วิธีตัวอย่างจากการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องในจำนวนเต็มไม่ลบ

10

ฉันมีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องโดยที่เป็นค่าคงที่ที่รู้จัก: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

มีวิธีใดบ้างในการสุ่มตัวอย่างอย่างมีประสิทธิภาพจากการกระจายนี้

— jII
แหล่งที่มา

9

นี่คือการแจกแจงทวินามลบแบบเบต้าโดยมีพารามิเตอร์ในกรณีของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ Wikipedia มันยังตั้งชื่อการกระจายBeta-Pascalเมื่อเป็นจำนวนเต็ม ดังที่คุณได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นนี่คือการแจกแจงแบบทำนายล่วงหน้าในรูปแบบทวินามลบของเบย์เซียพร้อมกับคอนจูเกตเบต้าก่อนหน้าความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จ $r=1$ $r$

ดังนั้นคุณสามารถลิ้มลองได้โดยการสุ่มตัวอย่างตัวแปรแล้วสุ่มตัวอย่างตัวแปรทวินามเชิงลบ (กับในกรณีของคุณที่เป็น เพื่อบอกการกระจายตัวเชิงเรขาคณิต) $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

brrการกระจายนี้จะดำเนินการในแพคเกจการ R เก็บตัวอย่างมีชื่อrbeta_nbinom, PMF มีชื่อdbeta_nbinomฯลฯ สัญลักษณ์เป็น , , dตรวจสอบ: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

เมื่อมองไปที่โค้ดเราจะเห็นได้ว่ามันเรียกจริง ๆ แล้วว่าการghyperกระจายตัวของSuppDistsแพ็กเกจในตระกูล

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

ineed การกระจายบีเอ็นบีเป็นที่รู้จักกันเป็นประเภท IVทั่วไปกระจาย hypergeometric ดูความช่วยเหลือจากghyperในSuppDistsแพ็คเกจ ผมเชื่อว่านี้ยังสามารถพบได้ในจอห์นสันและอัลหนังสือUnivariate ไม่ต่อเนื่องกระจาย

— Stéphane Laurent
แหล่งที่มา

คำตอบนี้ดีมาก แต่จะดียิ่งขึ้นถ้าคุณพิสูจน์ว่าความหนาแน่น OP ที่โพสต์นั้นเหมือนกับความหนาแน่นทวินามลบ

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

1

@ user777 ฉันคิดว่าผู้เขียน OP พิสูจน์ด้วยตัวเองในมุมมองของเขาต่อคำตอบของซีอาน

— Stéphane Laurent

10

ระบุว่ากำลังลดลงด้วยฉันขอแนะนำให้สร้างชุดรูปแบบและคำนวณผลรวมสะสมจนกว่าสำนึกแล้วเท่ากับที่สอดคล้องkตั้งแต่

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ และการคำนวณสามารถหลีกเลี่ยงการใช้ฟังก์ชันแกมม่าทั้งหมด

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

1

(+1) การใช้จะเร่งอย่างมาก งาน

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

1

เรื่องการแก้ไข: ผมสงสัยว่าการใช้ประโยชน์จากฟังก์ชั่นแกมมาจะยังคงเป็นประโยชน์ในการแก้สำหรับในแง่ของ ,และ\ยกตัวอย่างเช่นหนึ่งสามารถหาประมาณเริ่มต้นไปยังโดยใช้สูตรของสเตอร์ลิงในการประเมินผลของและและจากนั้นขัดที่มีไม่กี่ Newton-Raphson ขั้นตอน จำเป็นต้องประเมิน Log Logma และอนุพันธ์ของมัน แน่นอนว่าถ้าและมีทั้งอินทิกรัลการแก้ปัญหาก็คือรากของพหุนาม - แต่ถึงอย่างนั้นการใช้แกมม่าก็อาจจะเป็นหนทางไป

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

1

คำตอบที่ดี! ฉันยอมรับคำตอบที่ได้รับจาก SL เพราะมันทำให้ประเด็นสำคัญ (ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของคำถามเดิม) การสุ่มตัวอย่างจากการคาดการณ์หลังนั้นเทียบเท่ากับการสุ่มตัวอย่างพารามิเตอร์จากผู้หลังแล้วทำการสุ่มข้อมูลจากความน่าจะเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชั่นการกระจายดังกล่าวข้างต้นคือการทำนายหลังของข้อมูลทางเรขาคณิตที่มีเบต้าก่อนในพารามิเตอร์พี

p

$p$

— jII