เหตุใดการกระจายแบบปัวซงจึงถูกเลือกให้เป็นแบบจำลองกระบวนการมาถึงในปัญหาเชิงทฤษฎีแถวคอย?

เมื่อเราพิจารณาสถานการณ์สมมติทางทฤษฎีที่บุคคลเข้ามาที่โหนดการให้บริการและการจัดคิวมักจะใช้กระบวนการปัวซองเพื่อทำแบบจำลองเวลาที่มาถึง สถานการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นในปัญหาการกำหนดเส้นทางเครือข่าย ฉันขอขอบคุณคำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าทำไมกระบวนการปัวซองจึงเหมาะสมที่สุดในการจำลองแบบขาเข้า

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
แหล่งที่มา

คำตอบ:

กระบวนการปัวซงเกี่ยวข้องกับการรอเวลา "ไม่มีหน่วยความจำ" จนกว่าลูกค้ารายต่อไปจะมาถึง สมมติว่าเวลาเฉลี่ยจากลูกค้าคนหนึ่งไปเป็นθการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องแบบไม่มีหน่วยความจำจนกระทั่งการมาถึงครั้งต่อไปคือการรอคอยอีกหนึ่งนาทีหรือวินาทีหรือชั่วโมง ฯลฯ จนถึงการมาถึงครั้งต่อไปไม่ขึ้นอยู่กับระยะเวลารอคอยตั้งแต่ครั้งสุดท้าย . การที่คุณรอมาห้านาทีแล้วตั้งแต่การมาถึงครั้งสุดท้ายไม่ทำให้ลูกค้ามีโอกาสมาถึงในนาทีถัดไปมากกว่าที่เป็นหากคุณรอเพียง 10 วินาทีนับตั้งแต่การมาถึงครั้งสุดท้าย $\theta$

นี่หมายความโดยอัตโนมัติว่าเวลาที่รอจนกระทั่งการมาถึงครั้งต่อไปเป็นไปตามเกณฑ์นั่นคือเป็นการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

และในทางกลับกันสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าจำนวนของลูกค้าที่เดินทางมาถึงในช่วงเวลาใดก็ตามที่มีความยาวตรงตาม $X$ $t$ คือมันมีการกระจาย Poisson ด้วยค่าคาดว่าθยิ่งไปกว่านั้นมันก็หมายความว่าจำนวนของลูกค้าที่มาถึงในช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันมีความเป็นอิสระน่าจะเป็น $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

ดังนั้นความจำที่ไม่มีเวลารอคอยจึงนำไปสู่กระบวนการปัวซอง

— Michael Hardy
แหล่งที่มา

ไม่ว่าทฤษฎีบทใดจะกล่าวถึงมันเป็นความจริงทดลองว่า - ในสถานการณ์ปกติ - ผู้มาถึงนั้นไม่มีความทรงจำ คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนของลูกค้าที่มาถึงในช่วงเวลาใดไม่มีอะไรจริง ๆ

ความตั้งใจของคำถามไม่ใช่เพื่อขอหลักฐานอย่างเป็นทางการ มีการสังเกตหลายครั้งซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบทและปรีชาคือ 'พัฒนา' เพื่อให้พอดีกับการสังเกตและช่วยให้ประสานทฤษฎีบทในความเข้าใจที่เป็นที่นิยม ฉันกำลังมองหาบางสิ่งที่คล้ายกัน ได้แก้ไขคำถามของฉันเพื่อให้เหมือนกัน

— Vighnesh

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันไม่ได้ติดตามว่าหน่วยความจำขาเข้าน้อยนำไปสู่

คุณช่วยอธิบายรายละเอียดอย่างละเอียดหรืออ้างอิงที่พูดถึงเรื่องนี้ได้ในรายละเอียด ขอบคุณ

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

Memorylessness กล่าว

)

นั่นเป็นเช่นเดียวกับ

)

เหตุการณ์

เหมือนกันกับเหตุการณ์

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ

T > t + s

$T>t+s$

)

Memorylessness กล่าวว่านี้เป็นเช่นเดียวกับ

)

ดังนั้นเรามี

)

ฟังก์ชั่นเดียว

ที่น่าพอใจ

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และความโมโนเมอร์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า

ต้องน้อยกว่า

เพราะเหตุการณ์ในอดีตมีความหมาย แต่ก็ไม่ได้บอกเป็นนัยในภายหลัง

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy

ไม่ควรเป็น

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

คำนำเกี่ยวกับทฤษฎีแถวคอยหรือหนังสือกระบวนการสุ่มค่อนข้างมากจะครอบคลุมเรื่องนี้เช่น Ross, Stochastic Processes หรือ Kleinrock, Queuing Theory

สำหรับโครงร่างของการพิสูจน์ว่าการมาถึงแบบไม่มีหน่วยความจำนำไปสู่การแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง:

ให้ G (x) = P (X> x) = 1 - F (x) ทีนี้ถ้าการแจกแจงไม่มีหน่วยความจำ

G (s + t) = G (s) G (t)

นั่นคือความน่าจะเป็นที่ x> s + t = ความน่าจะเป็นที่มากกว่า s และตอนนี้ที่มันมากกว่า s มันมากกว่า (s + t) คุณสมบัติที่ไม่มีหน่วยความจำหมายความว่าความน่าจะเป็นที่สอง (เงื่อนไข) เท่ากับความน่าจะเป็นที่ rv อื่นที่มีการแจกแจงแบบเดียวกัน> t

เพื่ออ้าง Ross:

"คำตอบเดียวของสมการข้างต้นที่ตอบสนองเงื่อนไขประเภทใด ๆ ที่เหมาะสม (เช่นความน่าเบื่อหน่าย, ความต่อเนื่องทางซ้ายหรือขวา, หรือแม้แต่การวัดได้) เป็นรูปแบบ:"

G (x) = exp (-ax) สำหรับค่าที่เหมาะสมของ a

และเราอยู่ที่การแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียล

— jbowman
แหล่งที่มา

กระบวนการทางคณิตศาสตร์ของ Robert Gallager: ทฤษฎีสำหรับการใช้งาน ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) เป็นทางเลือกฟรีที่ดีสำหรับการแนะนำกระบวนการ Stochastic รวมถึงการอภิปรายกระบวนการปัวซง

— Martin Van der Linden

กระบวนการจัดวางอย่างแน่นหนาของ Robert Gallager: ทฤษฎีการใช้งาน

— Martin Van der Linden