ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนความลำเอียงที่แปรปรวน

ฉันกำลังอ่านบทของการแลกเปลี่ยนความแปรปรวนแบบอคติขององค์ประกอบของการเรียนรู้ทางสถิติและฉันมีข้อสงสัยในสูตรที่หน้า 29 ให้ข้อมูลเกิดขึ้นจากแบบจำลองที่โดยที่สุ่ม จำนวนที่มีค่าคาดว่าและความแปรปรวน 2 ให้ค่าที่คาดหวังของข้อผิดพลาดของแบบจำลองคือ โดยที่คือคำทำนายของของผู้เรียนของเรา ข้อผิดพลาดคือ

Y = f (x) + ϵ

$Y = f(x)+\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

\hat{ϵ} = E [ϵ] = 0

$\hat{\epsilon} = E[\epsilon]=0$

E [(ϵ - \hat{ϵ})^{2}] = E [ϵ^{2}] = σ^{2}

$E[(\epsilon - \hat\epsilon)^2]=E[\epsilon^2]=\sigma^2$

E [(Y - f_{k} (x))^{2}]

$E[(Y-f_k(x))^2]$

f_{k} (x)

$f_k(x)$

x

$x$

E [(Y - f_{k} (x))^{2}] = σ^{2} + B i a s (f_{k})^{2} + V a r (f_{k} (x)) .

$E[(Y-f_k(x))^2]=\sigma^2+Bias(f_k)^2+Var(f_k(x)).$

คำถามของฉันคือเหตุใดคำอคติจึงไม่เป็น 0 การพัฒนาสูตรของข้อผิดพลาดฉันเห็น

E [(Y - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] = V a r (f_{k} (x)) + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E[(Y-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]=\\ Var(f_k(x))+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

as $\epsilon$ เป็นหมายเลขสุ่มอิสระ $2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]=2E[(f(x)-f_k(x))]E[\epsilon]=0$

ฉันผิดตรงไหน

— มานูเอล
แหล่งที่มา

คำตอบ:

คุณยังไม่ได้ผิด แต่คุณทำผิดพลาดในขั้นตอนเดียวตั้งแต่ $E[(f(x)-f_k(x))^2] \ne Var(f_k(x))$ (x)) $E[(f(x)-f_k(x))^2]$ คือ $\text{MSE}(f_k(x)) = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x))$ .

\begin{aligned} E [(Y - f_{k} (x))^{2}] & = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] \\ = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] \\ = E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2} \\ = V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E[(Y-f_k(x))^2]& = E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2] \\ &= E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]\\ &= E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2 \\ & = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2. \end{align*}$

หมายเหตุ: $E[(f_k(x)-E(f_k(x)))(f(x)-E(f_k(x))] = E[f_k(x)-E(f_k(x))](f(x)-E(f_k(x))) = 0.$

— Greenparker
แหล่งที่มา

ในกรณีของผลลัพธ์ไบนารีมีหลักฐานเทียบเท่ากับเอนโทรปีของการวัดความผิดพลาดหรือไม่?

— emanuele

มันไม่ได้ผลค่อนข้างดีนักเมื่อมีการตอบสนองแบบไบนารี ดู Ex 7.2 ในรุ่นที่สองของ "องค์ประกอบของการเรียนรู้ทางสถิติ"

— Matthew Drury

คุณช่วยอธิบายได้อย่างไรว่าคุณไปจากถึง ?

E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2}

$Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2$

— แอนทอน

อีกไม่กี่ขั้นตอนของการย่อยสลาย Bias - Variance

แท้จริงแล้วการสืบทอดแบบเต็มนั้นไม่ค่อยได้รับในตำราเรียนเนื่องจากเกี่ยวข้องกับพีชคณิตที่น่าเบื่อมากมาย นี่คือความสมบูรณ์ที่มากขึ้นโดยใช้สัญกรณ์จากหนังสือ"องค์ประกอบของการเรียนรู้ทางสถิติ"ในหน้า 223

ถ้าเราคิดว่าและและจากนั้นเราสามารถหานิพจน์สำหรับข้อผิดพลาดการทำนายที่เหมาะสมของการถดถอยแบบที่อินพุตโดยใช้การสูญเสียข้อผิดพลาดกำลังสอง $Y = f(X) + \epsilon$ $E[\epsilon] = 0$ $Var(\epsilon) = \sigma^2_\epsilon$ $\hat f(X)$ $X = x_0$

E r r (x_{0}) = E [(Y - \hat{f} (x_{0}))^{2} | X = x_{0}]

$Err(x_0) = E[ (Y - \hat f(x_0) )^2 | X = x_0]$

เพื่อความง่ายในการสังเกตให้ ,และจำได้ว่าและ $\hat f(x_0) = \hat f$ $f(x_0) = f$ $E[f] = f$ $E[Y] = f$

\begin{aligned} E [(Y - \hat{f})^{2}] & = E [(Y - f + f - \hat{f})^{2}] \\ = E [(y - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [(f - \hat{f}) (y - f)] \\ = E [(f + ϵ - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [f Y - f^{2} - \hat{f} Y + \hat{f} f] \\ = E [ϵ^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 (f^{2} - f^{2} - f E [\hat{f}] + f E [\hat{f}]) \\ = σ_{ϵ}^{2} + E [(f - \hat{f})^{2}] + 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} E[ (Y - \hat f)^2 ] &= E[(Y - f + f - \hat f )^2] \\ & = E[(y - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2 E[(f - \hat f)(y - f)] \\ & = E[(f + \epsilon - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2E[fY - f^2 - \hat f Y + \hat f f] \\ & = E[\epsilon^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2( f^2 - f^2 - f E[\hat f] + f E[\hat f] ) \\ & = \sigma^2_\epsilon + E[(f - \hat f)^2] + 0 \end{aligned}$

สำหรับคำศัพท์เราสามารถใช้กลอุบายที่คล้ายกันดังกล่าวข้างต้นเพิ่มและลบเพื่อให้ได้ $E[(f - \hat f)^2]$ $E[\hat f]$

\begin{aligned} E [(f - \hat{f})^{2}] & = E [(f + E [\hat{f}] - E [\hat{f}] - \hat{f})^{2}] \\ = E {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}] \end{aligned}

$\begin{aligned} E[(f - \hat f)^2] & = E[(f + E[\hat f] - E[\hat f] - \hat f)^2] \\ & = E \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = Bias^2[\hat f] + Var[\hat f] \end{aligned}$

วางไว้ด้วยกัน

E [(Y - \hat{f})^{2}] = σ_{ϵ}^{2} + B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}]

$E[ (Y - \hat f)^2 ] = \sigma^2_\epsilon + Bias^2[\hat f] + Var[\hat f]$

ความคิดเห็นบางประการเกี่ยวกับสาเหตุที่ $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$

นำมาจาก Alecos Papadopoulos ที่นี่

จำได้ว่าเป็นตัวทำนายที่เราสร้างขึ้นตามจุดข้อมูลเพื่อให้เราสามารถเขียนเพื่อจำได้ $\hat f$ $m$ $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$ $\hat f = \hat f_m$

ในทางกลับกันคือการทำนายที่เราทำกับจุดข้อมูลใหม่โดยใช้แบบจำลองที่สร้างขึ้นบนจุดข้อมูลด้านบน ดังนั้น Mean Squared Error จึงสามารถเขียนเป็น $Y$ $(x^{(m+1)},y^{(m+1)})$ $m$

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) - y^{(m + 1)}]^{2}

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) - y^{(m+1)}]^2$

การขยายสมการจากส่วนก่อนหน้า

E [{\hat{f}}_{m} Y] = E [{\hat{f}}_{m} (f + ϵ)] = E [{\hat{f}}_{m} f + {\hat{f}}_{m} ϵ] = E [{\hat{f}}_{m} f] + E [{\hat{f}}_{m} ϵ]

$E[\hat f_m Y]=E[\hat f_m (f+ \epsilon)]=E[\hat f_m f+\hat f_m \epsilon]=E[\hat f_m f]+E[\hat f_m \epsilon]$

ส่วนสุดท้ายของสมการสามารถดูได้เป็น

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) \cdot ϵ^{(m + 1)}] = 0

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) \cdot \epsilon^{(m+1)}] = 0$

เนื่องจากเราสร้างสมมติฐานต่อไปนี้เกี่ยวกับจุด : $x^{(m+1)}$

มันก็ไม่ได้นำมาใช้เมื่อสร้าง $\hat f_m$
มันเป็นอิสระจากการสังเกตอื่น ๆ ทั้งหมด $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$
มันเป็นอิสระจาก $\epsilon^{(m+1)}$

แหล่งข้อมูลอื่น ๆ ที่มี derivations เต็มรูปแบบ

— Xavier Bourret Sicotte
แหล่งที่มา

ทำไม ? ฉันไม่คิดว่าและมีความเป็นอิสระตั้งแต่ถูกสร้างโดยใช้หลักY

E [\hat{f} Y] = f E [\hat{f}]

$E[\hat{f}Y]=f E[\hat{f}]$

Y

$Y$

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

Y

$Y$

— Felipe Pérez

แต่คำถามก็เหมือนกันทำไม ? การสุ่มของมาจากข้อผิดพลาดดังนั้นฉันจึงไม่เห็นว่าทำไมและจึงเป็นอิสระและด้วยเหตุนี้ 0

E [\hat{f} ϵ] = 0

$E[\hat{f}\epsilon]=0$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

E (\hat{f} ϵ) = 0

$\mathbb{E}(\hat{f}\epsilon)=0$

— เฟลิเปเปเรซ

จากการวิเคราะห์ของคุณดูเหมือนว่าในตัวอย่างกับมุมมองตัวอย่างมีความสำคัญ มันเป็นอย่างนั้นหรือ หากเราทำงานเป็นกลุ่มตัวอย่างและจากนั้นดูเนื่องจากการเบี่ยงเบนความเบี่ยงเบนของอคติเหลืออยู่?

ϵ

$\epsilon$

— markowitz

@ FelipePérezเท่าที่ผมเข้าใจแบบแผนของมาจากแยกรถไฟทดสอบ (ซึ่งจุดสิ้นสุดลงในชุดฝึกอบรมและให้เป็นปัจจัยบ่งชี้ที่ผ่านการฝึกอบรม) กล่าวอีกนัยหนึ่งความแตกต่างของมาจากชุดย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของชุดข้อมูลคงที่ที่เราสามารถใช้เป็นชุดฝึกอบรมได้ เนื่องจากชุดข้อมูลได้รับการแก้ไขจึงไม่มีการสุ่มมาจากดังนั้นและจึงเป็นอิสระ

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

— Alberto Santini

ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนความลำเอียงที่แปรปรวน

อีกไม่กี่ขั้นตอนของการย่อยสลาย Bias - Variance

ความคิดเห็นบางประการเกี่ยวกับสาเหตุที่E[f^Y]=fE[f^]E[f^Y]=fE[f^]E[\hat f Y] = f E[\hat f]

แหล่งข้อมูลอื่น ๆ ที่มี derivations เต็มรูปแบบ

ความคิดเห็นบางประการเกี่ยวกับสาเหตุที่ $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$