เชื่อมโยงระหว่างความแปรปรวนและระยะทางคู่ภายในตัวแปร

โปรดพิสูจน์ว่าถ้าเรามีสองตัวแปร (ขนาดตัวอย่างเท่ากัน)และและความแปรปรวนในมากกว่าในแล้วผลรวมของความแตกต่างกำลังสอง (เช่นระยะห่างแบบยุคลิดกำลังสอง) ระหว่างจุดข้อมูลภายในนั้นมากกว่า ว่าภายในY $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
แหล่งที่มา

โปรดอธิบาย: เมื่อคุณพูดความแปรปรวนคุณหมายถึงความแปรปรวนตัวอย่างหรือไม่ เมื่อคุณพูดถึงผลรวมของความแตกต่างยกกำลังสองคุณหมายถึง ?

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— พระคาร์ดินัล

สมมติว่าก่อนหน้านี้:โดยการพิจารณาอย่างรอบคอบสำหรับองค์ประกอบในคำข้าม ฉันคิดว่าคุณสามารถเติม (ช่องว่างเล็ก ๆ ) ผลลัพธ์จะตามมาเล็กน้อย

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— พระคาร์ดินัล

นอกจากนี้ยังมีวิธีในการทำเช่นนี้ "โดยไม่มี" การคำนวณใด ๆ โดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าและเป็นไอดอลจาก (ด้วยความแปรปรวนที่นิยามไว้อย่างดี) ดังนั้น(X_1) มันต้องมีความเข้าใจที่แน่นขึ้นเล็กน้อยเกี่ยวกับแนวคิดความน่าจะเป็น

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— พระคาร์ดินัล

สำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องฉันใช้การสร้างภาพข้อมูลของสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่ในการตอบกลับที่stats.stackexchange.com/a/18200 : ความแตกต่างยกกำลังสองคือพื้นที่ของกำลังสอง

— whuber

@whuber: ดีมาก ยังไงก็เถอะฉันคิดถึงคำตอบของคุณไปตลอดทาง

— พระคาร์ดินัล

เพียงเพื่อให้คำตอบ "อย่างเป็นทางการ" เพื่อเสริมโซลูชั่นที่ร่างในความคิดเห็นแจ้งให้ทราบล่วงหน้า

ไม่มี , ,หรือมีการเปลี่ยนแปลงโดยการขยับทุกสม่ำเสมอเพื่อสำหรับบางคนคงหรือขยับทุกเพื่อสำหรับบางคนคง\ดังนั้นเราอาจสันนิษฐานว่ามีการดำเนินการดังกล่าวเพื่อทำให้ , ดังนั้นและ 2 $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
หลังจากล้างปัจจัยทั่วไปจากแต่ละด้านและใช้ (1) คำถามจะถามว่าหมายถึง 2 $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
การขยายสแควร์สอย่างง่ายและการจัดเรียงผลรวมให้กับผลที่คล้ายกันสำหรับ 's
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

พิสูจน์ได้ทันที

— whuber
แหล่งที่มา