จำนวนที่คาดหวังของบัตรที่มองไม่เห็นเมื่อวาด

เรามีไพ่ใบ เราสุ่มไพ่จากมันโดยการสุ่มพร้อมกับการแทนที่ หลังจากวาดจำนวนบัตรที่คาดหวังไม่เคยเลือกคืออะไร?$n$$2n$

คำถามนี้เป็นส่วนที่ 2 ของปัญหา 2.12 ใน

M. Mitzenmacher และ E. Upfal, ความน่าจะเป็นและการคำนวณ: อัลกอริธึมแบบสุ่มและการวิเคราะห์ความน่าจะเป็น , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2005

นอกจากนี้สำหรับสิ่งที่คุ้มค่านี่ไม่ใช่ปัญหาการบ้าน เป็นการศึกษาด้วยตนเองและฉันก็ติดอยู่

คำตอบของฉันคือ:

ให้เป็นจำนวนบัตรที่แตกต่างกันเห็นได้หลังจากที่ TH วาด แล้ว:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

แนวคิดที่นี่คือทุกครั้งที่เราวาดเราจะวาดไพ่ที่เราเคยเห็นหรือเราวาดไพ่ที่เราไม่ได้เห็นและเราสามารถกำหนดแบบวนซ้ำได้

สุดท้ายคำตอบให้กับคำถามที่ว่ามีหลายคนที่เราไม่ได้เห็นหลังจากดึงจะ{2n}]$2n$$n-E[X_{2n}]$

ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้ถูกต้อง แต่ต้องมีวิธีแก้ไขที่ง่ายกว่า

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก.

คำแนะนำ: ในการจับรางวัลใด ๆ ความน่าจะเป็นที่ไม่ได้เลือกไพ่คือ . และเนื่องจากเราวาดด้วยการแทนที่ฉันถือว่าเราสามารถพูดได้ว่าการจับสลากแต่ละครั้งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับคนอื่น ดังนั้นน่าจะเป็นที่การ์ดจะไม่ได้รับการแต่งตั้งใน2nดึงคือ ...$\frac{n-1}{n}$$2n$

ขอบคุณไมค์สำหรับคำใบ้

นี่คือสิ่งที่ฉันมาด้วย

$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

และฉันก็คิดอย่างนั้น

นี่คือรหัส R เพื่อตรวจสอบทฤษฎี

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}