เหตุใดอนุกรมเวลาจึงต้องหยุดนิ่ง

ฉันเข้าใจว่าอนุกรมเวลาที่อยู่กับที่เป็นค่าคงที่และความแปรปรวนคงที่ตลอดเวลา มีใครช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมว่าทำไมเราต้องทำให้แน่ใจว่าชุดข้อมูลของเราอยู่กับที่ก่อนที่เราจะสามารถเรียกใช้โมเดล ARIMA หรือ ARM ที่แตกต่างกันได้ สิ่งนี้ยังนำไปใช้กับโมเดลการถดถอยปกติที่ความสัมพันธ์อัตโนมัติและ / หรือเวลาไม่ใช่ปัจจัยหรือไม่?

Stationarity เป็นโครงสร้างการพึ่งพาอาศัยหนึ่งประเภท

สมมติว่าเรามีข้อมูล n สมมติฐานพื้นฐานที่สุดคือX $X_1,...,X_n$$X_i$เป็นอิสระนั่นคือเรามีตัวอย่าง ความเป็นอิสระเป็นคุณสมบัติที่ดีเนื่องจากการใช้มันเราสามารถได้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์มากมาย ปัญหาคือบางครั้ง (หรือบ่อยครั้งขึ้นอยู่กับมุมมอง) คุณสมบัตินี้ไม่ได้ถือ

ตอนนี้ความเป็นอิสระเป็นคุณสมบัติที่ไม่ซ้ำกันตัวแปรสุ่มสองตัวสามารถเป็นอิสระได้ในทางเดียว แต่พวกเขาสามารถพึ่งพาได้หลายวิธี ดังนั้นความคงที่เป็นวิธีหนึ่งในการสร้างแบบจำลองโครงสร้างการพึ่งพา ปรากฎว่าผลลัพธ์ที่ดีจำนวนมากที่เก็บไว้สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ (กฎของจำนวนมากทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเพื่อชื่อไม่กี่) ถือสำหรับตัวแปรสุ่มหยุดนิ่ง (เราควรพูดลำดับอย่างเคร่งครัด) และแน่นอนมันกลับกลายเป็นว่าข้อมูลจำนวนมากถือได้ว่านิ่งดังนั้นแนวคิดของความคงอยู่จึงมีความสำคัญมากในการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่ไม่เป็นอิสระ

เมื่อเราตัดสินใจแล้วว่าเรามีความคงที่โดยธรรมชาติเราต้องการสร้างแบบจำลอง นี่คือที่อาร์โมเดลมาใน. ปรากฎว่าข้อมูลใด ๆ นิ่งสามารถประมาณนิ่งกับรูปแบบ ARMA ขอบคุณWold ทฤษฎีบทการสลายตัว นั่นคือเหตุผลว่าทำไมรุ่น ARMA จึงเป็นที่นิยมมากและนั่นคือสาเหตุที่เราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าซีรีย์นั้นอยู่กับที่เพื่อใช้โมเดลเหล่านี้

ตอนนี้อีกเรื่องเดียวกันถือเป็นอิสระและพึ่งพา การเขียนแบบคงที่มีการกำหนดไว้ไม่ซ้ำกันเช่นข้อมูลเป็นแบบนิ่งหรือไม่ดังนั้นจึงมีวิธีเดียวที่ข้อมูลจะคงที่ แต่มีหลายวิธีที่จะไม่อยู่นิ่ง อีกครั้งปรากฎว่าข้อมูลจำนวนมากกลายเป็นนิ่งหลังจากการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง แบบจำลอง ARIMA เป็นแบบจำลองหนึ่งเดียวสำหรับแบบไม่อยู่นิ่ง มันจะถือว่าข้อมูลกลายเป็นนิ่งหลังจากการแตกต่าง

ในบริบทการถดถอยความคงที่มีความสำคัญเนื่องจากผลลัพธ์เดียวกันซึ่งใช้กับข้อมูลอิสระจะเก็บไว้ถ้าข้อมูลนั้นอยู่กับที่

โดยทั่วไปเรามีปริมาณเท่าใดเมื่อเราทำการวิเคราะห์เชิงสถิติในอนุกรมเวลา เราอยากรู้

• ค่าที่คาดหวัง
• ความแปรปรวนและ
• ความสัมพันธ์ระหว่างค่าระยะเวลาห่างกันสำหรับชุดของsค่า$s$$s$

เราจะคำนวณสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไร การใช้ค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาต่างๆ

ค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาต่าง ๆ เป็นข้อมูลเท่านั้นหากค่าที่คาดหวังจะเหมือนกันในช่วงเวลาเหล่านั้น หากพารามิเตอร์ประชากรเหล่านี้อาจแตกต่างกันไปเราจะประเมินอะไรโดยใช้ค่าเฉลี่ยข้ามเวลา

(จุดอ่อน) stationarity ต้องการปริมาณประชากรเหล่านี้จะต้องเหมือนกันในช่วงเวลาทำให้ตัวอย่างเฉลี่ยวิธีที่เหมาะสมในการประเมินพวกเขา

นอกจากนี้กระบวนการนิ่งหลีกเลี่ยงปัญหาของการถดถอยปลอม

แนวคิดพื้นฐานในการเรียนรู้เชิงสถิติคือคุณสามารถเรียนรู้ได้โดยทำการทดสอบซ้ำ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพลิกเป๊กเพื่อเรียนรู้ความน่าจะเป็นที่เป๊กติดหัวไว้

ในบริบทอนุกรมเวลาเราสังเกตการทำงานเดี่ยวของกระบวนการสุ่มแทนการวิ่งซ้ำของกระบวนการสุ่ม เราสังเกตการทดลองที่ยาวนาน 1 ครั้งมากกว่าการทดลองหลายครั้ง

เราต้องการความคงที่และความสอดคล้องเพื่อให้การสังเกตระยะยาวของกระบวนการสโทแคสติกนั้นคล้ายคลึงกับการสังเกตการไหลแบบอิสระจำนวนมากของกระบวนการสโทแคสติก

คำจำกัดความบางอย่าง (ไม่ชัดเจน)

$\Omega$$\{Y_t\}$$t \in \{1, 2, 3, \ldots\}$$\omega \in \Omega$

• $t$$Y_t$$\Omega$
• $\omega$$X(\omega)$$\{Y_1(\omega), Y_2(\omega), Y_3(\omega), \ldots \}$

ปัญหาพื้นฐานในอนุกรมเวลา

$X_1$$X_2$$X_3$$i = 1, \ldots, n$$\omega_i \in \Omega$$X$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\operatorname{E}[X]$

$t$$\Omega$

$\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T Y_t$

สำหรับข้อสังเกตหลายช่วงเวลาที่จะบรรลุเป็นงานที่คล้ายกันเป็นหลายดึงจากพื้นที่ตัวอย่างเราต้องstationarityและergodicity

$\operatorname{E}[Y]$$\frac{1}{T}\sum_{t =1}^T Y_t$$\operatorname{E}[Y]$

ตัวอย่างที่ 1: ความล้มเหลวของการคงที่

$\{Y_t\}$$Y_t = t$$\{Y_t\}$

$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t Y_i$$S_t$$t \rightarrow \infty$$S_1 = 1, S_2 = \frac{3}{2}, S_3 = 2, \ldots, S_t = \frac{t+1}{2}$$Y_t$$S_t$$t \rightarrow \infty$

ตัวอย่าง: ความล้มเหลวของการยศาสตร์

$X$$Y_t = X$$t$$\{Y_t\} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots)$$\{Y_t\} = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$

$\operatorname{E}[Y_t] = \frac{1}{2}$$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i$$Y_t$

ในการเพิ่มคำตอบระดับสูงให้กับคำตอบอื่น ๆ ที่ดี แต่มีรายละเอียดมากขึ้นการมีความชัดเจนเป็นสิ่งสำคัญเพราะในกรณีที่ไม่มีรูปแบบที่อธิบายข้อมูลจะแตกต่างกันในความแม่นยำ ณ จุดเวลาที่ต่างกัน ดังนั้นจำเป็นต้องมีการเขียนแบบคงที่สำหรับสถิติตัวอย่างเช่นค่าความแปรปรวนและค่าสหสัมพันธ์เพื่ออธิบายข้อมูลอย่างแม่นยำ ณ จุดที่น่าสนใจตลอดเวลา

$600<t<800$$200<t<400$

$x_t=x_{t-1}+e_t$

อย่างไรก็ตามเรามักจะมองหาเครื่องเขียน ทำไม?

พิจารณาปัญหาการพยากรณ์ คุณคาดการณ์อย่างไร หากทุกอย่างแตกต่างกันในวันพรุ่งนี้ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะคาดการณ์เพราะทุกอย่างจะแตกต่างกัน ดังนั้นกุญแจสำคัญในการคาดการณ์คือจะหาบางสิ่งบางอย่างที่จะเป็นวันพรุ่งนี้เดียวกันและขยายที่ไปในวันพรุ่งนี้ ว่าบางสิ่งบางอย่างสามารถเป็นอะไรก็ได้ ฉันจะยกตัวอย่างให้คุณ

$e_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\sigma^2$$\Delta x_t\equiv x_t-x_{t-1}=e_t$$\Delta x_t$

$x_t=\alpha t+e_t$$E[e_t]=0$$\alpha$

สำหรับการคาดการณ์เราจำเป็นต้องค้นหาส่วนประกอบคงที่ (เวลาไม่แปรเปลี่ยน) ในซีรีส์ไม่เช่นนั้นจะเป็นไปไม่ได้ที่จะคาดการณ์ตามคำจำกัดความ การหยุดนิ่งเป็นเพียงกรณีหนึ่งของความไม่แปรเปลี่ยน

เนื่องจาก ARIMA กำลังถอยหลังตัวเองเป็นส่วนใหญ่จึงใช้การถดถอยหลายแบบที่เกิดขึ้นเองซึ่งจะได้รับอิทธิพลโดยไม่จำเป็นจากแนวโน้มที่แข็งแกร่งหรือฤดูกาล เทคนิคการถดถอยแบบหลายครั้งนี้อิงตามค่าอนุกรมเวลาก่อนหน้านี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเวลาล่าสุดและช่วยให้เราสามารถดึง "ความสัมพันธ์ระหว่าง" ที่น่าสนใจระหว่างค่าที่ผ่านมาหลายค่า

$X$$(X_{t+1},\ldots,X_{t+k})$$(X_1,\ldots,X_k)$$t$$k$. จากวิกิพีเดีย: กระบวนการคงที่ (หรือเข้มงวด (เหมือน) กระบวนการคงที่หรือกระบวนการนิ่งนิ่ง (ly)) เป็นกระบวนการสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นร่วมกันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อขยับในเวลาหรือพื้นที่ ดังนั้นพารามิเตอร์เช่นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนหากมีอยู่จะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาหรือตำแหน่ง นอกจากนี้เมื่อ Cardinal ชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องด้านล่างฟังก์ชั่น autocorrelation จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา (ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมคงที่ตลอดเวลา) แปลงเป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ARMA ที่ไม่แปรเปลี่ยน / คงที่ตลอดช่วงเวลา

ความคิดเกี่ยวกับความคงที่ของโมเดล ARMA นั้นเชื่อมโยงกับแนวคิดของการกลับด้านอย่างใกล้ชิด

$y(t)=1.1 \,y(t-1)$$(1-1.1 B)$

ARMA และ ARIMA ถูกสร้างขึ้นโดยมีข้อสันนิษฐานว่าซีรีส์นั้นจะอยู่กับที่ หากซีรีส์ไม่ใช่การทำนายจะไม่ถูกต้อง

สถิติตัวอย่าง - หมายถึงความแปรปรวนความแปรปรวนร่วม - มีประโยชน์ในฐานะที่เป็นตัวบ่งชี้พฤติกรรมในอนาคตเฉพาะในกรณีที่ซีรีส์เป็นเครื่องเขียน ตัวอย่างเช่นหากซีรีส์เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเมื่อเวลาผ่านไปค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตัวอย่างจะเพิ่มขึ้นตามขนาดของตัวอย่างและพวกมันจะประเมินค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนในช่วงเวลาในอนาคตเสมอ สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเมื่อพยายามคาดการณ์โมเดลการถดถอยที่พอดีกับข้อมูลที่ไม่คงที่

ในมุมมองของฉันคือกระบวนการสโทแคสติกซึ่งควบคุมโดยคุณสมบัติทางสถิติสามอย่างซึ่งต้องเป็นเวลา - ผู้แปรปรวนพวกเขาคือค่าเฉลี่ยความแปรปรวนและฟังก์ชั่นสหสัมพันธ์อัตโนมัติซึ่งสองคนแรกไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับวิวัฒนาการของกระบวนการในเวลาดังนั้น คุณสมบัติที่สามซึ่งเป็นฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติควรได้รับการพิจารณาซึ่งบอกว่าการพึ่งพาอาศัยกันเกิดขึ้นได้อย่างไรเมื่อเวลาดำเนินไป (ล่าช้า)

เพื่อแก้ปัญหาใด ๆ ที่เราจำเป็นต้องสร้างแบบจำลองสมการทางคณิตศาสตร์โดยใช้สถิต

1. เพื่อแก้สมการดังกล่าวจะต้องมีความเป็นอิสระและนิ่ง (ไม่เคลื่อนไหว)
2. ในข้อมูลที่อยู่กับที่เท่านั้นที่เราสามารถรับข้อมูลเชิงลึกและทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (หมายถึงความแปรปรวน ฯลฯ .. ) สำหรับอเนกประสงค์
3. ในที่ไม่คงที่การรับข้อมูลทำได้ยาก

ในระหว่างขั้นตอนการแปลงเราจะได้รับเทรนด์และฤดูกาล