เกณฑ์ปกติร่วมเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการรวมของตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นปกติหรือไม่?

13

ในการแสดงความคิดเห็นต่อไปนี้คำตอบของฉันนี้จะเป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับผู้ใช้ ssdecontrol และ Glen_b ถามว่าปกติร่วมกันของและเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับภาวะปกติของจำนวนเงินที่ ? แน่นอนว่ามาตรฐานร่วมกันนั้นเพียงพอแล้วเป็นที่รู้จักกันดี คำถามเพิ่มเติมนี้ไม่ได้กล่าวถึงที่นั่นและอาจคุ้มค่าที่จะพิจารณาในสิทธิของตนเอง $X$ $Y$ $X+Y$

ฉันจึงถาม

ทำมีอยู่ตามปกติตัวแปรสุ่มและดังกล่าวว่า เป็นตัวแปรสุ่มปกติ แต่และมีความไม่ ร่วมกันตัวแปรสุ่มปกติ? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

หากและไม่จำเป็นต้องมีการแจกแจงแบบปกติดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะหาตัวแปรสุ่มแบบปกติเช่นนั้น ตัวอย่างหนึ่งสามารถพบได้ในคำตอบก่อนหน้าของฉัน (ลิงค์ด้านบน) ฉันเชื่อว่าคำตอบของคำถามที่เน้นสีด้านบนคือใช่และได้โพสต์ (สิ่งที่ฉันคิดว่าเป็น) เป็นตัวอย่างสำหรับคำตอบของคำถามนี้ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

2

คุณต้องการจัดการกับการแจกแจงที่ลดลงอย่างไร ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นค่ามาตรฐานปกติและดังนั้นการกระจายข้อต่อของและคือการแจกแจงปกติที่ลดลงและเป็นค่ามาตรฐานปกติ

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers

@BrianBorchersและเป็นตัวแปรสุ่มปกติร่วมกันแม้ว่าการแจกแจงจะลดลงตามที่คุณพูด ความหมายของมาตรฐานปกติร่วมกันคือการที่และร่วมกันปกติถ้าเป็นเรื่องปกติสำหรับทุกทางเลือกของB) ที่นี่เป็นกรณีที่เลวลงซึ่งยังเรียกว่าตัวแปรสุ่มปกติเป็นมารยาท

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate

11

Letจะ IID(0,1) $U,V$ $N(0,1)$

ตอนนี้แปลงดังนี้ $(U,V) \to (X,Y)$

ในด้านแรก (เช่น ) ให้และV) $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

สำหรับ Quadrants อื่นให้หมุนการทำแผนที่นี้เกี่ยวกับที่มา

การแจกแจงไบวาริเอทที่ได้จะเป็นดังนี้ (ดูจากด้านบน):

$\hspace{1.5 cm}$

- สีม่วงแสดงถึงพื้นที่ที่มีความน่าจะเป็นสองเท่าและพื้นที่สีขาวเป็นพื้นที่ที่ไม่มีความน่าจะเป็น วงกลมสีดำเป็นรูปทรงของความหนาแน่นคงที่ (ทุกที่บนวงกลมสำหรับแต่ภายในแต่ละภูมิภาคที่มีสีสำหรับ ) $(U,V)$ $(X,Y)$

โดยความสมมาตรทั้งและเป็นมาตรฐานปกติ (มองลงไปตามเส้นแนวตั้งหรือตามแนวนอนมีจุดสีม่วงสำหรับสีขาวทุกจุดที่เราสามารถพิจารณาได้ว่าถูกพลิกข้ามแกนข้ามเส้นแนวนอนหรือแนวตั้ง) $X$ $Y$
แต่เห็นได้ชัดว่าไม่ได้เกิดขึ้นตามปกติและ $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ ซึ่ง (เท่ากันให้ดูตามเส้นของค่าคงที่และดูว่าเรามีสมมาตรคล้ายกับที่เราคุยกันใน 1 แต่คราวนี้เกี่ยวกับ line) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

+1 และยอมรับ การก่อสร้างนี้ดีกว่าคำตอบของฉัน!

— Dilip Sarwate

5

พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องร่วมกัน พร้อมกับฟังก์ชั่นความหนาแน่นของข้อต่อ โดยที่แสดงถึงฟังก์ชันความหนาแน่นปกติมาตรฐาน $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

เป็นที่ชัดเจนว่าและเป็น ตัวแปรสุ่มที่ขึ้นอยู่กับ เป็นที่ชัดเจนว่าพวกเขาไม่ใช่ ตัวแปรสุ่มปกติร่วมกัน อย่างไรก็ตามทั้งสามคู่ เป็นคู่ตัวแปรสุ่มอิสระในความเป็นจริงที่เป็นอิสระมาตรฐานตัวแปรสุ่มปกติ (และตัวแปรสุ่มจึงคู่กันปกติ) ในระยะสั้น เป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตามปกติ แต่ไม่ได้เป็นอิสระร่วมกัน ดูคำตอบของฉัน สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

ขอให้สังเกตว่าเป็นอิสระคู่จะช่วยให้เราที่ และทั้งหมดเป็นศูนย์หมายถึงตัวแปรสุ่มปกติที่มีความแปรปรวน2ตอนนี้ให้เรากำหนด และทราบว่า ยังเป็นศูนย์หมายถึงตัวแปรสุ่มปกติที่มีความแปรปรวน2นอกจากนี้และและนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กัน $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ และเป็นตัวแปรสุ่มปกติที่มีความสัมพันธ์ (correlated) ที่ไม่ได้ร่วมกันแต่มีคุณสมบัติที่ผลรวมเป็นตัวแปรสุ่มปกติ $Y$ $X+Y$

อีกวิธีหนึ่งความปกติของการเชื่อมต่อเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการยืนยันความปกติของผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติ แต่มันไม่ได้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น

พิสูจน์ให้เห็นว่าและไม่ปกติเข้าด้วยกัน $X$ $Y$
เนื่องจากการแปลงเป็นเส้นตรงมันง่ายที่จะได้ W) ดังนั้นเราจึงมี แต่มีคุณสมบัติที่เป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เฉพาะเมื่อหนึ่ง หรือทั้งสามข้อโต้แย้งนั้นไม่จำเป็น ตอนนี้คิดว่า0 จากนั้นมีค่าสำหรับ $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ และเป็นอย่างอื่น ดังนั้นสำหรับ , ตอนนี้ และโดยการขยายออกและทำการจัดเรียงใหม่ของ integrland ในเราสามารถเขียน โดยที่เป็นแบบสุ่มปกติ ตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ย

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ และความแปรปรวน13 ทั้งแง่ภายในวงเล็บเกี่ยวข้องกับมาตรฐานปกติ CDFมีข้อโต้แย้งที่มี (ที่แตกต่างกัน) ฟังก์ชั่นของทั้งสองและy ที่ดังนั้นคือ ไม่ได้มีความหนาแน่นปกติ bivariate แม้ว่าทั้งและ เป็นตัวแปรสุ่มปกติและผลรวมของพวกเขาคือตัวแปรสุ่มปกติ

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

หมายเหตุ:ร่วมปกติของและพอเพียงสำหรับภาวะปกติของแต่ยังหมายถึงการมากยิ่งขึ้น:เป็นเรื่องปกติสำหรับ ทุกทางเลือกของB) ที่นี่เราต้องการให้เป็นปกติสำหรับเพียงสามตัวเลือกของ , ได้แก่ , โดยที่สองคนแรกบังคับใช้ oft-ละเว้น เงื่อนไข (ดูเช่นคำตอบโดย ) ว่าความหนาแน่น (ส่วนเพิ่ม) ของและจะต้องเป็นความหนาแน่นปกติและที่สามบอกว่าผลรวมต้องมีความหนาแน่นปกติด้วย ดังนั้นเราสามารถ $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ มีตัวแปรสุ่มปกติที่ไม่ ปกติร่วมกัน แต่มีผลรวมเป็นเรื่องปกติเพราะเราไม่สนใจสิ่งที่เกิดขึ้นสำหรับทางเลือกอื่น ๆ ของB) $(a,b)$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา