อีกคำถามหนึ่งในทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง

ปล่อยเป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบอิสระของ Bernoulli ด้วย ตั้ง แสดงให้เห็นว่าลู่เข้าสู่การกระจายไปยังตัวแปรปกติมาตรฐานเมื่อมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

ความพยายามของฉันคือใช้ Lyapunov CLT ดังนั้นเราต้องแสดงให้เห็นว่ามีเช่นนั้น $\delta>0$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

ดังนั้นตั้งค่า $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ และ

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

โดยการประเมินขนาดใหญ่ของ n บนคอมพิวเตอร์มันแสดงให้เห็นว่าทั้ง $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ และ $B_n^3 \to \infty$ เป็น $n \to \infty$ \ แต่ $B_n^3$ เพิ่มขึ้นเร็วกว่า $B_n^2$ ดังนั้น $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ 0 ใครสามารถช่วยฉันพิสูจน์ว่าการบรรจบกันนี้ถือได้หรือไม่?

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButterfly
แหล่งที่มา

นี่คือตัวอย่าง 27.3 ของความน่าจะเป็นและการวัดโดย Patrick Billingsley

— Zhanxiong

คำตอบ:

มันอาจจะเป็นคำแนะนำในการแสดงผลนี้จากหลักการแรกและผลลัพธ์พื้นฐานการใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของฟังก์ชั่นการสร้าง cumulant (ตรงตามหลักฐานในมาตรฐานของทฤษฎีขีด จำกัด กลาง) มันต้องการให้เราเข้าใจอัตราการเติบโตของตัวเลขฮาร์มอนิกทั่วไป สำหรับ อัตราการเจริญเติบโตเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันดีและได้รับได้อย่างง่ายดายโดยการเปรียบเทียบกับปริพันธ์ : พวกเขามาบรรจบกันสำหรับและอื่น ๆ แตกต่างลอการิทึมสำหรับ 1

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

ให้และn ตามคำนิยามฟังก์ชันการสร้าง cumulant (cgf) ของคือ $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

การขยายตัวของซีรีย์ทางด้านขวามือที่ได้รับจากการขยายของรอบใช้แบบฟอร์ม $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

numerators ของเศษส่วนที่มีหลายชื่อในกับผู้นำระยะ{J-1} เนื่องจากการขยายบันทึกเข้ากันอย่างสมบูรณ์สำหรับการขยายตัวนี้มาบรรจบกันเมื่อ $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

(ในกรณีที่มันมาบรรจบกันทุกที่) สำหรับค่าคงที่และค่าที่เพิ่มขึ้นของค่า (ชัดเจน) ของหมายถึงโดเมนของการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ดังนั้นสำหรับค่าคงที่และขนาดใหญ่พอการขยายตัวนี้จะรวมกันอย่างแน่นอน $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

สำหรับขนาดใหญ่พอแล้วเราอาจดังนั้นจึงสรุปบุคคลมากกว่าระยะโดยระยะในอำนาจของที่จะได้รับ CGF ของ , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

การหาคำศัพท์ในผลรวมมากกว่าทีละครั้งเราต้องประเมินการแสดงออกตามสัดส่วน $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

สำหรับและเจ ด้วยการใช้ asymptotics ของตัวเลขฮาร์มอนิกทั่วไปที่กล่าวถึงในบทนำทำให้ติดตามได้อย่างง่ายดาย $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

ที่

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

และ (สำหรับ ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

เป็นเติบโตขนาดใหญ่ ดังนั้นทุกเงื่อนไขในการขยายตัวของเกินบรรจบกับศูนย์ไหนลู่ไปสำหรับค่าใด ๆทีตั้งแต่การบรรจบกันของ CGF ที่แสดงถึงการบรรจบกันของฟังก์ชั่นลักษณะเราสรุปจากการจัดเก็บต่อเนื่องทฤษฎีบทที่แนวทางตัวแปรสุ่มที่มี CGF คือ : นั่นคือตัวแปรปกติมาตรฐานQED $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

การวิเคราะห์นี้เผยให้เห็นว่าการบรรจบกันนั้นละเอียดอ่อนเพียงใด:ในหลาย ๆ รุ่นของทฤษฎีขีด จำกัด กลางค่าสัมประสิทธิ์ของคือ (สำหรับ ) ค่าสัมประสิทธิ์คือ เฉพาะ : การบรรจบกันนั้นช้ากว่ามากในกรณีนี้ลำดับของตัวแปรมาตรฐาน "เพิ่งจะไม่ได้" จะกลายเป็น Normal $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

เราสามารถเห็นการลู่เข้าแบบช้านี้ในชุดของการจำลอง histograms แสดงซ้ำอิสระสี่ค่าของnเส้นโค้งสีแดงเป็นกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นปกติมาตรฐานสำหรับการอ้างอิงด้วยภาพ แม้ว่าจะมีแนวโน้มที่ชัดเจนต่อความเป็นมาตรฐานอย่างชัดเจนแม้ที่ (โดยที่ยังคงมีขนาดใหญ่) ยังคงมีค่านิยมไม่ใช่บรรทัดฐาน - เห็นได้ชัดในความเบ้ (เท่ากับในตัวอย่างนี้) (ไม่น่าแปลกใจที่ความเอียงของฮิสโตแกรมนี้ใกล้เคียงกับเพราะนั่นคือสิ่งที่คำว่าใน cgf อยู่อย่างแน่นอน) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

นี่คือRรหัสสำหรับผู้ที่ต้องการทดลองเพิ่มเติม

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
แหล่งที่มา

คุณมีคำตอบที่ดีอยู่แล้ว หากคุณต้องการพิสูจน์หลักฐานของคุณเองเช่นกันคุณสามารถโต้แย้งดังนี้

เนื่องจากรวมทุกและ diverges สำหรับ ( ที่นี่ ) เราอาจเขียน $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

ด้วยเหตุผลเดียวกัน

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

ดังนั้นและดังนั้น $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการแสดง

— Ekvall
แหล่งที่มา

ก่อนอื่นตัวแปรสุ่มของคุณจะไม่ถูกกระจายเหมือนกันถ้าการกระจายขึ้นอยู่กับ ;) $k$

นอกจากนี้ฉันจะไม่ใช้สัญลักษณ์ของคุณเป็น: $B_n$

ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่มักจะสงวนไว้สำหรับตัวแปรสุ่ม
เป็นเพียงผลรวมของความแปรปรวนดังนั้นฉันจะใช้สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์เพื่อทำให้สิ่งนี้ชัดเจน $\sigma$

ถ้าอย่างนั้นฉันก็ไม่รู้ว่านี่เป็นแบบฝึกหัดหรือการวิจัยและมีเครื่องมืออะไรบ้างที่คุณอนุญาตให้ใช้ หากคุณไม่ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทที่รู้จักกันอีกครั้งฉันแค่บอกว่ามันเป็นทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับ RV อิสระที่ไม่มีการกระจายตัวเหมือนกัน แต่มีขอบเขต จำกัด สม่ำเสมอและเรียกมันว่าวันละ ฉันไม่มีแหล่งข้อมูลที่ดีอยู่ในมือ แต่ไม่ควรหาแหล่งที่ยากเกินไปเช่นดูที่/mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- สำหรับขอบเขต-ที่ไม่เหมือนกันกระจายสุ่ม

แก้ไข: ไม่ดีแน่นอนว่าเงื่อนไขที่มีขอบเขตไม่เท่ากันคุณยังต้องการ

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— เอเดรีย
แหล่งที่มา