คุณจะอธิบายแนวคิดเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยค่ามัธยฐานและโหมดของรายการตัวเลขอย่างไรและทำไมพวกเขาถึงมีความสำคัญต่อใครบางคนที่มีทักษะการคิดคำนวณขั้นพื้นฐานเท่านั้น อย่าพูดถึงความเบ้, CLT, แนวโน้มกลาง, คุณสมบัติทางสถิติ, ฯลฯ

ฉันอธิบายให้คนที่หมายถึงเป็นเพียงวิธีที่รวดเร็วและสกปรกในการ "สรุป" รายการตัวเลข แต่เมื่อมองย้อนกลับไป

ความคิดหรือตัวอย่างโลกแห่งความจริง?

ขอบคุณสำหรับคำถามที่เรียบง่าย แต่ลึกซึ้งนี้เกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานทางสถิติของค่าเฉลี่ยมัธยฐานและโหมด มีวิธีการ / การสาธิตที่ยอดเยี่ยมสำหรับการอธิบายและเข้าใจสัญชาตญาณ - แทนที่จะเป็นเลขคณิต - การทำความเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ แต่น่าเสียดายที่พวกเขาไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง (หรือสอนในโรงเรียนเพื่อความรู้ของฉัน)

หมายถึง:

1. จุดสมดุล: หมายถึงศูนย์กลาง

วิธีที่ดีที่สุดในการเข้าใจแนวคิดของมันหมายถึงการคิดว่ามันเป็นจุดสมดุลในแกนเครื่องแบบ ลองนึกภาพชุดของจุดข้อมูลเช่น {1,1,1,3,3,6,7,10} หากแต่ละจุดเหล่านี้มีการทำเครื่องหมายบนแท่งเครื่องแบบและน้ำหนักที่เท่ากันจะถูกวางไว้ที่แต่ละจุด (ดังที่แสดงด้านล่าง) จากนั้นศูนย์กลางจะต้องวางไว้ที่ค่าเฉลี่ยของข้อมูลสำหรับแกนเพื่อความสมดุล

การสาธิตด้วยภาพนี้ยังนำไปสู่การตีความทางคณิตศาสตร์ เหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับเรื่องนี้คือเพื่อให้น้ำหนักสมดุลการเบี่ยงเบนเชิงลบทั้งหมดจากค่าเฉลี่ย (ทางด้านซ้ายของศูนย์กลาง) จะต้องเท่ากับค่าเบี่ยงเบนบวกทั้งหมดจากค่าเฉลี่ย (ทางด้านขวา) ดังนั้นค่าเฉลี่ยทำหน้าที่เป็นจุดสมดุลในการกระจาย

ภาพนี้ช่วยให้เข้าใจค่าเฉลี่ยได้ทันทีเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการกระจายของจุดข้อมูล คุณสมบัติอื่นของค่าเฉลี่ยที่ชัดเจนจากการสาธิตนี้คือความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยจะอยู่ระหว่างค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดในการแจกแจง นอกจากนี้ผลกระทบของค่าผิดปกติสามารถเข้าใจได้ง่าย - การมีค่าผิดปกติจะเปลี่ยนจุดสมดุลและด้วยเหตุนี้ส่งผลกระทบต่อค่าเฉลี่ย

2. การแจกจ่ายซ้ำ (มูลค่ายุติธรรม)

อีกวิธีที่น่าสนใจในการทำความเข้าใจค่าเฉลี่ยคือการคิดว่ามันเป็นค่าการแจกจ่ายซ้ำ การตีความนี้ต้องการความเข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณค่าเฉลี่ย แต่ใช้คุณภาพของมนุษย์ซึ่ง ได้แก่ แนวคิดสังคมนิยมของการแจกจ่ายซ้ำ - เพื่อเข้าใจแนวคิดของค่าเฉลี่ย

การคำนวณค่าเฉลี่ยนั้นเป็นการรวมค่าทั้งหมดในการแจกแจง (ชุดค่า) และหารผลรวมด้วยจำนวนจุดข้อมูลในการแจกแจง

วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณนี้คือการคิดว่าแต่ละจุดข้อมูลเป็นแอปเปิ้ล เมื่อใช้ตัวอย่างเดียวกันก่อนหน้านี้เรามีคนแปดคนในตัวอย่างของเรา: {1,1,1,3,3,6,7,10} บุคคลแรกมีหนึ่งแอปเปิ้ลคนที่สองมีแอปเปิ้ลหนึ่งและอื่น ๆ ทีนี้ถ้าใครอยากแจกจ่ายแอปเปิ้ลอีกจำนวนหนึ่งซึ่งมัน "ยุติธรรม" กับทุกคนคุณสามารถใช้ค่าเฉลี่ยของการแจกจ่ายเพื่อทำสิ่งนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถมอบแอปเปิ้ลสี่ตัว (เช่นค่าเฉลี่ย) ให้กับทุกคนเพื่อให้การกระจายนั้นยุติธรรม / เท่ากัน การสาธิตนี้ให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายสำหรับสูตรด้านบน: การหารผลรวมของการแจกแจงด้วยจำนวนจุดข้อมูลเทียบเท่ากับการแบ่งการกระจายทั้งหมดของการแจกแจงเท่ากันกับจุดข้อมูลทั้งหมด

3. ช่วยในการจำภาพ

ตัวช่วยจำที่มองเห็นต่อไปนี้ให้การตีความค่าเฉลี่ยในวิธีที่ไม่เหมือนใคร:

นี่เป็นตัวช่วยจำสำหรับการตีความค่าการปรับระดับของค่าเฉลี่ย ความสูงของคานประตู A เป็นความสูงของตัวอักษรสี่ตัว

และนี่คือช่วยในการจำอีกครั้งสำหรับการตีความจุดสมดุลของค่าเฉลี่ย ตำแหน่งของศูนย์กลางคือประมาณค่าเฉลี่ยของตำแหน่งของ M, E และ N สองเท่า

มัธยฐาน

เมื่อแปลความหมายของค่าเฉลี่ยเป็นที่จุดสมดุลบนก้านเป็นที่เข้าใจได้เฉลี่ยที่สามารถแสดงให้เห็นถึงการขยายตัวของความคิดเดียวกันคือจุดสมดุลบนสร้อยคอ

แทนที่ร็อดด้วยสตริง แต่เก็บเครื่องหมายข้อมูลและน้ำหนัก จากนั้นในตอนท้ายให้ติดสายที่สองยาวกว่าครั้งแรกเพื่อสร้างห่วง [เช่นสร้อยคอ] และประดับห่วงบนลูกรอกหล่อลื่นอย่างดี

สมมติว่าเริ่มแรกว่าน้ำหนักนั้นแตกต่างกัน ความสมดุลของรอกและลูปเมื่อมีจำนวนน้ำหนักเท่ากันในแต่ละด้าน กล่าวอีกนัยหนึ่งการวนรอบ 'สมดุล' เมื่อค่ามัธยฐานเป็นจุดต่ำสุด

โปรดสังเกตว่าหากน้ำหนักตัวใดตัวหนึ่งเลื่อนขึ้นไปวนซ้ำเพื่อสร้างค่าผิดปกติห่วงจะไม่เคลื่อนที่ สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงหลักการทางร่างกายที่ค่ามัธยฐานไม่ได้รับผลกระทบจากค่าผิดปกติ

โหมด

โหมดอาจเป็นแนวคิดที่ง่ายที่สุดที่จะเข้าใจเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่สุด: การนับ ความจริงที่ว่ามันเท่ากับจุดข้อมูลที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดนำไปสู่คำย่อ:“ M O - เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการทำสัญญาD ata E ”

โหมดนี้ยังสามารถคิดได้ว่ามีค่าทั่วไปมากที่สุดในชุด (แม้ว่าความเข้าใจที่ลึกซึ้งกว่าของ 'ทั่วไป' จะนำไปสู่ตัวแทนหรือค่าเฉลี่ยอย่างไรก็ตามมันก็เหมาะสมที่จะถือเอา 'ปกติ' ด้วยโหมดตามความหมายที่แท้จริงของคำว่า 'ทั่วไป')

แหล่งที่มา:

• ค่ามัธยฐานเป็นจุดสมดุล - Lynch, The Mathematics Journal (2009)
• การสร้างสถิติที่น่าจดจำ: ความทรงจำและแรงจูงใจใหม่ - Lesser, สถิติการศึกษา, JSM (2011)
• ในการใช้เครื่องช่วยจำสำหรับการสอนสถิติ - Lesser, Assisted Statistics and Applications, 6 (2), 151-160 (2011)
• หมายความว่าอย่างไร - Watier, Lamontagne และ Chartier, วารสารการศึกษาสถิติ, เล่มที่ 19, หมายเลข 2 (2011)
• โดยทั่วไป? ความคิดเห็นของเด็กและครูเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย - รัสเซลและโมโกร, ICOTS 3 (1990) การอ้างอิงโดยรวม: http://www.amstat.org/publications/jse/v22n3/lesser.pdf

ฉันต้องสงสัยว่าเกณฑ์ของคุณสามารถทำได้หรือไม่เนื่องจากคุณต้องการประสิทธิภาพสูงสุดและพลังในการอธิบายด้วยวัสดุน้อยที่สุด แต่ตัวอย่างง่ายๆเช่น

1 1 2 2 2 3 3 4 5 6 15

อนุญาตให้คำนวณทันทีโหมด (2), ค่ามัธยฐาน (3) และค่าเฉลี่ย (44/11) = 4 และแสดงให้เห็นว่าพวกเขาสามารถแตกต่างกัน

จากนั้นคุณสามารถอธิบายได้ว่าแนวคิดของค่าที่พบบ่อยที่สุดค่าที่อยู่ตรงกลางและค่าเฉลี่ยนั้นแตกต่างกัน และแนะนำภาวะแทรกซ้อนโดย

1. การเปลี่ยนค่าเพื่อแสดงโหมดสามารถคลุมเครือ

2. ใช้ตัวอย่างที่มีค่าเป็นเลขคู่เพื่ออธิบายแบบแผนสำหรับการคำนวณค่ามัธยฐาน

3. ค่าที่แตกต่างกันในหางเพื่อเน้นสิ่งที่เกิดขึ้นกับค่าเฉลี่ยและทำไมและทำไมจึงไม่เป็นที่น่าพอใจ

4. ใช้ตัวอย่างที่เรียบง่ายซึ่งค่าเฉลี่ยสองหรือสามค่ามัธยฐานโหมดตรงกัน

ฉันไม่ได้กล่าวถึงแนวโน้มที่สำคัญในการสอนของฉันยกเว้นที่จะบอกว่ามันเป็นศัพท์ในวรรณคดีต่างๆ ฉันชอบพูดคุยเกี่ยวกับระดับและวิธีการวัดปริมาณ ในทางกลับกันฉันไม่คิดว่าการวิเคราะห์ข้อมูลที่ร้ายแรงใด ๆ เป็นไปได้เว้นแต่ว่าผู้คนจะมีความรู้สึกเบ้น้อยกว่าปกติมากกว่าสมมาตร

นี่คือวิธีที่ฉันอธิบายพวกเขา:

ค่าเฉลี่ย (เลขคณิต) คือจุดที่คำนึงถึงข้อมูลทั้งหมดที่กำหนดไว้และตั้งอยู่ที่ใดที่หนึ่ง "ตรงกลาง" ให้พวกเขาคิดว่าเมฆจุดหรือหยดในอวกาศ: ค่าเฉลี่ยคือจุดศูนย์กลางมวลของเมฆจุดนั้น

แบ่งเป็นจุดที่มี "หมายเลขเดียวกันของจุดในทุกด้าน" (ที่เห็นได้ชัดว่าแนวคิดของ "ด้าน" จะไม่ดีที่กำหนดใน 2+ มิติ) สิ่งนี้แสดงถึง "กึ่งกลาง" อีกประเภทหนึ่งและในความเป็นจริงแล้วมันเป็นสัญชาตญาณในแง่ที่มากกว่า เมื่อคิดถึงหยดเดียวกันในอวกาศมันก็ชัดเจนว่าถ้าหยดนั้นไม่สมดุลก็จะเปลี่ยนค่าเฉลี่ย แต่ความไม่สมดุลนี้สามารถทำได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี: ไม่ว่าคุณจะเพิ่มคะแนนมากขึ้นในพื้นที่เดียวหรือเพิ่มการกระจายตัวของคะแนนในพื้นที่นั้น หากคุณเพิ่มการกระจายตัวของคะแนนในพื้นที่หนึ่งโดยไม่เพิ่มจำนวนคะแนนจากนั้นค่ามัธยฐานยังคงมีจำนวนคะแนนเท่ากันในทุกด้านและจะไม่เปลี่ยนไปตามค่าเฉลี่ย

คุณสามารถแสดงให้เห็นถึงนี้กับสองจิ๊บจ๊อยมาก "หยด":และ99) ในขณะที่(y) แต่ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยคำอธิบาย "แบบอิงหยด" ทางเรขาคณิต / ภาพแรก: จากประสบการณ์ของฉันมันง่ายกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยการสาธิตแบบกราฟิกโบกมือแล้วย้ายไปตัวอย่างของเล่นที่เป็นรูปธรรม ฉันพบว่าคนส่วนใหญ่ (รวมตัวเอง) ไม่ได้มุ่งเน้นไปที่จำนวนธรรมชาติและเริ่มต้นด้วยคำอธิบายเชิงตัวเลขเป็นสูตรสำหรับความสับสน คุณสามารถย้อนกลับไปและสอนคำจำกัดความที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้ในภายหลังy ′ = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 99 ) ค่าเฉลี่ย( y ) = ค่ามัธยฐาน( y ) ค่าเฉลี่ย( y ′ ) > ค่ามัธยฐาน( y ′$y = (1, 2, 3, 4, 5)$$y' = (1, 2, 3, 4, 99)$$\operatorname{mean}(y) = \operatorname{median}(y)$$\operatorname{mean}(y') > \operatorname{median}(y')$

โหมดเป็นจุดว่าถ้าจุดที่มีการสุ่มจากหยดที่มีแนวโน้มมากที่สุดที่จะปรากฏ (การรับรู้ว่านี่คือเหลวไหลข้อมูลอย่างต่อเนื่อง) สิ่งนี้สามารถเป็นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ใกล้กับค่าเฉลี่ยหรือค่ามัธยฐาน

เมื่อคุณอธิบายแนวคิดเหล่านี้แล้วคุณสามารถย้ายไปสู่การสาธิตเพิ่มเติม "สถิติดู":

เส้นทึบคือค่าเฉลี่ย เส้นประคือค่ามัธยฐาน เส้นประคือโหมด ค่าเฉลี่ยหมายถึงตำแหน่งของจุดข้อมูลตามแกน x ในขณะที่ค่ามัธยฐานสะท้อนเฉพาะจำนวนจุดข้อมูลในแต่ละด้าน โหมดเป็นเพียงจุดที่น่าจะเป็นมากที่สุดซึ่งแตกต่างจากค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน

รหัส R:

set.seed(47730)
y <- rgamma(100, 2, 2)
d <- density(y)
plot(d)
rug(y)
abline(v = mean(y), lty = 1)
abline(v = median(y), lty = 2)
abline(v = d$x[which.max(d$y)], lty = 3)

" ค่าเฉลี่ย ", " ค่ามัธยฐาน " และ " โหมด " คือ "แนวโน้มกลาง" หรือ "ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด" ในโดเมนที่ต่างกัน พวกเขาทั้งหมด "เดิมพันที่ดีที่สุด" ใน "เกม" ที่แตกต่างกัน

ความน่าจะเป็นและสถิติเป็นส่วนหนึ่งที่สร้างโดยนักพนัน ( ลิงค์ , ลิงค์ ) เมื่อคุณไปแข่งม้าหรือโต๊ะโป๊กเกอร์คุณต้องการรู้วิทยาศาสตร์ที่ช่วยให้คุณชนะ พวกเขาทำเช่นเดียวกันและเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ดังนั้นคุณไม่ต้องประดิษฐ์มันขึ้นมาเอง

ในการแข่งม้าคุณต้องการเลือกผู้ชนะ คุณไม่มีข้อมูลในอนาคต แต่คุณรู้บางข้อมูลในอดีต คุณรู้หรือไม่ว่าม้าแต่ละตัววิ่งเร็วแค่ไหนในการแข่งไม่กี่ครั้งที่ผ่านมา หากคุณต้องการประเมินว่าพวกเขาน่าจะวิ่งเร็วแค่ไหนในการแข่งขันครั้งต่อไปคุณสามารถคำนวณและเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยการแข่งขันครั้ง

อีกแนวโน้มกลางคือ "ค่ามัธยฐาน" - ซึ่งเป็นศูนย์กลางของรายการเรียง ถ้าฉันใส่ตัวพิมพ์ผิดที่น่ากลัวในรายการเวลาการแข่งขันของคุณและค่านั้นยาวกว่าคนอื่น ๆ ทั้งหมด 1000 เท่า มันจะทำให้ประมาณการของคุณยุ่งเหยิง คุณอาจไม่เดิมพันกับม้าที่ชนะ คุณพูดเรื่องนี้ยังไง คุณสามารถค้นหาด้วยตนเองว่าค่าหนึ่งค่าหรือคุณอาจใช้ "ค่ามัธยฐาน"

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณกำลังเล่นไพ่เช่น " แบล็คแจ็ค " และคุณพยายามที่จะคิดออกว่าคุณต้องการไพ่อีกใบที่ได้รับจากการ์ดก่อนหน้านี้หรือไม่ บัตรที่คุณกำลังค้นหาไม่ใช่ 3.14 เนื่องจากหมายเลขบัตรเป็นค่าจำนวนเต็ม คุณคิดอย่างไรว่าทางออกที่ดีที่สุดของคุณคือเมื่อ "เฉลี่ย" หรือค่ามัธยฐานไม่มีความหมาย? ในกรณีนี้คุณต้องการเดิมพันใน "โหมด" - การ์ดที่น่าจะออกมาจากสแต็คดีลเลอร์มากที่สุด

ในทั้งสามกรณีแนวโน้มกลางเป็นเพียงอีกวิธีหนึ่งในการพูดว่า "ทางออกที่ดีที่สุด"

หากคุณต้องการบัญชีไม่เพียง แต่สำหรับแนวโน้มกลางในการเดิมพันของคุณนั่นคือถ้าคุณต้องการเดิมพันเพื่อให้คุณสามารถลดผลกระทบของการสูญเสียในขณะที่เพิ่มเงินชนะคุณต้องดูที่ "แนวโน้มการเปลี่ยนแปลง" สิ่งต่าง ๆ เช่นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานช่วงควอนไทล์หรือโหมดทางเลือกและความถี่ของพวกเขาทั้งหมดถูกนำมาใช้เพื่อลดการสูญเสียสูงสุดในขณะที่การเพิ่มโอกาสชนะสูงสุด

ฉันคิดว่ามันมีประโยชน์ที่จะอธิบายแนวคิดนี้เมื่อพิจารณาหลายวิธีมัธยฐานและโหมด ค่าเหล่านี้ไม่มีอยู่ในสุญญากาศ

ตัวอย่างเช่นนี่คือวิธีที่ฉันจะอธิบายค่าเฉลี่ย

สมมติว่าคุณมีแตงโม 2 ลัง (ลัง 1 และ 2) มันถูกปิดผนึกเพื่อให้คุณไม่สามารถมองเห็นแตงโมภายในและทำให้คุณไม่รู้ขนาดของมัน อย่างไรก็ตามคุณรู้น้ำหนักรวมของแตงโมในแต่ละลังและแต่ละแตงโมมีจำนวนแตงโมเท่ากัน จากนั้นคุณสามารถคำนวณน้ำหนักเฉลี่ยของลังแตงโมแต่ละอัน (M1 และ M2)

ตอนนี้คุณมีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันสองค่า M1 และ M2 คุณสามารถทำการเปรียบเทียบเนื้อหาแต่ละรายการได้อย่างคร่าวๆ ถ้า M1> M2 แสดงว่าแตงโมที่สุ่มเลือกจากลัง 1 อาจหนักกว่าที่เลือกจากลัง 2

แน่นอนฉันจะรักความคิดเห็นในมุมมองนี้