ผลรวมของสัมประสิทธิ์การกระจายแบบพหุนาม

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ ฉันกำลังจะตายอย่างยุติธรรม เมื่อใดก็ตามที่ฉันได้รับ 1, 2 หรือ 3 ฉันจะเขียน '1' เมื่อใดก็ตามที่ฉันได้ 4 ฉันเขียน '2'; เมื่อใดก็ตามที่ฉันได้ 5 หรือ 6 ฉันจะเขียน '3'

ให้ $N$ เป็นจำนวนพ่นฉันต้องการสำหรับผลิตภัณฑ์ของตัวเลขทั้งหมดที่ผมเขียนลงไปเป็น $\geq 100000$ 100000 ฉันต้องการคำนวณ (หรือโดยประมาณ) $\P(N\geq 25)$ และการประมาณสามารถให้เป็นฟังก์ชันของการแจกแจงแบบปกติ

ครั้งแรกผมรู้ว่า $\P(N\geq 11) = 1$ เพราะ $\log_3 100.000 \approx 10.48$ 10.48 ทีนี้ลอง $a$ , $b$ และ $c$ เป็นจำนวนครั้งที่ผมเขียน 1, 2 และ 3 ตามลำดับ แล้ว:

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

สิ่งที่ฉันต้องการคำนวณคือ:

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

ฉันจะคำนวณสิ่งนี้ได้อย่างไร

--EDIT:

ดังนั้นจึงแนะนำว่าฉันสามารถแทนที่เงื่อนไขด้วย:

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

ที่ , ,และ100000 $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

วิธีนี้ดูแก้ไขได้มากขึ้น! ฉันโชคไม่ดีที่ยังไม่รู้วิธีแก้ปัญหา

— Pedro Carvalho
แหล่งที่มา

+1 ปัญหานี้อาจจะดูคุ้นตากว่าเล็กน้อยและให้ยืมชัดเจนกว่าโซลูชันโดยประมาณหากคุณต้องเขียนเงื่อนไขในรูปแบบโดยที่และ(100000)

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— whuber

ฉันได้เพิ่มวิธีการใหม่ในการเขียนเงื่อนไข แต่น่าเสียดายที่ฉันยังไม่รู้วิธีการแก้ปัญหานี้!

— Pedro Carvalho

คำใบ้อีกอย่างคือถ้ามีเหตุการณ์ของ '2' คุณจะหยุด คุณสามารถประมาณค่านี้ด้วยทวินามลบด้วยพารามิเตอร์และ (เช่นและ ) คำตอบที่แน่นอนก็จัดการได้เช่นกันเนื่องจากมีชุดค่าผสมไม่มาก นอกจากนี้เงื่อนไขไม่ถูกต้อง - คุณต้องรวมว่า '2' หรือ '3' ถูกบันทึกในม้วนลำดับที่

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— ความน่าจะเป็นทาง

คำตอบ:

คำถามปัจจุบันเป็นกรณีเฉพาะที่คุณกำลังเผชิญกับปริมาณที่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มแบบมัลติโนเมียล เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาของคุณอย่างแน่นอนโดยการระบุชุดค่าผสมแบบหลายค่าที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการและรวมการกระจายในช่วงนั้น ในกรณีที่มีขนาดใหญ่สิ่งนี้อาจกลายเป็นไปไม่ได้ที่คำนวณได้ ในกรณีนี้มันเป็นไปได้ที่จะได้รับการกระจายโดยประมาณโดยใช้การประมาณค่าแบบมัลติโนเมียล รุ่นทั่วไปของการประมาณนี้แสดงไว้ด้านล่างจากนั้นจะนำไปใช้กับตัวอย่างเฉพาะของคุณ $N$

ปัญหาประมาณทั่วไป:สมมติว่าเรามีลำดับของตัวแปรสุ่มแลกเปลี่ยนที่มีช่วงม. สำหรับเราสามารถนับจำนวน vectorซึ่งนับจำนวน การเกิดขึ้นของผลลัพธ์แต่ละรายการในค่าแรกของลำดับ เนื่องจากลำดับพื้นฐานสามารถแลกเปลี่ยนได้เวกเตอร์การนับจะถูกกระจายเป็น: $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

ทีนี้สมมติว่าเรามีเวกเตอร์น้ำหนักไม่เชิงลบและเราใช้น้ำหนักเหล่านี้เพื่อกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้น: $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

เนื่องจากน้ำหนักจะไม่ลบปริมาณใหม่นี้จะไม่ลดลงnจากนั้นเราจะกำหนดหมายเลขซึ่งเป็นจำนวนการสังเกตที่น้อยที่สุดที่จำเป็นในการรับค่าต่ำสุดที่ระบุสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นของเรา เราต้องการประมาณการกระจายตัวของในกรณีที่ค่านี้มีขนาดใหญ่ (สุ่ม) $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

การแก้ปัญหาการประมาณทั่วไป:ประการแรกเราทราบว่าเนื่องจากไม่ลดลงใน (ซึ่งถือเพราะเราได้สันนิษฐานว่าน้ำหนักทั้งหมดไม่เป็นลบ) เรามี: $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

ดังนั้นการกระจายตัวของจะเกี่ยวข้องโดยตรงกับการกระจายของ สมมติว่าปริมาณในอดีตมีขนาดใหญ่เราสามารถประมาณการกระจายตัวของหลังด้วยการแทนที่เวกเตอร์แบบสุ่มโดยสิ้นเชิงด้วยการประมาณอย่างต่อเนื่องจากการแจกแจงปกติหลายตัวแปร สิ่งนี้นำไปสู่การประมาณค่าปกติสำหรับ linear quantitiyและเราสามารถคำนวณช่วงเวลาของปริมาณนี้โดยตรง ในการทำสิ่งนี้เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ,และสำหรับเจ ด้วยพีชคณิตพื้นฐานนี่ทำให้เรา: $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

การประมาณปกติกับพหุนามตอนนี้ทำให้เรามีตัวอย่างการกระจายMU)) การใช้การประมาณนี้ให้ผลตอบแทน: $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(สัญลักษณ์เป็นสัญกรณ์มาตรฐานสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน.) มันเป็นไปได้ที่จะใช้ประมาณนี้เพื่อหาน่าจะเกี่ยวข้องกับปริมาณสำหรับค่าที่ระบุของ นี่คือการประมาณขั้นพื้นฐานซึ่งไม่ได้พยายามรวมการแก้ไขความต่อเนื่องกับค่าของค่าการนับหลายค่าที่เกี่ยวข้อง มันได้มาจากการประมาณค่าปกติโดยใช้ช่วงเวลาสองช่วงกลางเหมือนกันกับฟังก์ชันเชิงเส้นที่แน่นอน $\Phi$ $N(a)$ $a$

การประยุกต์ใช้กับปัญหาของคุณ:ในปัญหาของคุณคุณมีความน่าจะเป็น , น้ำหนักและตัดค่า100000 คุณจึงมี (ปัดเศษทศนิยมหกจุด)0.481729 การใช้การประมาณข้างต้นที่เรามี (ปัดเศษเป็นทศนิยมหกตำแหน่ง): $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

โดยการประยุกต์ใช้การแจกแจงพหุนามที่แท้จริงรวมกับชุดค่าผสมทั้งหมดที่เป็นไปตามข้อกำหนด , มันสามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่แน่นอนคือ0.483500 ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่าการประมาณนั้นค่อนข้างใกล้เคียงกับคำตอบที่แน่นอนในกรณีปัจจุบัน $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

หวังว่าคำตอบนี้ให้คำตอบสำหรับคำถามเฉพาะของคุณในขณะที่วางไว้ในกรอบทั่วไปของผลลัพธ์ความน่าจะเป็นที่นำไปใช้กับฟังก์ชันเชิงเส้นของเวกเตอร์แบบสุ่มหลายส่วน วิธีการในปัจจุบันควรอนุญาตให้คุณหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยประมาณเกี่ยวกับประเภททั่วไปที่คุณกำลังเผชิญอยู่ซึ่งทำให้สามารถเปลี่ยนแปลงตัวเลขเฉพาะในตัวอย่างของคุณได้

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ลองทำค่าประมาณปกติ

ก่อนอื่นให้ปรับปรุงปัญหาของคุณในบันทึกให้สมบูรณ์ คุณเริ่มต้นที่ 0 ในเวลา t = 0 จากนั้นในแต่ละขั้นตอนคุณจะเพิ่ม:

0 ที่มีความน่าจะเป็น 1/2
$\log(2)$ มีความน่าจะเป็น 1/6
$\log(3)$ ด้วยความน่าจะเป็น 1/3

คุณหยุดกระบวนการนี้เมื่อผลรวมของคุณเกินณ จุดที่คุณดูว่ามีการโยนกี่ครั้ง จำนวนการโยนที่คุณไปถึงจุดนั้นคือ ^ $\log(10^5)$ $N$

เครื่องคิดเลขของฉันบอกฉันว่าค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นของคุณคือ:และความแปรปรวนเป็น0.25 สำหรับการอ้างอิงจุดสิ้นสุดอยู่ที่ดังนั้นเราจะไปถึงเขาในเวลาประมาณ 24 ขั้น $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

เงื่อนไขกับความจริงที่ว่าเราได้ทำไปแล้ว 25 ขั้นตอนการกระจายตัวของผลรวมนั้นเป็นแบบเกาส์ซึ่งมีศูนย์กลางที่ 12.0 และมีความแปรปรวน 6.25 สิ่งนี้ทำให้เราประมาณแบบเกาส์คร่าวๆของ $p(N\geq25)\approx 0.5$

คุณต้องดูยอดรวมของผลรวมที่ N = 25 เพื่อให้ทราบว่าการประมาณแบบเกาส์นั้นดีหรือไม่ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นนั้นไม่สมมาตรค่าประมาณอาจไม่ดีที่สุด

— Guillaume Dehaene
แหล่งที่มา

คุณช่วยทำให้ฉันสำเร็จได้ไหม? ฉันมีเวลายากที่จะเห็นมัน นอกจากนี้ยังไม่มีวิธีที่แน่นอนในการคำนวณหรือไม่

— Pedro Carvalho

คุณไม่ได้หมายถึง "log (2)" และ "log (3)" ที่คุณมีบันทึก (1) และ log (2) ใช่หรือไม่

— Glen_b -Reinstate Monica

@GuillaumeDehaene wrote: .... โดยการคำนวณของฉันในสองวิธีที่แตกต่างกันซึ่งแตกต่างกันมากกับ 0.5

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— wolfies

คุณจะได้ P (n \ leq24) ได้ประมาณ 0.18 อย่างไร

— Guillaume Dehaene