จำนวนคำศัพท์ที่ใหญ่ที่สุดในเพิ่มขึ้นรวมครึ่งหนึ่งหรือไม่

พิจารณา โดยที่คือ iid และ CLT ถือ จำนวนคำศัพท์ที่ใหญ่ที่สุดนั้นรวมกันได้ทั้งหมดครึ่งหนึ่งหรือไม่ ตัวอย่างเช่น 10 + 9 + 8 (10 + 9 + 8 + 1) / 2: 30% ของคำศัพท์เข้าถึงประมาณครึ่งหนึ่งของทั้งหมด $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

กำหนด
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

มีผล asymptotic ทั่วไปสำหรับ halfsum ( $N, \mu, \sigma$ ) หรือไม่
การเรียบง่ายที่ได้มานั้นจะดีมาก

(Monte Carlo ตัวเล็ก ๆ ชี้ให้เห็นว่าบางครั้ง halfsum ( $N$ ) $\approx N$ / 4 หรือมากกว่านั้น
คือ 1/4 ที่ใหญ่ที่สุด $X_i$ รวมกันเป็น 1/2 ส่วน
ฉันได้ 0.24 $N$ สำหรับ halfnormal, 0.19 $N$ สำหรับ เลขชี้กำลังสำหรับ $N$ = 20, 50, 100)

central-limit-theorem asymptotics

— เดนิส
แหล่งที่มา

อย่าคาดหวังผลลัพธ์ที่เป็นสากลของ CLT ยกตัวอย่างเช่นคำตอบสำหรับเครื่องแบบ (0,1) variates จะมากแตกต่างจากคำตอบสำหรับเครื่องแบบ (1000,1001) variates!

— whuber

ใช่แน่นอนว่าครึ่งจะขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและ sd แต่ทำไม ~ N / 5 สำหรับเลขชี้กำลัง?

— ปฏิเสธ

Asymptotically, Denis, cutoff สำหรับ halfsum จะเป็นค่าซึ่งโดยที่คือ pdf สำหรับ; คำถามที่ถามสำหรับ (คือ cdf สำหรับ ) ในกรณีของการแจกจ่ายเครื่องแบบคุณจะได้รับคำตอบ @ Dilip สำหรับชี้แจง 5

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

คำตอบ:

ไม่ไม่มีผลเชิงซีมโทติคทั่วไป ให้เป็นคนสั่งให้โดยที่ใหญ่ที่สุด $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

ลองพิจารณาสองตัวอย่างต่อไปนี้:

1)1 เห็นได้ชัดว่า CLT ถือ คุณต้องการการสังเกตสำหรับ. $P(x=0) = 1$ $M=1$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2)1 เห็นได้ชัดว่า CLT ถือ คุณต้องการการสังเกตการณ์สำหรับ. $P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

สำหรับตัวอย่างที่ไม่น่าสนใจการแจกแจงเบอร์นูลลี:

3)1-P CLT ถืออีกครั้ง คุณต้องการจากการสังเกตเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขของคุณ ด้วยการเปลี่ยนแปลงระหว่าง 0 ถึง 1 คุณจะได้ใกล้เคียงกับตัวอย่างที่ 1 หรือ 2 ตามที่คุณต้องการ $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— jbowman
แหล่งที่มา

เห็นได้ชัดว่าคำตอบนั้นอยู่ระหว่างถึงแต่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีผลลัพธ์ทั่วไป เราควรพิจารณาคำตอบโดยที่เศษส่วนขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการแจกแจงพื้นฐานเช่นค่าเฉลี่ยและ SD เหล่านั้นเพียงพอพร้อมกับ CLT เพื่อให้ข้อมูลที่เฉพาะเจาะจงและเชิงปริมาณเกี่ยวกับวิธีที่ถูกกระจายเมื่อเทียบกับผลรวมของพวกเขาดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะหวังผลดังกล่าว

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

— whuber

นี่คือการโต้แย้งอย่างหยาบที่ให้การประเมินแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอ สมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกระจายอย่างสม่ำเสมอบน[0,1]จากนั้นมีค่าเฉลี่ย 2 สมมติว่าโดยบังเอิญแปลกและไม่น่าเชื่อโดยสิ้นเชิงรวมเป็นเท่ากับ 2 ดังนั้นเราจึงต้องการประเมินว่าค่ามากที่สุดรวมเป็นหรือมากกว่านั้น ตอนนี้ histogram ของตัวอย่าง (ขนาดใหญ่มาก) มาจากการกระจาย uniformm คือประมาณแบนจากที่จะ $X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ และอื่น ๆ สำหรับการใด ๆ ,มี ตัวอย่างกระจายประมาณสม่ำเสมอระหว่างไป1ตัวอย่างเหล่านี้มีค่าเฉลี่ยและผลรวมเท่ากับ 2 ผลรวมเกินกว่าสำหรับ{2} ดังนั้นผลรวมของตัวอย่างที่ใหญ่ที่สุดเกินกว่า 4 $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

คุณสามารถลองและสรุปทั่วไปนี้เล็กน้อย หากแล้วสำหรับการใด ๆ ให้เราต้องการจะเป็นเช่นนั้นที่ เป็นเรื่องปกติที่มีค่าเฉลี่ยและแปรปรวนNดังนั้นปรับอากาศในค่าของ ,N)} คูณด้วยความหนาแน่นของและรวม (จากถึง ) เพื่อค้นหาจำนวนเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างที่ใหญ่ที่สุดที่จะเกินครึ่งหนึ่งของผลรวมแบบสุ่ม $\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ระยะห่างระหว่างสองจุด จำกัด ที่จะอยู่ในช่วงเวลาไม่สามารถกระจายชี้แจงเพราะระยะทางที่ต้องน้อยกว่าในขณะที่ใช้เวลาชี้แจงตัวแปรสุ่มค่าที่อยู่ในinfty) สิ่งที่เป็นจริงก็คือว่าถ้ามีความเป็นอิสระตัวแปรสุ่มชี้แจงแล้วปรับอากาศในที่สถิติการสั่งซื้อจะกระจายอย่างสม่ำเสมอในalpha) ดูตัวอย่างคำถามและคำตอบนี้ในเว็บไซต์เพื่อนร่วมทางคณิตศาสตร์ (ต่อ)

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

— Dilip Sarwate

ไม่ว่าในกรณีใดข้อโต้แย้งของฉันไม่ได้ใช้ระยะห่างระหว่างตัวอย่างที่ได้รับคำสั่งจากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ

— Dilip Sarwate

คุณพูดถูกฉันเข้าใจคุณผิด ตามคำถามด้านข้างชิ้นส่วนระหว่างคะแนนแบบสุ่มไม่ได้กระจายกันแบบเอกซ์โพเนนเชียลหลังจากปรับขนาด - การสนทนาของ q + a ของคุณหรือไม่ [Broken Stick Rule จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project] ( demo.wolfram.com/BrokenStickRule ) แน่นอนว่ามันมีลักษณะเป็นเลขชี้กำลังต้องมีง่ายไหม? พิสูจน์

— ปฏิเสธ

โปรดถามคำถามข้างของคุณเป็นคำถามแยกต่างหาก

— Dilip Sarwate

เริ่มต้นแล้วเห็นความน่าจะเป็นการกระจายตัวของความยาวส่วนคุณสามารถแสดงความคิดเห็นได้ที่นั่น

— ปฏิเสธ

สมมุติว่า X มีค่าเป็นบวกเพื่อกำจัดค่าสัมบูรณ์

ฉันคิดว่าคุณต้องแก้หา k

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$ โดยที่ F เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับ X

และแล้วคำตอบจะได้รับจากการค่าสูงสุด $n(1-F_X(k))$

ตรรกะของฉันคือ asymtopically ผลรวมของค่าทั้งหมดที่สูงกว่า k ควรจะเกี่ยวกับ

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

และประมาณครึ่งหนึ่งของผลรวมทั้งหมดเป็นเรื่องเกี่ยวกับ

$\frac{1}{2}nE(X)$ (X)

แสดงจำลองเชิงตัวเลขว่าผลที่ถือสำหรับกรณีเครื่องแบบ (ในเครื่องแบบ ) ที่และฉันได้รับ{2}) ฉันไม่แน่ใจว่าผลลัพธ์จะคงอยู่เสมอหรือหากสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก แต่ฉันคิดว่ามันขึ้นอยู่กับฟังก์ชันการกระจาย F $[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— เอริค
แหล่งที่มา