ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ควรถูกมองว่าเป็นคลาสย่อยของการแจกแจงแบบเกาส์หรือไม่?

ใน Wikidata มีความเป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงการแจกแจงความน่าจะเป็น (เหมือนทุกอย่างอื่น) ใน ontology เช่นว่าการแจกแจงแบบ t เป็นคลาสย่อยของการกระจายตัวแบบ noncentral ดูเช่น

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

มีหลายกรณีที่ จำกัด เช่นเมื่อองศาอิสระในการแจกแจงแบบ t ไปที่อนันต์หรือเมื่อความแปรปรวนเข้าหาศูนย์สำหรับการแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบเกาส์) ในกรณีหลังการกระจายจะไปสู่ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac

ฉันทราบว่าในวิกิพีเดียภาษาอังกฤษพารามิเตอร์ความแปรปรวนระบุไว้ในปัจจุบันว่ามีขนาดใหญ่กว่าศูนย์ดังนั้นด้วยการตีความที่เข้มงวดจะไม่พูดว่าฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac เป็นคลาสย่อยของการแจกแจงแบบปกติ อย่างไรก็ตามสำหรับฉันมันค่อนข้างโอเคเพราะฉันจะบอกว่าการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นซูเปอร์คลาสของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac

มีปัญหาใด ๆ หรือไม่ที่ระบุว่าฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac เป็นคลาสย่อยของการแจกแจงแบบเกาส์?

distributions normal-distribution dirac-delta

— ฟินน์Årup Nielsen
แหล่งที่มา

ถ้า dirac delta เป็น subclass ของ gaussian แล้ว kurtosis ต้องเป็น 3 ใช่ไหม?

— Aksakal

ฉันเดาว่าถ้าเราถือว่าเดลต้าเดลต้าเป็นคลาสย่อยของการแจกแจงความน่าจะเป็นหลาย ๆ ค่าความเคิร์ติซีสก็ไม่สอดคล้องกับเดลต้าเดริค มันพูดเกี่ยวกับเดลต้า Dirac เป็นคลาสย่อยของการแจกแจงเหล่านี้

— Finn Årup Nielsen

ในบริบทความน่าจะเป็นเดลต้าอธิบายว่าเป็นฟังก์ชั่นทั่วไป มันไม่ใช่ฟังก์ชั่นธรรมดาทั่วไป

— Aksakal

คำตอบ:

เดลต้าของ Dirac ถือเป็นการกระจายตัวแบบเกาส์เซียนเมื่อสะดวกในการทำและไม่ได้รับการยกย่องเมื่อมุมมองนี้ต้องการให้เราทำการยกเว้น

ยกตัวอย่างเช่นจะกล่าวว่าจะเพลิดเพลินไปกับ หลายตัวแปรเสียนกระจายถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์สำหรับทุกทางเลือกของจำนวนจริง . (หมายเหตุ: นี่เป็นคำจำกัดความมาตรฐานในสถิติ "ขั้นสูง") ตั้งแต่หนึ่งทางเลือกคือ $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , คำจำกัดความมาตรฐานใช้ค่าคงที่ (ตัวแปรสุ่มที่เสื่อมลง) เป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ (ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ) ในทางกลับกันเราเพิกเฉยต่อความสนใจของเราที่มีต่อ Dirac delta ในฐานะการกระจายแบบเกาส์เซียนเมื่อเรากำลังพิจารณาบางอย่างเช่น $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"ฟังก์ชั่นการกระจายความน่าจะเป็นที่สะสม (CDF) ของตัวแปรสุ่มศูนย์เฉลี่ยเกาส์ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $\sigma$ โดยที่คือ CDF ของตัวแปรสุ่มแบบเกาส์มาตรฐาน "

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

$0$ $1$ $x \geq 0$

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$ แต่ผู้คนจำนวนมากจะบอกคุณว่าเกี่ยวกับเดลต้า Dirac เป็นการกระจาย Gaussian เป็นเรื่องไร้สาระเพราะหนังสือของพวกเขาบอกว่าการแปรผันของตัวแปรสุ่ม Gaussian ต้องเป็นจำนวนบวก (และบางคนจะลงคะแนนคำตอบนี้เพื่อแสดง ความไม่พอใจของพวกเขา) มีการถกเถียงกันอย่างจริงจังและกระจ่างแจ้งเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมาเกี่ยวกับสถิติ แต่น่าเสียดายที่มันเป็นเพียงความคิดเห็นในคำตอบ (โดย @Macro ฉันเชื่อ) และไม่ใช่คำตอบของแต่ละบุคคลและฉันไม่สามารถหามันได้อีก .

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

+1 ฉันไม่แน่ใจว่ามีปัญหาเกี่ยวกับ CDF เพราะฉันเชื่อว่าการ จำกัด ลำดับของ CDF ที่ลำดับของการข้ามขีด จำกัด นั้นไม่สำคัญ มีสองวิธีในการดูว่า สิ่งหนึ่งคือให้สังเกตว่าสูตรการ จำกัด ของคุณไม่ใช่ CDF ที่ถูกต้อง (ไม่ใช่ cadlag) อีกข้อหนึ่งคือให้ทราบว่าคุณได้รับการแจกแจงของ Dirac ที่เมื่อคุณปล่อยให้ พร้อมกัน แต่คุณสามารถประดิษฐ์ให้มีค่า จำกัด ของเป็นอะไรก็ได้ระหว่างถึง (หรือไม่มีขีด จำกัด เลย)

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

บทสนทนาที่คุณอ้างอิงเกิดขึ้นในความคิดเห็นของคำตอบนี้แต่ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้อ่านส่วนใหญ่การสนทนาจะไม่แสดงพลังมากเกินไป (+1)

— สำคัญ

@cardinal ความรู้ลึกของชุมชนของเรา ทำได้ดี!

— Matthew Drury

ฟังก์ชันเดลต้าเหมาะสมกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจง (ซึ่งค่อนข้างแตกต่างจากทฤษฎีการแจกแจงความน่าจะเป็นคำศัพท์ที่นี่ไม่อาจทำให้สับสนมากขึ้น)

โดยพื้นฐานแล้วการแจกแจงเป็นฟังก์ชันทั่วไป พวกเขาไม่สามารถประเมินได้เหมือนฟังก์ชั่นสามารถทำได้ แต่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ แม่นยำยิ่งขึ้นการแจกแจงถูกกำหนดดังนี้ $D$

ให้เป็นคอลเลกชันของฟังก์ชั่นการทดสอบ ฟังก์ชั่นทดสอบเป็นฟังก์ชั่นจริงซื่อสัตย์ต่อพระเจ้าราบรื่นพร้อมรองรับขนาดกะทัดรัด การแจกแจงเป็นการแมปเชิงเส้น $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

ฟังก์ชั่นที่ซื่อสัตย์กำหนดการกระจายโดยผู้ประกอบการรวม $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

มีการแจกแจงที่ไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นที่แท้จริงผู้ประกอบการ dirac เป็นหนึ่งในนั้น

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

$N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

นี่อาจจะแสดงออกโดยทั่วไปว่า

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

$\delta(x)$

แน่นอนว่าสิ่งนี้ทำให้ดิแรคเป็นสมาชิกของครอบครัวแห่งการแจกแจงปกติหรือไม่เป็นคำถามทางวัฒนธรรม ที่นี่ฉันแค่ให้เหตุผลว่าทำไมมันอาจสมเหตุสมผลที่จะต้องพิจารณา

— Matthew Drury
แหล่งที่มา

ในขณะที่ฉันเห็นด้วยกับข้อความของคุณฉันคิดว่านี่เป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ฟังก์ชันเดลต้าไม่ใช่ชุดย่อยของ gaussians เช่นเดียวกับการ จำกัด ฟังก์ชั่นต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

— seanv507

@ seanv507 ฉันทำอย่างดีที่สุดเพื่อไม่ได้ข้อสรุปอย่างใดอย่างหนึ่ง!

— Matthew Drury

ฉันคิดว่าการแจกแจงเป็นเหมือนการแจกแจงความน่าจะเป็นมากด้วยการแจกแจง Dirac delta (ความน่าจะเป็น) ที่บ่งบอกถึงตัวแปรที่กำหนดขึ้น ...

— user541686

ถ้าคุณไม่เขียนข้อ จำกัด ของอินทิกรัลพวกมันอาจสับสนอินทิกรัลไม่ จำกัด อีกทั้งประโยคนี้ไม่สมเหตุสมผล: "ฟังก์ชั่นทดสอบθเป็นฟังก์ชั่นที่แท้จริงตรงไปตรงมากับพระเจ้านุ่มนวลด้วยการรองรับที่กะทัดรัด"

— ogogmad

@jkabrg ทำไมมันไม่สมเหตุสมผล? ตั้งแต่ฉันเขียนมันยากสำหรับฉันที่จะเห็นมันไม่สมเหตุสมผล

— Matthew Drury

-1

ไม่มันไม่ใช่คลาสย่อยของการแจกแจงแบบปกติ

ฉันคิดว่าความสับสนนั้นมาจากการเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่น Dirac โปรดจำไว้ว่ามันถูกกำหนดไว้ดังนี้:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (x) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{i k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

ดังนั้นจึงควรคิดถึงฟังก์ชั่น Dirac ในแง่ของนิยามที่ครบถ้วนและใช้ฟังก์ชันแทนเช่นเกาส์เซียนเป็นเครื่องมืออำนวยความสะดวก

UPDATE ถึง @ whuber's point ตัวอย่างที่ดียิ่งขึ้นคือการแสดงของเดลต้าของ Dirac:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

ดูเหมือนว่าการกระจาย Laplacianให้คุณหรือไม่ เราไม่ควรพิจารณาเดลต้าของ Dirac เป็นคลาสย่อยของการกระจาย Laplacian

— Aksakal
แหล่งที่มา

เมื่อถึงจุดหนึ่งในคำตอบนี้คุณดูเหมือนจะเปลี่ยนจากการคุยเรื่องการแจกแจงเป็นการอภิปรายเรื่อง "ฟังก์ชั่น" คำถามอ้างอิงอย่างชัดเจนถึง "การแจกแจงความน่าจะเป็น" โดยทั่วไปไม่ได้รับฟังก์ชั่นความหนาแน่น แต่มักจะได้รับจากฟังก์ชั่นการกระจาย การกระจายตัวของอะตอม - "Dirac delta" - เข้ากันอย่างลงตัวกับการแจกแจงแบบเกาส์อื่น ๆ ทั้งหมดเป็นกรณี จำกัด (ในการตั้งค่าของ Matthew Drury มันถูกกำหนดเป็นขีด จำกัด นั้น!) ข้อโต้แย้งของคุณคล้ายกับการอ้างว่าพูดวงกลมไม่ได้เป็นวงรี การบังคับใช้ข้อยกเว้นดังกล่าวดูเหมือนจะไม่สร้างสรรค์

— whuber

@whuber "การกระจายตัวของอะตอม" คืออะไร

— Aksakal

"อะตอม" เป็นก้อนของความน่าจะเป็นที่จุดเดียว มันคือการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่คงที่เกือบทุกที่

— whuber

@ โฮเบอร์โอ้ฉันคิดถึงอะตอมทางกายภาพ ไม่ประเด็นของฉันคือเดลต้าของ Dirac ไม่ใช่ subclass ของ Gaussian เพราะ Laplacian สามารถเป็นตัวแทนได้เช่น distros

— Aksakal

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber