ตัวอย่างอิสระ t-test: จริง ๆ แล้วข้อมูลจำเป็นต้องแจกให้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่หรือไม่

สมมุติว่าฉันต้องการทดสอบว่าตัวอย่างอิสระสองตัวอย่างมีค่าเฉลี่ยต่างกันหรือไม่ ฉันรู้ว่าการกระจายพื้นฐานคือไม่ปกติ

ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องสถิติทดสอบของฉันคือค่าเฉลี่ยและสำหรับขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอค่าเฉลี่ยควรกระจายตามปกติแม้ว่าตัวอย่างจะไม่ได้ การทดสอบความสำคัญเชิงพารามิเตอร์ควรจะใช้ได้ในกรณีนี้ใช่ไหม ฉันได้อ่านข้อมูลที่ขัดแย้งและสับสนเกี่ยวกับเรื่องนี้ดังนั้นฉันขอขอบคุณการยืนยัน (หรือคำอธิบายว่าทำไมฉันถึงผิด)

นอกจากนี้ฉันได้อ่านแล้วว่าสำหรับกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่ฉันควรใช้ค่าสถิติ z แทนค่าสถิติ แต่ในทางปฏิบัติการแจกแจงแบบ t จะมาบรรจบกับการแจกแจงแบบปกติและสถิติทั้งสองควรเหมือนกันไม่ใช่หรือ?

แก้ไข : ด้านล่างนี้เป็นแหล่งข้อมูลที่อธิบายการทดสอบ z พวกเขาทั้งสองระบุว่าประชากรจะต้องกระจายตามปกติ:

ที่นี่มันบอกว่า "โดยไม่คำนึงถึงประเภทของการทดสอบ Z- ใช้มันสันนิษฐานว่าประชากรจากตัวอย่างที่วาดเป็นเรื่องปกติ" และที่นี่ข้อกำหนดสำหรับการทดสอบ z ถูกแสดงรายการเป็น "การกระจายสองแบบปกติ แต่เป็นประชากรอิสระσเป็นที่รู้จัก"

ฉันคิดว่านี่เป็นความเข้าใจผิดทั่วไปของ CLT ไม่เพียง แต่ CLT ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดในการสงวนประเภท II (ซึ่งไม่มีใครพูดถึงที่นี่) แต่มักจะไม่สามารถใช้งานได้เมื่อคุณต้องประมาณค่าความแปรปรวนประชากร ความแปรปรวนตัวอย่างอาจอยู่ไกลจากการแจกแจงแบบไคสแควร์เมื่อข้อมูลไม่ใช่แบบเกาส์เซียนดังนั้น CLT อาจไม่สามารถใช้งานได้แม้ว่าขนาดตัวอย่างจะเกินหมื่นไป สำหรับการแจกแจงจำนวนมาก SD ไม่ได้เป็นตัววัดการกระจายตัวที่ดี

ในการใช้ CLT จริง ๆ สิ่งหนึ่งในสองสิ่งต้องเป็นจริง: (1) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างทำงานเป็นการวัดการกระจายตัวสำหรับการแจกแจงที่ไม่รู้จักจริงหรือ (2) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจริงของประชากรเป็นที่รู้จัก นั่นเป็นกรณีที่เกิดขึ้นบ่อยมาก และตัวอย่างของ n = 20,000 ที่เล็กเกินไปสำหรับ CLT ถึง "งาน" มาจากการวาดตัวอย่างจากการแจกแจงล็อกนอร์มอลตามที่กล่าวไว้ที่อื่นในเว็บไซต์นี้

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง "งาน" เป็นการวัดการกระจายหากตัวอย่างการแจกแจงแบบสมมาตรและไม่มีหางที่หนักกว่าการกระจายแบบเกาส์

ฉันไม่ต้องการพึ่งพา CLT สำหรับการวิเคราะห์ของฉัน

ฉันออกจากย่อหน้านี้เพื่อแสดงความคิดเห็นเพื่อความเข้าใจ: อาจเป็นไปได้ว่าสมมติฐานของภาวะปกติในประชากรดั้งเดิมนั้นเข้มงวดเกินไปและสามารถลืมการเน้นไปที่การแจกแจงตัวอย่างและขอบคุณทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่

การใช้การทดสอบอาจเป็นความคิดที่ดีถ้า (โดยปกติเป็นกรณีนี้) คุณไม่ทราบความแปรปรวนประชากรและคุณจะใช้ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นตัวประมาณ โปรดทราบว่าข้อสันนิษฐานของความแปรปรวนเหมือนกันอาจจะต้องมีการทดสอบกับการทดสอบ F ความแปรปรวนหรือการทดสอบก่อนที่จะใช้ Lavene แปรปรวน pooled - ฉันมีบันทึกบางบน GitHub ที่นี่$t$

ดังที่คุณพูดถึงการแจกแจงแบบ t จะรวมเข้ากับการแจกแจงแบบปกติเมื่อตัวอย่างเพิ่มขึ้นเนื่องจากพล็อตต์ R แบบด่วนนี้แสดง:

ในสีแดงคือ pdf ของการแจกแจงแบบปกติและเป็นสีม่วงคุณสามารถเห็นการเปลี่ยนแปลงที่ก้าวหน้าใน "fat tails" (หรือหางที่หนักกว่า) ของ pdf ของการกระจายตัวเมื่อองศาเพิ่มขึ้นจนกว่ามันจะผสมกับ พล็อตปกติ$t$

ดังนั้นการใช้ z-test น่าจะใช้ได้กับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่

การจัดการปัญหาด้วยคำตอบเริ่มต้นของฉัน ขอบคุณ Glen_b สำหรับความช่วยเหลือของคุณกับ OP (ความผิดพลาดที่น่าจะเกิดขึ้นในการตีความใหม่เป็นของฉันทั้งหมด)

1. T สถิติต่อไปนี้ที่จัดจำหน่ายภายใต้การสันนิษฐานผิดปกติ:

ทิ้งความซับซ้อนในสูตรสำหรับตัวอย่างหนึ่งโวลต์สองตัวอย่าง (จับคู่และไม่จับคู่) สถิติทั่วไป t ที่เน้นไปที่กรณีของการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยตัวอย่างกับค่าเฉลี่ยประชากรคือ:

$\text{t-test}= \Large \frac{\bar X-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\large\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{s^2}{\sigma^2}}} =\displaystyle \large\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\frac{\sum_{x=1}^n(X - \bar{X})^2}{n-1}}{\sigma^2}}} \tag1$

ถ้าตามหลังการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน :$X$$\mu$$\sigma^2$

1. เศษของ(1,0)$(1)$ $\sim N(1,0)$
2. ตัวหารของจะเป็นสแควร์รูทของ (ปรับขนาดไคสแควร์) ตั้งแต่เป็นมาที่นี่$(1)$$\frac{s^2/\sigma^2}{n-1}\sim\frac{1}{n-1}\,\,\chi^2_{n-1}$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$
3. ตัวเศษและส่วนควรเป็นอิสระ

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้n-1)$\text{t-statistic} \sim t(df=n-1)$

2. ทฤษฎีการ จำกัด ภาคกลาง:

แนวโน้มที่มีต่อความเป็นมาตรฐานของการกระจายตัวตัวอย่างของกลุ่มตัวอย่างหมายถึงเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้นสามารถพิสูจน์ได้ว่าสมมุติว่ามีการแจกแจงแบบปกติของตัวเศษแม้ว่าจำนวนประชากรจะไม่ปกติ อย่างไรก็ตามมันไม่ได้มีอิทธิพลต่ออีกสองเงื่อนไข (การกระจายไคสแควร์ของตัวส่วนและความเป็นอิสระของตัวเศษจากตัวส่วน)

แต่ไม่ใช่ทั้งหมดจะหายไปในโพสต์นี้มีการกล่าวถึงว่าทฤษฎีบท Slutzky สนับสนุนการลู่แบบซีมโทติกไปสู่การแจกแจงแบบปกติแม้ว่าการแจกแจงไคของตัวส่วนจะไม่เป็นไปตามนั้น

3. ความทนทาน:

บนกระดาษ "ดูสมจริงยิ่งขึ้นถึงความทนทานและคุณสมบัติข้อผิดพลาดประเภทที่ 2 ของการทดสอบเพื่อออกจากสภาพปกติของประชากร" โดย Sawilowsky SS และ Blair RC ในวารสารจิตวิทยา, 1992, Vol. 111, หมายเลข 2, 352-360ซึ่งพวกเขาทดสอบการกระจายตัวแบบอุดมคติน้อยกว่าหรือมากกว่า "โลกปกติ" (น้อยกว่าปกติ) สำหรับพลังงานและสำหรับความผิดพลาดประเภทที่ 1 ข้อยืนยันดังต่อไปนี้สามารถพบได้: "แม้จะมีลักษณะอนุรักษ์นิยม ฉันผิดพลาดจากการทดสอบ t สำหรับการแจกแจงจริงเหล่านี้บางอย่างมีผลเพียงเล็กน้อยต่อระดับพลังงานสำหรับความหลากหลายของเงื่อนไขการรักษาและขนาดตัวอย่างที่ศึกษานักวิจัยอาจชดเชยการสูญเสียพลังงานเล็กน้อยได้อย่างง่ายดายโดยเลือกขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้นเล็กน้อย " .

" มุมมองที่เด่นชัดดูเหมือนว่าการทดสอบตัวอย่างอิสระมีความแข็งแกร่งพอตราบเท่าที่ข้อผิดพลาด Type I เกี่ยวข้องกับรูปร่างของประชากรที่ไม่ใช่แบบเกาส์ตราบใดที่ (a) ขนาดตัวอย่างมีค่าเท่ากันหรือเกือบ (b) ขนาดมีขนาดค่อนข้างใหญ่ (Boneau, 1960, กล่าวถึงขนาดตัวอย่างของ 25 ถึง 30) และ (c) การทดสอบเป็นแบบสองด้านแทนที่จะเป็นแบบหนึ่งด้านโปรดทราบว่าเมื่อเงื่อนไขเหล่านี้ตรงกับความแตกต่างระหว่าง alpha และ alpha จริง เกิดขึ้นความคลาดเคลื่อนมักจะเป็นแบบอนุรักษ์นิยมมากกว่าแบบเสรีนิยม "

ผู้เขียนเน้นย้ำถึงประเด็นที่ถกเถียงกันของหัวข้อและฉันหวังว่าจะได้ทำแบบจำลองบางอย่างบนพื้นฐานของการแจกแจงล็อกนอร์มอลตามที่ศาสตราจารย์ฮาร์เรลล์กล่าวถึง ฉันอยากจะลองเปรียบเทียบกับ Monte Carlo ด้วยวิธีที่ไม่ใช้พารามิเตอร์ (เช่นการทดสอบ Mann-Whitney U) กำลังดำเนินการ ...

SIMULATIONS:

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ:สิ่งต่อไปนี้คือหนึ่งในแบบฝึกหัดเหล่านี้ใน "การพิสูจน์ด้วยตัวเอง" ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ผลลัพธ์ไม่สามารถใช้ในการสร้างภาพรวม (อย่างน้อยไม่ใช่ฉัน) แต่ฉันเดาว่าฉันสามารถพูดได้ว่าการจำลอง MC ทั้งสอง (อาจมีข้อบกพร่อง) MC ดูเหมือนจะไม่ท้อใจเกินไปสำหรับการใช้การทดสอบ t ในสถานการณ์ อธิบาย

ข้อผิดพลาดประเภทที่ฉัน:

ในปัญหาของข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ฉันใช้การจำลอง Monte Carlo โดยใช้การแจกแจงแบบ Lognormal การแยกสิ่งที่จะถือว่าเป็นตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่กว่า ( ) หลายครั้งจากการแจกแจงล็อกนอร์มัลด้วยพารามิเตอร์และฉันคำนวณค่า t-values ​​และค่า p ที่จะส่งผลถ้าเราเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย ของตัวอย่างเหล่านี้ทั้งหมดเกิดจากประชากรเดียวกันและมีขนาดเท่ากันทั้งหมด lognormal ได้รับเลือกตามความคิดเห็นและความเบ้ของการแจกแจงทางด้านขวา:$n=50$$\mu=0$$\sigma=1$

การตั้งค่าระดับความสำคัญของอัตราความผิดพลาดที่แท้จริงของฉันจะเป็นไม่เลวเกินไป ...$5\%$$4.5\%$

ในความเป็นจริงพล็อตของความหนาแน่นของการทดสอบทีได้รับดูเหมือนจะทับซ้อนกับไฟล์ PDF จริงของการแจกแจงแบบที:

ส่วนที่น่าสนใจที่สุดคือดูที่ "ส่วน" ของการทดสอบ t ส่วนที่ควรจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบไคสแควร์:

ที่นี่เราใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไปเช่นเดียวกับในรายการ Wikipedia :

และน่าประหลาดใจ (หรือไม่) พล็อตนั้นต่างจากไฟล์ PDF แบบไคสแควร์ที่ซ้อนทับ:

ข้อผิดพลาด Type II และพลังงาน:

การกระจายของความดันโลหิตเป็นไปได้ที่จะเข้าสู่ระบบปกติซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการตั้งค่าสถานการณ์สังเคราะห์ซึ่งกลุ่มเปรียบเทียบจะแยกกันในค่าเฉลี่ยโดยระยะทางที่เกี่ยวข้องทางคลินิกกล่าวในการศึกษาทางคลินิกทดสอบผลของความดันโลหิต ยาเสพติดที่มุ่งเน้นไปที่ diastolic BP ผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญอาจพิจารณาลดลงเฉลี่ย mmHg (เลือก SD ประมาณ mmHg):$10$$9$

ทำการเปรียบเทียบการทดสอบ t บนการจำลอง Monte Carlo ที่คล้ายคลึงกันสำหรับข้อผิดพลาดประเภท I ระหว่างกลุ่มที่สมมติขึ้นเหล่านี้และมีระดับนัยสำคัญเราจบลงด้วยข้อผิดพลาด type II และกำลังเพียง .0.024 % 99 $5\%$$0.024\%$$99\%$

รหัสที่นี่