หนึ่งจะทำให้การกระจายความน่าจะเป็นก่อนเป็นทางการได้อย่างไร มีกฎของหัวแม่มือหรือเคล็ดลับที่ควรใช้หรือไม่

ในขณะที่ฉันชอบคิดว่าฉันมีความเข้าใจอย่างดีเกี่ยวกับแนวคิดของข้อมูลก่อนหน้านี้ในการวิเคราะห์ทางสถิติแบบเบย์และการตัดสินใจ ฉันมีสถานการณ์สองสามอย่างที่เป็นตัวอย่างการต่อสู้ของฉันและฉันรู้สึกว่าพวกเขาไม่ได้รับการกล่าวถึงอย่างถูกต้องในตำราทางสถิติแบบเบย์ที่ฉันได้อ่าน:

สมมติว่าฉันทำแบบสำรวจไม่กี่ปีที่ผ่านมาที่บอกว่า 68% ของผู้คนจะสนใจซื้อผลิตภัณฑ์ ACME ฉันตัดสินใจที่จะเรียกใช้แบบสำรวจอีกครั้ง ในขณะที่ฉันจะใช้ขนาดตัวอย่างเดียวกับครั้งที่แล้ว (พูด, n = 400) ความคิดเห็นของผู้คนมีการเปลี่ยนแปลงตั้งแต่นั้นมา อย่างไรก็ตามหากฉันใช้เป็นรุ่นก่อนหน้ากับการแจกแจงแบบเบต้าซึ่งผู้ตอบแบบสอบถาม 272 จาก 400 คนตอบว่า "ใช่" ฉันจะให้น้ำหนักเท่ากันกับแบบสำรวจที่ฉันวิ่งไปเมื่อสองสามปีก่อน มีกฎง่ายๆที่จะสร้างความไม่แน่นอนที่ยิ่งใหญ่กว่าที่ฉันต้องการก่อนหน้านี้โดยอาศัยอำนาจของข้อมูลที่มีอายุไม่กี่ปี? ฉันเข้าใจว่าฉันสามารถลดค่าก่อนหน้านี้จาก 272/400 เป็น 136/200 แต่สิ่งนี้ให้ความรู้สึกโดยพลการมากและฉันสงสัยว่ามีรูปแบบของการให้เหตุผลบางอย่างหรืออาจเป็นในวรรณกรรม

อีกตัวอย่างหนึ่งสมมติว่าเรากำลังจะทำการทดลองทางคลินิก ก่อนที่จะเริ่มการทดลองเราทำการวิจัยระดับทุติยภูมิซึ่งเราสามารถใช้เป็นข้อมูลก่อนหน้านี้รวมถึงความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญผลจากการทดลองทางคลินิกก่อนหน้านี้ (จากความเกี่ยวข้องที่แตกต่างกัน) ข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์พื้นฐานอื่น ๆ (บางอันไม่ใช่เชิงปริมาณโดยธรรมชาติ) ไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้า? เป็นกรณีของการตัดสินใจที่จะเลือกครอบครัวและทำให้ครอบครัวกระจายข้อมูลมากพอที่จะทำให้แน่ใจว่าข้อมูลถูกครอบงำหรือมีงานจำนวนมากเพื่อสร้างการเผยแพร่ก่อนหน้าอย่างเป็นธรรมหรือไม่?

— ฟิล
แหล่งที่มา

ดูstats.stackexchange.com/questions/1/…

— ทิม

ความคิดของคุณในการปฏิบัติต่อข้อมูลก่อนหน้าของคุณที่ประสบความสำเร็จ 272 ครั้งในความพยายาม 400 ครั้งนั้นมีเหตุผลที่ชัดเจนพอสมควร

ปัญหาที่คุณจัดการกับปัญหาดังกล่าวคือการประมาณความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จของการทดลองของเบอร์นูลี การแจกแจงแบบเบต้าคือ "คอนจูเกตก่อน" ที่สอดคล้องกัน นักบวชสังยุคดังกล่าวเพลิดเพลินไปกับ "การตีความตัวอย่างที่สมมติขึ้น": $\theta$

เบต้าก่อนหน้าคือ สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นข้อมูลที่มีอยู่ในตัวอย่างของขนาด (หลวมดังนั้นเนื่องจากไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม ) ที่มีสำเร็จ: ดังนั้นหากคุณใช้และสิ่งนี้สอดคล้องกับพารามิเตอร์ก่อนหน้าและ

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$

\underline{n}

$\underline{n}$

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$

β_{0} = 129

$\beta_0=129$ . "แบ่งครึ่ง" ตัวอย่างจะนำไปสู่พารามิเตอร์ก่อนและ\ทีนี้จำไว้ว่าค่าเฉลี่ยก่อนหน้าและความแปรปรวนก่อนหน้าของการแจกแจงเบต้าจะได้รับโดย การทำให้ตัวอย่างลดลงครึ่งหนึ่งจะทำให้ค่าเฉลี่ยก่อนหน้า (เกือบ) อยู่ที่ไหน:

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$

β_{0} = 65

$\beta_0=65$

μ = \frac{α}{α + β} and σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

แต่เพิ่มความแปรปรวนก่อนหน้าจาก

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

ถึง

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

ตามที่ต้องการ

— คริสโตฟฮันค์
แหล่งที่มา