การแพร่กระจายของ RV สม่ำเสมออย่างต่อเนื่องโดยมีขีด จำกัด บนเป็น RV แบบสม่ำเสมออื่น

10

ถ้า $X \sim U(a, b)$ และ $Y \sim U(a, X)$ ฉันจะพูดได้ว่า $Y \sim U(a, b)?$

ฉันกำลังพูดคุยเกี่ยวกับการกระจายสม่ำเสมออย่างต่อเนื่องกับข้อ จำกัด $[a, b]$ ]หลักฐานจะได้รับการชื่นชม

uniform distributions

6

ไม่มันไม่ใช่ ใน R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))ค่อนข้างชัดเจนแสดงให้เห็นว่า

Y

$Y$ ไม่ได้กระจายอย่างสม่ำเสมอ (ฉันโพสต์สิ่งนี้เป็นความคิดเห็นเนื่องจากคุณขอหลักฐานซึ่งไม่ควรยาก แต่ตามจริงแล้วหากได้รับฮิสโตแกรมที่เอียงฉันไม่คิดว่าจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ ... )

— Stephan Kolassa

1

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

13

เราสามารถหาการกระจายตัวของวิเคราะห์ได้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่ามันคือที่ตามหลังการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอนั่นคือ $Y$ $Y|X$

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

และอื่น ๆ

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

ซึ่งไม่ได้เป็นเครื่องแบบกระจายในบัญชีของ(ยา) นี่คือความหนาแน่นของการจำลองที่ดูเหมือนกับการกระจายซึ่งซ้อนทับกับที่เราเพิ่งคำนวณ $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
แหล่งที่มา

6

ไม่อย่างแน่นอน.

สำหรับความเรียบง่ายให้เรากำหนด1 $a = 0, b = 1$

แล้วก็

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวดจึงเป็นไปไม่ได้ที่ Unif (0,1) $Y \sim$

— Cliff AB
แหล่งที่มา