การกระจายอัตราส่วนของระยะห่างและตัวอย่างหมายถึงอะไร


10

ให้X1,,Xnเป็นตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบเลขชี้กำลังของ iid ที่มีค่าเฉลี่ยβและให้X(1),,X(n)เป็นสถิติการสั่งซื้อจากตัวอย่างนี้ ให้X¯=1ni=1nXiฉัน

กำหนดระยะห่าง

Wi=X(i+1)X(i)  1in1.
มันสามารถแสดงให้เห็นว่าแต่ละWiเป็นเลขชี้กำลังด้วยค่าเฉลี่ยβi=βniฉัน

คำถาม:ฉันจะไปเกี่ยวกับการหาวิธีP(WiX¯>t)ที่tรู้จักและไม่เป็นลบ?

พยายาม:ฉันรู้ว่านี้จะมีค่าเท่ากับ1FWi(tX¯) ) ดังนั้นผมจึงใช้กฎหมายของความน่าจะรวมเช่นดังนั้น:

P(Wi>tX¯)=1FWi(tX¯)=10FWi(ts)fX¯(s)ds,

ซึ่งกลายเป็นยุ่งเหยิง แต่ฉันคิดว่าส่วนประกอบสำคัญ

ฉันมาถูกทางแล้วใช่ไหม นี่เป็นการใช้ที่ถูกต้องของกฎหมายความน่าจะเป็นโดยรวมหรือไม่?

อีกวิธีหนึ่งอาจดูการกระจายความแตกต่าง:

P(WitX¯>0)

หรือแม้แต่แยกเงินก้อน:

P(WitX¯>0)=P((X(i+1)X(i))+tn(X(1)++X(n)))

วิธีแก้ปัญหากรณีเลขชี้กำลังจะดีมาก แต่ยิ่งดีกว่าจะเป็นข้อ จำกัด ทั่วไปบางประการในการแจกแจง หรืออย่างน้อยที่สุดช่วงเวลาของมันซึ่งเพียงพอที่จะมอบอสมการ Chebyshev และ Markov ให้ฉัน


ปรับปรุง:นี่คือหนึ่งจากวิธีแรก:

10(1exp(tsβi))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds10(1exp((ni)tsβ))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds

ฉันได้เล่นกับมันมาระยะหนึ่งแล้วและฉันไม่แน่ใจว่าจะไปที่ไหน


1
อินทิกรัลที่คุณได้รับนั้นดูค่อนข้างตรงไปตรงมาหลังจากคุณกระจายคำในวงเล็บ หลังจากเปลี่ยนตัวแปรดูเหมือนว่าคุณจะได้ฟังก์ชันแกมม่า
Alex R.

@AlexR แน่นอน แต่หลังจากผ่านไปครึ่งทางแล้วฉันเริ่มสงสัยว่ามันจะไม่ถูก จำกัด ระหว่าง 0 และ 1 ฉันกำลังมองหาการยืนยันว่าฉันตั้งปัญหาได้อย่างถูกต้อง ถ้าฉันติดอยู่กับอินทิกรัลเองฉันจะถาม Math.SE
shadowtalker

คำตอบ:


6

ความยากของคุณที่นี่คือคุณมีเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นกับตัวเอง ปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้นและแก้ไขได้โดยการจัดการเหตุการณ์เพื่อเปรียบเทียบการเพิ่มอิสระ การทำเช่นนี้เราทราบครั้งแรกว่าสำหรับ , แต่ละสถิติของการสั่งซื้อสามารถเขียนเป็น:X1,...,XNIID Exp(β)

X(k)=βi=1kZini+1,

ที่ (ดูเช่น Renyi 1953, David และ Nagaraja 2003) นี่ช่วยให้เราเขียนW k = β Z k + 1 / ( n - k )และเราสามารถเขียนค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็น:Z1,Z2,...,ZnIID Exp(1)Wk=βZk+1/(nk)

X¯βnk=1nX(k)=βnk=1ni=1kZini+1=βni=1nk=inZini+1=βni=1nZi.

เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ของเราเรากำหนดปริมาณ:

at(nk)nt(nk).

สำหรับเรามี:a>0

P(WktX¯)=P(Zk+1nktni=1nZi)=P(nnkZk+1ti=1kZi)=P((nnkt)Zk+1tikZi)=P((nnkt)ZtG)=P(ZaG),

ZExp(1)GGa(n1,1)tn/(nk)P(WktX¯)=0t<n/(nk)a>0

P(WktX¯)=0Ga(g|n1,1)agExp(z|1)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)agexp(z)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)(1exp(ag))dg=01Γ(n1)gn2exp(g)dg01Γ(n1)gn2exp((a+1)g)dg=1(a+1)(n1)=1(1nknt)n1.

tt=0t=nnk

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.