เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม isotropic (ทรงกลม) คืออะไร?

ใครสามารถอธิบายให้ฉันในแง่ง่ายว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม isotropic คืออะไร? ฉันไม่พบสิ่งใดทางออนไลน์

terminology covariance-matrix definition

ความแปรปรวนร่วมของเมทริกซ์เรียกว่าisotropicหรือทรงกลมถ้ามันเป็นสัดส่วนกับเมทริกซ์เอกลักษณ์:นั่นคือเส้นทแยงมุมและองค์ประกอบทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมเท่ากัน $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

คำจำกัดความนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัด ถ้าเราหมุนระบบพิกัดด้วยเมทริกซ์การหมุนมุมฉากดังนั้นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะเปลี่ยนเป็นนั่นคือจะยังคงเหมือนเดิม $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม isotropic สอดคล้องกับคลาวด์ข้อมูล "ทรงกลม" ทรงกลมยังคงเป็นทรงกลมหลังจากการหมุน

— อะมีบา
แหล่งที่มา

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวแปรสามารถหมุนได้เพื่อไปที่ความแปรปรวนร่วมเมทริกซ์?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal ดูการอัปเดต

— อะมีบา

+1 แต่อยากรู้อยากเห็นนิยามที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงของ "isotropic"ยังใช้กับเพราะ - ตามปกติกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - มันหมายถึงรูปแบบสมการกำลังสองในพื้นที่เวกเตอร์จริง แต่ในแง่อื่นนี้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม isotropic เดียวคือเมทริกซ์ศูนย์!

C

$C$

— whuber

@whuber น่าสนใจ! ฉันจำไม่ได้ว่ามีความคิดเกี่ยวกับรูปแบบสมการกำลังสอง "isotropic" แต่การอ่านคำจำกัดความตอนนี้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมใด ๆ ที่มีค่าลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งศูนย์จะไม่เป็น "isotropic" ในแง่นั้น

— อะมีบา

คุณพูดถูก - ฉันระบุปริมาณผิด ตามคำจำกัดความรูปแบบสมการกำลังสองของไอโซโทรปิกมีอย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ไอโซโทรปิก (มากกว่าเวกเตอร์ทั้งหมดที่เป็นไอโซโทรปิก)

— whuber

ความแปรปรวนร่วมเป็นเพียงการทำงานของ. คุณสามารถค้นหาความหมายมี $|x - x'|$

แก้ไข: ขออภัยฉันอ่านผิดสำหรับเมทริกซ์คำตอบที่ถูกต้องคือคำตอบของอะมีบา

— ไมค์
แหล่งที่มา

คำถามถามเกี่ยวกับความแปรปรวนเมทริกซ์ แน่นอนว่าเมทริกซ์สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชั่น แต่ฉันคิดว่านี่ต้องใช้รายละเอียดบางอย่างสำหรับโอพี

— อะมีบา