปนี้
#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2))
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)
self-study
แท็ก เรายอมรับคำถามทำการบ้าน แต่เราจัดการกับพวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยที่นี่