การประมาณค่าเฉลี่ยและ st dev ของเส้นโค้งแบบเกาส์ที่ถูกตัดทอนโดยไม่มีการขัดขวาง

11

สมมติว่าฉันมีกล่องดำที่สร้างข้อมูลหลังจากการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย m และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อย่างไรก็ตามสมมติว่าเมื่อใดก็ตามที่มันส่งออกค่า <0 มันจะไม่บันทึกอะไรเลย (ไม่สามารถบอกได้เลยว่ามันเป็นค่าที่ส่งออก) เรามีการแจกแจงแบบเกาส์ที่ถูกตัดทอนโดยไม่มีการขัดขวาง

ฉันจะประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ได้อย่างไร

distributions estimation

ฉันเปลี่ยนแท็กจาก "truncated-gaussian" เป็น "truncation" เพราะคำตอบส่วนใหญ่จะเป็นประโยชน์ในสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงอื่น

— whuber

7

แบบจำลองสำหรับข้อมูลของคุณจะเป็น:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

ดังนั้นฟังก์ชั่นความหนาแน่นคือ:

ฉ (Y_{ผม} | -) = \frac{อี x พี (- \frac{(Y_{ผม} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - φ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

ที่ไหน

เป็น cdf ปกติมาตรฐาน $\phi(.)$

จากนั้นคุณสามารถประมาณพารามิเตอร์และโดยใช้ความน่าจะเป็นสูงสุดหรือวิธีการแบบเบย์ $\mu$ $\sigma$

3

ตามที่ Srikant Vadali ได้แนะนำโคเฮนและ Hald แก้ไขปัญหานี้โดยใช้ ML (กับตัวค้นหารากนิวตัน - Raphson) ประมาณปี 1950 กระดาษอีกเล่มหนึ่งคือ "การประมาณค่าในการแจกแจงแบบปกติ" ของ Max Halperin ที่มีอยู่ในJSTOR (สำหรับผู้ที่เข้าถึง) Googling "การประมาณค่าแบบเกาส์ที่ถูกตัดทอน" ก่อให้เกิดจำนวนการดูที่มีประโยชน์

รายละเอียดมีให้ในเธรดที่ทำให้คำถามนี้เป็นเรื่องทั่วไป (เพื่อแจกแจงการปัดเศษโดยทั่วไป) ดูประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับการกระจายตัดทอน นอกจากนี้ยังอาจจะเป็นที่สนใจที่จะเปรียบเทียบตัวประมาณสูงสุดโอกาสเพื่อแก้ปัญหาสูงสุดเอนโทรปีที่กำหนด (มีรหัส) ที่แม็กซ์เอนโทรปี Solver ใน R

— whuber
แหล่งที่มา

2

กับการมีวัณโรคชายแดนทางเทคนิคสำหรับวิธีการที่ง่ายโดยเอชไนเดอร์จะเป็นประโยชน์มากในการคำนวณค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายปกติตัดทอน: $a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

คำนวณค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ประชากรทั้งหมด!) สำหรับชุดข้อมูล: $\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
ตรวจสอบว่าขอบทางเทคนิคมีระยะทางที่ถูกต้องกับค่าเฉลี่ย : $TB=a=0$ $\bar{x}$

การพิจารณาไม่จำเป็นเมื่อ $TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
คำนวณและ : $\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

นั่นคือทั้งหมด ...

— JFS
แหล่งที่มา