ใน CLT ทำไม

10

Let $X_1,...,X_n$ เป็นข้อสังเกตอิสระจากการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ย $\mu$ และความแปรปรวน $\sigma^2 < \infty$ , เมื่อ $n \rightarrow \infty$ จากนั้น

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

ทำไมสิ่งนี้ถึงบอกว่า

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
แหล่งที่มา

บางทีนี่อาจไม่ได้เน้นอย่างชัดเจนด้านล่าง แต่คำสั่ง

มีความหมายทางคณิตศาสตร์และเป็นจริงในขณะที่คำสั่ง

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

เป็นเรื่องเหลวไหลทางคณิตศาสตร์จึงเป็นว่าไปไม่ผิดแม้กระทั่ง

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— ไม่

17

การตีความของคุณไม่ถูกต้องเล็กน้อย ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (CLT) บอกเป็นนัยว่า

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

นี่เป็นเพราะ CLT เป็นผลลัพธ์แบบอะซิมโทติคและเรากำลังทำการทดลองกับตัวอย่างที่ จำกัด เท่านั้น อย่างไรก็ตามเมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอเราจึงสันนิษฐานว่าผลลัพธ์ CLT มีค่าจริงในการประมาณและดังนั้น

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

นี้เป็นเพราะสำหรับตัวแปรสุ่มและค่าคงที่ , (นี้จะใช้ในขั้นตอนที่สอง) และ , (ใช้ในขั้นตอนสุดท้ายที่สอง) $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

อ่านสิ่งนี้สำหรับคำอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิต

— Greenparker
แหล่งที่มา

คุณสามารถอธิบายว่า "พีชคณิต" ที่คุณใช้เมื่อใช้ข้อกำหนดจาก LHS ของ

ถึง RHS ได้อย่างไร?

\sim

$\sim$

— mavavilj

ฉันชี้แจงพีชคณิตแล้ว ส่วนใหญ่ใช้คุณสมบัติของความแปรปรวนและความคาดหวัง

— Greenparker

ทำไมไม่เช่นระยะที่สองของ

กลายเป็น

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

เพราะ

)

การเพิ่มจำนวนค่าคงที่ให้กับตัวแปรสุ่มจะไม่เปลี่ยนความแปรปรวน

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

10

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดูสิ่งนี้คือการดูค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $\bar X_n$ n

ดังนั้นกล่าวว่าค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง ดังนั้นเรามีค่าเฉลี่ย: $\mathcal{N}(0,1)$

การใช้ที่มีค่าคงที่เราจะได้รับ:

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

ตอนนี้ใช้ที่มีค่าคงที่เราได้รับต่อไปนี้สำหรับความแปรปรวน: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

ทีนี้เรารู้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของและการแจกแจงแบบเกาส์ (ปกติ) ด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหล่านี้คือ $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

คุณอาจสงสัยว่าทำไมต้องผ่านพีชคณิตเหล่านี้ทั้งหมด ทำไมไม่พิสูจน์โดยตรงว่าเป็น $\bar X_n$ ? $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

เหตุผลก็คือในวิชาคณิตศาสตร์มันเป็นเรื่องยาก (เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์การบรรจบกันของการเปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ นั่นคือด้านขวาของตัวดำเนินการคอนเวอร์เจนซ์ต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้นักคณิตศาสตร์ใช้กลวิธีในการพิสูจน์ข้อความ The $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
แหล่งที่มา

4

$\bar{X}_n$ เป็นมาตรฐานปกติแล้วเรามีผลลัพธ์ที่ปกติ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
แหล่งที่มา

เหตุใดฟังก์ชันสร้างโมเมนต์จึงพิสูจน์ได้สำหรับการแจกแจง

— mavavilj

1

นี่เป็นผลมาจากความน่าจะเป็น หากตัวแปรสุ่มสองตัวมีฟังก์ชั่นการสร้างโมเมนต์เดียวกันพวกมันก็มีค่าเท่ากัน

— dsaxton