เห็นภาพการกระจายตัวแบบทวินามทวิภาค

คำถาม:การกระจายตัวแบบทวินามแบบไบวาเรียมีลักษณะอย่างไรในอวกาศ 3 มิติ

ด้านล่างเป็นฟังก์ชั่นเฉพาะที่ฉันต้องการเห็นภาพสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ คือ , หน้า1และหน้า 2$n$$p_{1}$$p_{2}$

สังเกตว่ามีข้อ จำกัด สองประการ และP 1 + P 2 = 1 นอกจากนี้nเป็นจำนวนเต็มบวกพูด, 5$x_{1}+x_{2}=n$$p_{1}+p_{2}=1$$n$$5$

มีความพยายามสองครั้งในการพล็อตฟังก์ชันโดยใช้ LaTeX (TikZ / PGFPLOTS) ในการทำเช่นนี้ฉันจะได้รับกราฟด้านล่างสำหรับค่าต่อไปนี้: , p 1 = 0.1และp 2 = 0.9และ, n = 5 , p 1 = 0.4และp 2 = 0.6ตามลำดับ ฉันไม่ประสบความสำเร็จในการนำข้อ จำกัด มาใช้กับค่าโดเมน x 1 + x 2 = nดังนั้นฉันจึงนิ่งงันเล็กน้อย$n=5$$p_{1}=0.1$$p_{2}=0.9$$n=5$$p_{1}=0.4$$p_{2}=0.6$$x_{1}+x_{2}=n$

การสร้างภาพข้อมูลในภาษาใด ๆ ก็ทำได้ดี (R, MATLAB และอื่น ๆ ) แต่ฉันทำงานใน LaTeX กับ TikZ / PGFPLOTS

ความพยายามครั้งแรก

, p 1 = 0.1และ p 2 = $n=5$$p_{1}=0.1$$p_{2}=0.9$

ความพยายามครั้งที่สอง

, p 1 = 0.4และ p 2 = $n=5$$p_{1}=0.4$$p_{2}=0.6$

แก้ไข:

สำหรับการอ้างอิงนี่คือบทความที่มีกราฟบางอย่าง ชื่อเรื่องของกระดาษคือ "การแจกแจงทวินามแบบทวิภาคีแบบใหม่" โดย Atanu Biswasa และ Jing-Shiang Hwang สถิติและความน่าจะเป็นตัวอักษร 60 (2002) 231–240

แก้ไข 2: เพื่อความชัดเจนและเพื่อตอบสนองต่อ @GlenB ในความคิดเห็นด้านล่างเป็นภาพรวมของวิธีการนำเสนอการแจกจ่ายให้ฉันในหนังสือของฉัน หนังสือเล่มนี้ไม่ได้หมายถึงกรณีที่เลวลง / ไม่เลวและอื่น ๆ มันนำเสนอแบบนั้นและฉันพยายามมองภาพ ไชโย! นอกจากนี้ตามที่ระบุโดย @JohnK มีความเป็นไปได้ที่จะพิมพ์ผิดเกี่ยวกับ x1 + x1 = 1 ซึ่งเขาแนะนำว่าควรเป็น x1 + x1 = n

รูปภาพของสมการจาก:

Spanos, A (1986) รากฐานทางสถิติของแบบจำลองเศรษฐมิติ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

มีสองส่วนดังนี้: ก่อนอื่นคุณต้องหาว่าความน่าจะเป็นของแต่ละคนนั้นคืออะไรจากนั้นคุณต้องพล็อตมันอย่างใด

$n_i = n_j = 5$$0$$6\times 6 = 36$

ก่อนอื่นเราสามารถคำนวณ PMF ทวินามทวิภาคีได้เนื่องจากมันตรงไปตรงมามาก เนื่องจากตัวแปรมีความเป็นอิสระความน่าจะเป็นร่วมกันแต่ละครั้งจะเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นที่ขอบ นี่คือพีชคณิตเมทริกซ์ ที่นี่ฉันสาธิตกระบวนการนี้โดยใช้Rรหัส:

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

ณ จุดนี้เรามีเมทริกซ์ความน่าจะเป็นที่จำเป็นสองประการ เราแค่ต้องตัดสินใจว่าเราต้องการพล็อตมันอย่างไร พูดตามตรงฉันไม่ใช่แฟนตัวยงของแผนภูมิแท่ง 3 มิติ เพราะRดูเหมือนว่าจะเห็นด้วยกับฉันฉันทำแปลงเหล่านี้ใน Excel:

b19:

b46:

คำตอบของ gung เป็นคำตอบที่ดีสำหรับทวินามแบบทวิภาคที่แท้จริงอธิบายปัญหาได้ดี (ฉันขอแนะนำให้ยอมรับว่าเป็นคำตอบที่ดีสำหรับคำถามชื่อเรื่องซึ่งน่าจะเป็นประโยชน์กับคนอื่นมากที่สุด)

$x_1$$n$

งั้นเรามานิยามสิ่งต่างๆ โปรดทราบว่าไม่มีการให้คำจำกัดความของตัวแปรสุ่มดังนั้นเราจึงเหลือการคาดเดา

$Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$$P(Y_1=y_1)$$y_1$$y_1=0,1,...,n$$X_1=Y_1/n$$x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

$P(X_1=x_1)$$x_2=n-x_1$$p_2=1-p_1$

$n=6,p_1=0.3$

$x_2$$x_1$$1-x_1$$x_2$

เราสามารถพิจารณาว่ามันเป็นไบโอเรียลที่ลดขนาดลง

แต่มันก็เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยืดยาวที่จะเรียกสิ่งที่กำหนดไว้ในหนังสือเรื่องไบโอเรียลทวินาม (เนื่องจากเป็นทวินามแบบไม่แปรค่า)

จากข้อสันนิษฐานที่ว่าใครบางคนต้องการสร้างพล็อตที่คล้ายกับ 3D รหัส R (เล็กน้อย) นี้จะค่อนข้างใกล้เคียงกับพล็อตที่สองด้านบน:

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

(คุณต้องการscatterplot3dแพ็คเกจที่มีฟังก์ชั่นชื่อเดียวกัน)

"ทวิภาค" ที่แท้จริง (ไม่เสื่อม) ทวินามของไบวาเรียมีการแปรผันของตัวแปรทั้งสองในคราวเดียว นี่คือตัวอย่างของ bivariate binomial ชนิดหนึ่ง (ไม่เป็นอิสระในกรณีนี้) ฉันใช้สีที่แตกต่างกันในเนื้อเรื่องเพราะมันง่ายเกินไปที่จะหลงทางในป่าของ "ไม้" อย่างอื่น

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$$X_1=X+Y$$X_2=X+Z$

$X_1$$X_2$

$n_0$$n_y$$n_z$$=X$$x_1=x_2$$x_1+x_2=n$

[1]: Hamdan, MA (1972),
"การขยายแบบ Canonical ของการแจกแจงทวินามแบบไบวาเรียที่มีดัชนีส่วนเกินไม่เท่ากัน" การ
ทบทวนทางสถิติระหว่างประเทศ , 40 : 3 (ธ.ค. ), หน้า 277-280

Mathematicaคือตอนนี้ที่แข็งแกร่งมากในสิ่งนั้น - มันมีทางออกของปัญหาของคุณถูกต้องในเอกสาร ด้วยการเพิ่มเติมเล็กน้อยฉันได้สร้างแบบจำลองเพื่อเล่น ( p = p1 = 0.4เพื่อการนำเสนอด้วยภาพที่ดีขึ้น) นั่นคือลักษณะที่ปรากฏของอินเตอร์เฟสและวิธีการควบคุม

เศษเล็กเศษน้อย

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

สิ่งสำคัญที่นี่คือPDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]ซึ่งเป็นตัวเองอธิบายฉันคิดว่า Multinomialเพียงหมายความว่าคุณอาจต้องใช้การแจกแจงที่มากpiสำหรับแต่ละตัวแปร BinomialDistributionรูปแบบที่เรียบง่ายคือ แน่นอนฉันสามารถทำได้ด้วยตนเอง แต่กฎคือถ้าคุณมีฟังก์ชั่นบิวด์อิน - คุณควรใช้มัน

หากคุณต้องการความคิดเห็นเกี่ยวกับโครงสร้างโค้ดโปรดแจ้งให้เราทราบ