ความยากของคุณที่นี่คือคุณมีเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มที่ไม่ขึ้นกับตัวเอง ปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้นและแก้ไขได้โดยการจัดการเหตุการณ์เพื่อเปรียบเทียบการเพิ่มอิสระ การทำเช่นนี้เราทราบครั้งแรกว่าสำหรับ , แต่ละสถิติของการสั่งซื้อสามารถเขียนเป็น:X1,...,XN∼IID Exp(β)
X(k)=β∑i=1kZin−i+1,
ที่ (ดูเช่น Renyi 1953, David และ Nagaraja 2003) นี่ช่วยให้เราเขียนW k = β Z k + 1 / ( n - k )และเราสามารถเขียนค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็น:Z1,Z2,...,Zn∼IID Exp(1)Wk=βZk+1/(n−k)
X¯≡βn∑k=1nX(k)=βn∑k=1n∑i=1kZin−i+1=βn∑i=1n∑k=inZin−i+1=βn∑i=1nZi.
เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ของเราเรากำหนดปริมาณ:
a≡t(n−k)n−t(n−k).
สำหรับเรามี:a>0
P(Wk⩾tX¯)=P(Zk+1n−k⩾tn∑i=1nZi)=P(nn−k⋅Zk+1⩾t∑i=1kZi)=P((nn−k−t)Zk+1⩾t∑i≠kZi)=P((nn−k−t)Z⩾tG)=P(Z⩾aG),
Z∼Exp(1)G∼Ga(n−1,1)t⩾n/(n−k)P(Wk⩾tX¯)=0t<n/(n−k)a>0
P(Wk⩾tX¯)=∫0∞Ga(g|n−1,1)∫ag∞Exp(z|1)dzdg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)∫ag∞exp(−z)dzdg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)(1−exp(ag))dg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)dg−∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−(a+1)g)dg=1−(a+1)−(n−1)=1−(1−n−kn⋅t)n−1.
tt=0t=nn−k