ฟังก์ชั่นการกระจายข้อผิดพลาดและฟังก์ชั่นมาตรฐานปกติมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

หาก PDF ปกติมาตรฐานคือ

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

และ CDF คือ

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

นี่จะกลายเป็นฟังก์ชันข้อผิดพลาดของอย่างไร?$z$

เนื่องจากสิ่งนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้งในบางระบบ (ตัวอย่างเช่นMathematicaยืนยันที่จะแสดง CDF ปกติในรูปของ ) จึงเป็นการดีที่มีเธรดแบบนี้ที่บันทึกความสัมพันธ์$\text{Erf}$

---

ตามนิยามฟังก์ชันข้อผิดพลาดคือ

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

เขียนหมายถึง (เพราะไม่ได้ลบ) ดังนั้น{2} ปลายทางและกลายและ{2} ในการแปลงอินทิกรัลที่เกิดขึ้นให้เป็นสิ่งที่ดูเหมือนว่าฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) จะต้องแสดงในรูปของอินทิกรัลที่มีขีด จำกัด ต่ำกว่าดังนี้:$t^2 = z^2/2$$t = z / \sqrt{2}$$t$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

อินทิกรัลเหล่านั้นด้านขวามือเป็นทั้งค่าของ CDF ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

สิ่งนี้แสดงวิธีแสดงฟังก์ชั่นข้อผิดพลาดในรูปแบบของ CDF ปกติ การจัดการเชิงพีชคณิตของที่ให้ CDF ปกติได้อย่างง่ายดายในแง่ของฟังก์ชั่นข้อผิดพลาด:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

---

ความสัมพันธ์นี้ (สำหรับจำนวนจริงอยู่แล้ว) จะแสดงในรูปแบบของทั้งสองฟังก์ชั่น กราฟเป็นเส้นโค้งที่เหมือนกัน พิกัดของฟังก์ชันข้อผิดพลาดทางด้านซ้ายจะถูกแปลงเป็นพิกัดของด้านขวาด้วยการคูณพิกัดด้วยเพิ่มไปยังพิกัดแล้วหารพิกัดด้วยเพื่อสะท้อนให้เห็นถึง ความสัมพันธ์$\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

ซึ่งสัญกรณ์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการดำเนินการทั้งสามนี้ของการคูณการบวกและการหาร