ทฤษฎีบทเบย์ที่มีเงื่อนไขหลายข้อ

ฉันไม่เข้าใจว่าสมการนี้มาจากอะไร

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

สมการนี้มาจากบทความ "Trial by Probability" ซึ่งเป็นกรณีตัวอย่างของ OJ Simpson ซึ่งเป็นปัญหาตัวอย่าง จำเลยอยู่ระหว่างการพิจารณาคดีฆาตกรรมสองครั้งและมีหลักฐานสองประการแนะนำเขา

$M_{1}$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือดของจำเลยตรงกับหยดเลือดที่พบในที่เกิดเหตุ เป็นเหตุการณ์ที่เลือดของเหยื่อจับคู่กับถุงเท้าของจำเลย สมมติว่ามีความผิดการเกิดขึ้นของหลักฐานหนึ่งเพิ่มความน่าจะเป็นของคนอื่น เป็นเหตุการณ์ที่จำเลยเป็นผู้บริสุทธิ์ในขณะที่เป็นเมื่อเขามีความผิด $M_{2}$ $I$ $I'$

เรากำลังพยายามที่จะทำให้เพดานของความน่าจะเป็นที่จำเลยเป็นผู้บริสุทธิ์ที่ได้รับหลักฐานทั้งสอง

ได้รับค่าตัวแปรบางตัว แต่สิ่งที่ฉันสนใจคือวิธีที่ได้มาของสมการ ฉันพยายาม แต่ไม่มีที่ไหนเลย

ใช่ฉันได้ตรวจสอบ 'คำถามที่อาจมีคำตอบของคุณแล้ว'

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
แหล่งที่มา

ความหมายของคืออะไร? เป็นไหม

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— ซีอาน

@ ซีอานใช่ เป็นในอีกรูปแบบหนึ่ง

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

โดยทฤษฎีบทของเบย์:ทีนี้บทความที่คุณให้มาก็ระบุว่า

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

หากเป็นจริงและนั้นมีความเป็นอิสระ แต่สมมติว่ามีความผิดการเกิดขึ้นของหนึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นของอีก $I$ $M_1$ $M_2$

ดังนั้นและดังนั้น,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

หากต้องการรับให้ทราบและเนื่องจากการเกิดจะเพิ่มความน่าจะเป็นของ : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— ฟรานซิส
แหล่งที่มา

ฉันต้องการแรกขอบคุณที่สละเวลาเพื่อช่วย แต่ฉันก็ยังสับสนอยู่ คุณกรุณาเพิ่มหมายเลขสมการและระบุตำแหน่งที่คุณใช้สมการก่อนหน้านี้ในการแทนที่ภายหลังได้ไหม สิ่งต่าง ๆ เริ่มมีเหตุผล แต่ฉันยังไม่ได้รับความไม่เสมอภาคหลังจาก 'และ' และส่วนที่คุณแทนที่ในส่วนและสิ่งทั้งหมดกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ฉันคาดเดาคำอธิบายว่าอาร์กิวเมนต์ที่ยกมาจากกระดาษถูกแปลทางคณิตศาสตร์จะช่วยได้อย่างไร ขอบคุณอีกครั้ง!

— Sakurabe

@ Sakurabe: ดีกว่าไหม

— ฟรานซิส

โอเคตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่าพยานหลักฐานเสริมกำลังกันอย่างไร คำถามสุดท้ายเราเพิ่งวางออกจากส่วนหรือไม่ ในขณะที่ลดลงโดยไม่มีทฤษฎีหรืออะไร? ฉันหมายถึงมันทำให้รู้สึกบางอย่างเพราะมันจะไม่ย้อนกลับความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดจาก (2) บวกกับสิ่งที่ฉันคิดว่าพวกเขาทำในตัวอย่างก่อนหน้าในกระดาษที่เกี่ยวข้องกับหลักฐานดีเอ็นเอเพียงหนึ่งเดียว (กับ +1 ในส่วน ) ขอบคุณฉันขอขอบคุณความช่วยเหลือของคุณ

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@ Sakurabe: ใช่เพราะคำนั้นไม่ใช่ลบดังนั้นการลดลงจะทำให้ตัวส่วนลดลง

— ฟรานซิส