มีคำจำกัดความที่ยอมรับได้สำหรับค่ามัธยฐานของตัวอย่างบนระนาบหรือเว้นวรรคที่สูงขึ้นหรือไม่

ถ้าเป็นเช่นนั้นอะไร ถ้าไม่ทำไมไม่

สำหรับตัวอย่างในบรรทัดค่ามัธยฐานจะลดความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ทั้งหมด มันดูเหมือนเป็นธรรมชาติที่จะขยายคำจำกัดความให้เป็น R2 เป็นต้น แต่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อน แต่ฉันออกไปจากสนามไปนานแล้ว

ฉันไม่แน่ใจว่ามีคำจำกัดความที่ยอมรับได้สำหรับมัธยฐานหลายตัวแปร สิ่งที่ฉันคุ้นเคยคือค่ามัธยฐานของ Ojaซึ่งจะลดผลรวมของปริมาตรของความเรียบง่ายที่เกิดขึ้นบนส่วนย่อยของคะแนน (ดูลิงก์สำหรับคำจำกัดความด้านเทคนิค)

อัปเดต: ไซต์ที่อ้างถึงคำจำกัดความของ Oja ด้านบนมีกระดาษที่ดีซึ่งครอบคลุมจำนวนคำจำกัดความของค่ามัธยฐานหลายตัวแปร:

• มาตรการเชิงเรขาคณิตของความลึกของข้อมูล

ตามที่@Arsบอกว่าไม่มีคำจำกัดความที่ยอมรับได้ (และนี่เป็นจุดที่ดี) มีทางเลือกทั่วไปสำหรับครอบครัวในการหาวิธีสรุปปริมาณบนฉันคิดว่าสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ:$\mathbb{R}^d$

• พูดคุยเรื่องกระบวนการควอนไทล์ให้เป็นตัวชี้วัดเชิงประจักษ์ (= สัดส่วนของการสังเกตใน) จากนั้นด้วยเซตย่อยที่ได้รับการเลือกอย่างดีของชุด Borel ในและเป็นการวัดมูลค่าที่แท้จริงคุณสามารถกำหนดฟังก์ชันควอนไทล์เชิงประจักษ์ได้:A A R d$P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  สมมติว่าคุณสามารถหาหนึ่งที่ให้ขั้นต่ำแก่คุณ จากนั้นชุด (หรือองค์ประกอบของชุด)ให้ค่ามัธยฐานเมื่อถูกทำให้เล็กพอ ความหมายของค่ามัธยฐานมีการกู้คืนเมื่อใช้ และ x คำตอบArsตกอยู่ในกรอบที่ฉันคิดว่า ... ที่ตั้งครึ่งช่องว่างของ tukeyอาจได้รับโดยใช้และ (กับ , )1 / 2 - ε ∩ 1 / 2 + ε ε = ( ] - ∞ , x ] x ∈ R ) λ ( ] - ∞ , x $A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$( ) = ( H x = ( t ∈ R d$\lambda(]-\infty,x])=x$λ $\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$x ∈ R ∈ R$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• นิยามการแปรปรวนและการประมาณค่า M ความคิดในที่นี้คือ -quantileของตัวแปรสุ่มในสามารถกำหนดผ่านความเท่าเทียมกันเชิงแปรปรวนQ α Y $\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • คำจำกัดความที่ใช้กันมากที่สุดคือการใช้ฟังก์ชันการถดถอยแบบควอไทล์ (เรียกอีกอย่างว่าการสูญเสียพินบอลเดาว่าทำไม?) (Yx)] เคสให้และคุณสามารถพูดคุยว่ามิติที่สูงขึ้นโดยใช้ระยะทางที่เป็นทำในคำตอบ @Srikant นี่คือค่ามัธยฐานทางทฤษฎี แต่ให้ค่ามัธยฐานเชิงประจักษ์ถ้าคุณแทนที่ความคาดหวังด้วยความคาดหวังเชิงประจักษ์ (หมายถึง) Q α = R กรัมINF x ∈ R E [ ρ α ( Y - x ) ] α = 1 / 2 ρ 1 / 2 ( Y ) = | y | l $\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$

  • แต่Kolshinskiiเสนอให้ใช้การแปลง Legendre-Fenchel: เนื่องจาก โดยที่สำหรับ{R} เขาให้เหตุผลลึก ๆ มากมายกับสิ่งนั้น (ดูกระดาษ;) Generalizing นี้เพื่อมิติที่สูงขึ้นต้องทำงานร่วมกับ vectorialและแทนที่โดยแต่คุณสามารถใช้2/1)f ( s ) = $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$s∈Rαsα⟨s,α⟩α=(1/2,...,1/2$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• การสั่งซื้อบางส่วนคุณสามารถพูดคุยนิยามของ quantiles ในทันทีที่คุณสามารถสร้างคำสั่งบางส่วน (พร้อมคลาสเทียบเท่า)$\mathbb{R}^d$

เห็นได้ชัดว่ามีสะพานเชื่อมระหว่างสูตรต่าง ๆ พวกเขาไม่ชัดเจนทั้งหมด ...

มีวิธีที่แตกต่างในการวางแนวความคิดของค่ามัธยฐานให้อยู่ในระดับที่สูงขึ้น ยังไม่มีใครพูดถึง แต่ที่เสนอมานานคือการสร้างเรือนูนลอกมันออกไปและย้ำตราบเท่าที่คุณสามารถ: สิ่งที่เหลืออยู่ในเรือลำสุดท้ายคือชุดของคะแนนที่ผู้สมัครทุกคนจะเป็น " มีเดีย."

"การต่อสู้หัว"เป็นอีกความพยายามครั้งล่าสุด (ค. ศ. 1980) เพื่อสร้างศูนย์กลางที่แข็งแกร่งให้กับระบบคลาวด์แบบจุด 2D (ลิงค์นี้เป็นเอกสารและซอฟต์แวร์ที่สถาบันมะเร็งแห่งชาติของสหรัฐอเมริกา)

สาเหตุหลักที่ทำให้มีการวางนัยทั่วไปหลายแบบและไม่มีใครแก้ปัญหาได้ชัดเจนว่า R1 สามารถสั่งซื้อได้ แต่ R2, R3, ...

ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตเป็นจุดที่มีระยะยูคลิดเฉลี่ยที่เล็กที่สุดจากตัวอย่าง

ค่ากลางของ Tukey สามารถขยายได้ถึง> 2 มิติโดยใช้ DEEPLOC ซึ่งเป็นอัลกอริทึมเนื่องจาก Struyf และ Rousseeuw; ดูที่นี่สำหรับรายละเอียด

อัลกอริทึมที่ใช้ในการประมาณจุดที่ลึกที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ; วิธีการที่ไร้เดียงสาซึ่งพยายามที่จะตรวจสอบสิ่งนี้มักจะเรียกใช้ afoul ของ (เวอร์ชั่นการคำนวณของ) "คำสาปของมิติ" ที่รันไทม์ที่จำเป็นในการคำนวณสถิติเติบโตขึ้นชี้แจงกับจำนวนของมิติของพื้นที่

คำจำกัดความที่มาใกล้กับมันสำหรับการแจกแจงแบบ unimodal คือค่ากลางของ tukey halfspace

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

ผมไม่ทราบว่าถ้ามีความหมายดังกล่าวอยู่ แต่ฉันจะพยายามขยายความคมชัดมาตรฐานของค่ามัธยฐานเพื่อ 2 ฉันจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้:$R^2$

, Y : ตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องกับสองมิติ$X$$Y$

, m y : ค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกัน$m_x$$m_y$

: PDF ร่วมสำหรับตัวแปรสุ่มของเรา$f(x,y)$

ในการเพิ่มความหมายของค่ามัธยฐานเป็นเราเลือกm xและm yเพื่อลดสิ่งต่อไปนี้:$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

ปัญหาตอนนี้คือเราต้องการคำนิยามสำหรับสิ่งที่เราหมายถึงโดย:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

ด้านบนมีความหมายว่าการวัดระยะทางและคำจำกัดความที่เป็นไปได้หลายประการอาจเป็นไปได้

การวัดแบบยุคลิด

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

$f(x,y)$

ตัวชี้วัดแท็กซี่

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

$X$$Y$$x$$y$