ช่วงเวลาที่ทับซ้อนกันแบบสุ่ม

ฉันจะค้นหานิพจน์การวิเคราะห์ได้อย่างไรในปัญหาต่อไปนี้$D(n,l,L)$

ผมสุ่มวาง "บาร์" ของความยาวลงในช่วงL] "บาร์" สามารถทับซ้อนกัน ฉันต้องการหาค่าเฉลี่ยความยาวรวมของช่วงเวลาครอบครองโดย "บาร์" อย่างน้อยหนึ่งรายการ$n$$l$$[0,L]$$D$$[0,L]$

ใน "ความหนาแน่นต่ำ" ขีด จำกัด , การทับซ้อนกันควรจะมีเพียงเล็กน้อยและลิตร ใน "ความหนาแน่นสูง" ขีด จำกัด ,แนวทางLแต่ฉันจะหานิพจน์ทั่วไปสำหรับอย่างไร นั่นควรเป็นปัญหาพื้นฐานทางสถิติ แต่ฉันไม่สามารถหาคำอธิบายที่อธิบายได้ในฟอรัม$D = n\cdot l$$D$$L$$D$

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก.

โปรดทราบว่าแท่งจะถูกสุ่มสุ่ม (อิสระทางสถิติ) ของกันและกัน

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

ความน่าจะเป็นของจุดในจะถูกครอบครองโดยแถบเลื่อนเดียวคือ$[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$L)

ตามลําดับความน่าจะเป็นที่จะเป็นที่ว่างเปล่าP_o ความน่าจะเป็นที่จุดที่กำหนดนั้นยังคงว่างเปล่าหลังจากแถบที่หล่นคือและที่จะถูกครอบครองคือ$P_{e} = 1 - P_o$$n$$P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

สำหรับขนาดใหญ่n$n$

จากนั้นความยาวเฉลี่ยที่อยู่ในหลังจากสุ่ม "bar drops" คือ$[x_0,x_0 + L]$$n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$P_