โคไซน์มีความคล้ายคลึงกันอย่างไรหลังจากการแปลงเชิงเส้น?

9

มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง:

ความคล้ายคลึงกันของโคไซน์ ของเวกเตอร์สองตัวและและ $\operatorname{sim}(A, B)$ $A$ $B$
ความคล้ายคลึงกันของโคไซน์ $\operatorname{sim}(MA, MB)$ ของ $A$ และ $B$ , การปรับขนาดที่ไม่สม่ำเสมอผ่านเมทริกซ์กำหนด $M$ ? นี่ $M$ คือเมทริกซ์ทแยงมุมที่กำหนดที่มีองค์ประกอบไม่เท่ากันบนเส้นทแยงมุม

ฉันพยายามคำนวณมากกว่า แต่ไม่สามารถไปถึงลิงก์ที่น่าสนใจ / ง่าย (แสดงออก) ฉันสงสัยว่ามีหรือไม่

เช่นมุมที่ไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ในสเกลที่ไม่สม่ำเสมอ แต่ความสัมพันธ์ระหว่างมุมดั้งเดิมกับมุมมองหลังการปรับสเกลไม่เท่ากันคืออะไร อะไรที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการเชื่อมโยงระหว่างชุดของเวกเตอร์ S1 และชุดของเวกเตอร์ S2 อีกชุดหนึ่ง - ที่ซึ่ง S2 จะได้รับจากการปรับขนาด S1 ที่ไม่สม่ำเสมอ?

linear-algebra cosine-similarity

— นักบุญ-merula
แหล่งที่มา

@whuber ขอบคุณ! ใช่ M เป็นเมทริกซ์ที่กำหนด (เมทริกซ์มาตราส่วน - ดังนั้นเมทริกซ์แนวทแยงจึงไม่มีข้อ จำกัด อื่น ๆ ) ในแง่หนึ่งฉันต้องการที่จะรู้ว่าเกิดอะไรขึ้น (ในแง่ของความคล้ายคลึงโคไซน์สำหรับคู่เวกเตอร์ใด ๆ ) ไปยังพื้นที่เวกเตอร์ซึ่งมีการปรับสเกลเชิงเส้น

— turdus-merula

2

มันอาจจะคุ้มค่าที่จะสังเกตว่าหากปัจจัยสเกลทั้งหมดไม่เป็นลบ (อย่างที่ใคร ๆ ก็คิด) จากนั้นเมทริกซ์เชิงบวกแน่นอนที่แน่นอนแบบสมมาตรทั้งหมดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเมทริกซ์ "สเกล" ความสัมพันธ์ที่คุณแสวงหาถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางอนึ่งในการศึกษาและรายละเอียดของการบิดเบือนในประมาณการแผนที่ ตรงนั้นมีศูนย์กลางความสนใจในมุมสูงสุดและต่ำสุดบนพื้นผิวโลกซึ่งจะเชื่อมโยงกับสองทิศทางตั้งฉากบนแผนที่ มีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างมุมเหล่านี้กับอัตราส่วนของปัจจัยสองระดับ

— whuber

8

เนื่องจากค่อนข้างทั่วไปและการเปลี่ยนแปลงในความคล้ายคลึงโคไซน์ขึ้นอยู่กับและโดยเฉพาะและความสัมพันธ์ของพวกเขากับจึงไม่มีสูตรที่แน่นอน อย่างไรก็ตามมีข้อ จำกัด ในทางปฏิบัติที่คำนวณได้ว่าค่าความคล้ายคลึงโคไซน์สามารถเปลี่ยนแปลงได้มากแค่ไหน พวกเขาสามารถพบได้โดยการลดมุมระหว่างและเนื่องจากความคล้ายคลึงกันระหว่างและเป็นค่าที่ระบุคือ (โดยที่เป็นมุมระหว่างและ ) คำตอบบอกเราว่ามุมไหน $M$ $A$ $B$ $M$ $MA$ $MB$ $A$ $B$ $\cos(2\phi)$ $2\phi$ $A$ $B$ $2\phi$ อาจจะสามารถงอได้โดยการเปลี่ยนแปลงM $M$

การคำนวณขู่ว่าจะยุ่ง ตัวเลือกที่ชาญฉลาดของสัญกรณ์พร้อมกับการทำให้เข้าใจง่ายเบื้องต้นลดความพยายาม ปรากฎว่าการแก้ปัญหาในสองมิติเผยให้เห็นทุกสิ่งที่เราต้องรู้ นี่เป็นปัญหาที่สามารถจัดการได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรจริงเพียงตัวเดียวซึ่งแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้เทคนิคแคลคูลัส อาร์กิวเมนต์เรขาคณิตอย่างง่ายขยายการแก้ปัญหานี้ไปยังหมายเลขของมิติใด ๆn $\theta$ $n$

รอบคัดเลือกทางคณิตศาสตร์

ตามคำนิยามโคไซน์ของมุมระหว่างสองเวกเตอร์และนั้นได้มาจากการทำให้พวกมันเป็นความยาวของหน่วย ดังนั้น, $A$ $B$

\frac{A^{'} B}{\sqrt{(A^{'} A) (B^{'} B)}} = \cos (2 ϕ)

$\frac{A^\prime B}{\sqrt{(A^\prime A)\, (B^\prime B)}} = \cos(2\phi)$

และเขียน , โคไซน์ของมุมระหว่างรูปภาพของและภายใต้การแปลงคือ $\Sigma = M^\prime M$ $A$ $B$ $M$

\begin{matrix} (1) & \frac{(M A)^{'} (M B)}{\sqrt{((M A)^{'} (M A)) ((M B)^{'} (M B))}} = \frac{A^{'} Σ B}{\sqrt{(A^{'} Σ A) (B^{'} Σ B)}} . \end{matrix}

$\frac{(MA)^\prime (MB)}{\sqrt{((MA)^\prime (MA))\, ((MB)^\prime (MB))}} = \frac{A^\prime \Sigma B}{\sqrt{(A^\prime \Sigma A) (B^\prime \Sigma B)}}.\tag{1}$

สังเกตว่ามีเพียงเท่านั้นที่มีความสำคัญในการวิเคราะห์ $\Sigma$ ไม่ใช่ตัวดังนั้นเราจึงอาจใช้ประโยชน์จากการสลายตัวของเอกพจน์ (SVD)ของเพื่อทำให้ปัญหาง่ายขึ้น จำได้ว่าสิ่งนี้เป็นการแสดงออกว่าเป็นผลิตภัณฑ์ (จากขวาไปซ้าย) ของเมทริกซ์มุมฉากเมทริกซ์ทแยงมุมและเมทริกซ์มุมฉาก : $M$ $M$ $M$ $V^\prime$ $D$ $U$

M = U D V^{'} .

$M = U\,D\,V^\prime.$

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีพื้นฐานของเวกเตอร์ที่มีสิทธิพิเศษ (คอลัมน์ของ ) ซึ่งทำหน้าที่โดยการ rescaling แต่ละแยกจากกันโดยรายการเส้นทแยงมุมของ (ซึ่งฉันจะเรียก ) และหลังจากนั้นใช้การหมุน (หรือการหมุน)กับผลลัพธ์ ที่หมุนรอบสุดท้ายจะไม่เปลี่ยนความยาวหรือมุมใด ๆ และดังนั้นจึงไม่ควรมีผลต่อ\คุณสามารถดูสิ่งนี้ได้อย่างเป็นทางการพร้อมการคำนวณ $e_1, \ldots, e_n$ $V$ $M$ $e_i$ $i^\text{th}$ $D$ $d_i$ $U$ $\Sigma$

Σ = M^{'} M = (U D V^{'})^{'} (U D V^{'}) = V D (U^{'} U) D V^{'} = V D^{2} V^{'} .

$\Sigma = M^\prime M = (U D V^\prime)^\prime (U D V^\prime) = V D (U^\prime U) D V^\prime = V D^2 V^\prime.$

ดังนั้นเพื่อศึกษาเราได้อย่างอิสระอาจแทนที่โดยเมทริกซ์อื่น ๆ ที่ก่อให้เกิดค่าเดียวกันใน(1)โดยการสั่งซื้อเพื่อให้ลดขนาดลง (และสมมติว่าไม่ใช่ศูนย์เหมือนกัน) ตัวเลือกที่ดีของคือ $\Sigma$ $M$ $(1)$ $e_i$ $d_i$ $M$ $M$

M = \frac{1}{d_{1}} D V^{'} .

$M = \frac{1}{{d_1}} D V^\prime.$

องค์ประกอบเส้นทแยงมุมของคือ $(1/{d_1})D$

1 = d_{1} / d_{1} \geq λ_{2} = d_{2} / d_{1} \geq λ_{3} = d_{3} / d_{1} \geq \dots \geq λ_{n} = d_{n} / d_{1} \geq 0.

$1 = d_1/d_1 \ge \lambda_2 = d_2/{d_1} \ge \lambda_3 = d_3/{d_1} \ge \cdots \ge \lambda_n = d_n/{d_1} \ge 0.$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลกระทบของ (ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบดั้งเดิมหรือที่มีการเปลี่ยนแปลง) ในทุกมุมมองถูกกำหนดโดยความจริงที่ว่า $M$

M e_{i} = λ_{i} e_{i} .

$M e_i = \lambda_i e_i.$

วิเคราะห์กรณีพิเศษ

ให้ 2 เนื่องจากการเปลี่ยนความยาวของเวกเตอร์ไม่เปลี่ยนมุมระหว่างพวกเขาเราอาจถือว่าและเป็นเวกเตอร์หน่วย ในระนาบเวกเตอร์ทั้งหมดนั้นอาจถูกกำหนดโดยมุมที่พวกเขาทำกับทำให้เราเขียนได้ $n=2$ $A$ $B$ $e_1$

A = \cos (θ - ϕ) e_{1} + \sin (θ - ϕ) e_{2} .

$A = \cos(\theta-\phi)e_1 + \sin(\theta-\phi)e_2.$

ดังนั้น

B = \cos (θ + ϕ) e_{1} + \sin (θ + ϕ) e_{2} .

$B = \cos(\theta+\phi)e_1 + \sin(\theta+\phi)e_2.$

(ดูรูปด้านล่าง)

การประยุกต์ใช้เป็นเรื่องง่าย: การแก้ไขพิกัดแรกของและและคูณพิกัดที่สองของพวกเขาโดย\ดังนั้นมุมจากถึงคือ $M$ $A$ $B$ $\lambda_2$ $MA$ $MB$

f (θ) = \arctan (λ_{2} \tan (θ + ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (θ - ϕ)) .

$f(\theta) = \arctan(\lambda_2 \tan(\theta+\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(\theta-\phi)).$

เพราะเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง, ความแตกต่างของมุมนี้เป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องของ\ในความเป็นจริงมันแตกต่างกัน นี้จะช่วยให้เราสามารถหามุมที่รุนแรงโดยการตรวจสอบศูนย์ของอนุพันธ์theta) อนุพันธ์นั้นตรงไปตรงมาเพื่อคำนวณ: มันเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ค่าศูนย์สามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในศูนย์ของตัวเศษดังนั้นอย่ากังวลกับการคำนวณตัวส่วน เราได้รับ $M$ $\theta$ $f^\prime(\theta)$

f^{'} (θ) = \frac{λ_{2} (1 - λ_{2}) (λ_{2} + 1) \sin (2 θ) \sin (2 ϕ)}{*} .

$f^\prime(\theta) = \frac{\lambda_2(1-\lambda_2)(\lambda_2+1)\sin(2\theta)\sin(2\phi)}{*}.$

กรณีพิเศษของ , , และเป็นที่เข้าใจได้ง่าย: พวกมันสอดคล้องกับสถานการณ์ที่อยู่ในอันดับที่ลดลง (และทำให้สควอชทั้งหมดบนเส้น); โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์หลายตัว และที่และเป็นแบบขนาน (ซึ่งมุมระหว่างพวกเขาไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยไม่คำนึงถึง ) กรณีเป็นจรรยาบรรณโดยสภาพ0 $\lambda_2=0$ $\lambda_2=1$ $\phi=0$ $M$ $M$ $A$ $B$ $\theta$ $\lambda_2=-1$ $\lambda_2 \ge 0$

นอกเหนือจากกรณีพิเศษเหล่านี้ค่าศูนย์เกิดขึ้นเฉพาะที่นั่นคือหรือ 2 ซึ่งหมายความว่าสายที่กำหนดโดย bisects มุมABตอนนี้เรารู้แล้วว่าค่าสุดขีดของมุมระหว่างและต้องอยู่ในค่าของดังนั้นให้คำนวณดังนี้ $\sin(2\theta)=0$ $\theta=0$ $\theta=\pi/2$ $e_1$ $AB$ $MA$ $MB$ $f(\theta)$

\begin{aligned} f (0) & = \arctan (λ_{2} \tan (ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (- ϕ)) = 2 \arctan (λ_{2} \tan (ϕ)); \\ f (π / 2) & = \arctan (λ_{2} \tan (π / 2 + ϕ)) - \arctan (λ_{2} \tan (π / 2 - ϕ)) = 2 \arctan (λ_{2} \cot (- ϕ)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f(0) &= \arctan(\lambda_2 \tan(\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(-\phi)) = 2\arctan(\lambda_2\tan(\phi)); \\ f(\pi/2) &= \arctan(\lambda_2 \tan(\pi/2+\phi)) - \arctan(\lambda_2 \tan(\pi/2-\phi)) = 2\arctan(\lambda_2\cot(-\phi)). }$

โคไซน์ที่สอดคล้องกันคือ

\begin{matrix} (2) & \cos (f (0)) = \frac{1 - λ_{2}^{2} \tan (ϕ)^{2}}{1 + λ_{2}^{2} \tan (ϕ)^{2}} \end{matrix}

$\cos(f(0)) = \frac{1 - \lambda_2^2 \tan(\phi)^2}{1 + \lambda_2^2 \tan(\phi)^2}\tag{2}$

และ

\begin{matrix} (3) & \cos (f (π / 2)) = \frac{1 - λ_{2}^{2} \cot (ϕ)^{2}}{1 + λ_{2}^{2} \cot (ϕ)^{2}} = \frac{\tan (ϕ)^{2} - λ_{2}^{2}}{\tan (ϕ)^{2} + λ_{2}^{2}} . \end{matrix}

$\cos(f(\pi/2)) = \frac{1 - \lambda_2^2 \cot(\phi)^2}{1 + \lambda_2^2 \cot(\phi)^2} = \frac{\tan(\phi)^2 - \lambda_2^2 }{\tan(\phi)^2 + \lambda_2^2}.\tag{3}$

บ่อยครั้งก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าบิดเบือนมุมฉากอย่างไร ในกรณีนี้นำไปสู่ซึ่งคุณอาจเสียบเข้ากับสูตรก่อนหน้า $M$ $2\phi=\pi/2$ $\tan(\phi) = \cot(\phi) = 1$

โปรดสังเกตว่าเล็กลงจะยิ่งมุมเหล่านี้รุนแรงมากขึ้นเท่านั้นและยิ่งบิดเบือนมากขึ้น $\lambda_2$

ตัวเลขนี้แสดงให้เห็นว่าการกำหนดค่าที่สี่ของเวกเตอร์และแยกจากกันโดยมุมของ 3 วงกลมหน่วยและภาพรูปไข่ของตนภายใต้มีสีเทาสำหรับการอ้างอิง (กับการกระทำของสม่ำเสมอให้ปรับแต่งหน้า ) ส่วนหัวของรูปที่แสดงให้เห็นค่าของ , จุดกึ่งกลางของและBและใกล้เคียงที่สุดสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อถูกแปลงเป็นรูปแบบที่อยู่ทางซ้ายด้วย $A$ $B$ $2\phi = \pi/3$ $M$ $M$ $\lambda_1=1$ $\theta$ $A$ $B$ $A$ $B$ $M$ $\theta=0$ . ไกลออกจากกันพวกเขาสามารถกำหนดค่าเช่นเดียวที่ถูกต้องกับที่ 2 มีการแสดงความเป็นไปได้สองระดับกลาง $\theta=\pi/2$

ทางออกสำหรับทุกมิติ

เราได้เห็นวิธีการทำหน้าที่โดยการขยายมิติแต่ละโดยปัจจัย\สิ่งนี้จะบิดเบือนหน่วยทรงกลมไปเป็นรูปวงรี ตรวจสอบแกนหลัก มีระยะห่างจากจุดกำเนิดพร้อมแกนเหล่านี้จะทรงรี ดังนั้นที่เล็กที่สุดเป็นระยะทางที่สั้นที่สุด (ในทิศทางใดก็ได้) จากต้นกำเนิดถึงทรงรีและที่ใหญ่ที่สุดเป็นระยะทางไกลที่สุด (ในทิศทางใดก็ได้) จากต้นกำเนิดถึงทรงรี $M$ $i$ $\lambda_i$ $\{A\,|\, A^\prime A = 1\}$ $e_i$ $\lambda_i$ $\lambda_n$ $\lambda_1$

ในมิติที่สูงขึ้น ,และเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่สองมิติ แผนที่วงกลมหน่วยในสเปซนี้ลงในจุดตัดของทรงรีที่มีเครื่องบินที่มีและMBจุดตัดนี้เป็นการบิดเบี้ยวเชิงเส้นของวงกลมเป็นวงรี เห็นได้ชัดว่าระยะทางไกลเพื่อวงรีนี้คือไม่เกินและระยะทางที่สั้นที่สุดคือไม่น้อยกว่า\ $n\gt 2$ $A$ $B$ $M$ $MA$ $MB$ $\lambda_1=1$ $\lambda_n$

เมื่อเราสังเกตที่ส่วนท้ายของหัวข้อก่อนหน้าความเป็นไปได้ที่มากที่สุดคือเมื่อและตั้งอยู่ในระนาบที่ประกอบด้วยสองตัวซึ่งอัตราส่วนของนั้นมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในระนาบ เรามีทางออกสำหรับกรณีนี้แล้ว $A$ $B$ $e_i$ $\lambda_i$ $e_1, e_n$

สรุปผลการวิจัย

สุดขั้วของโคไซน์คล้ายคลึงกันสำเร็จโดยใช้สองเวกเตอร์ที่มีความคล้ายคลึงกันโคไซน์จะได้รับจากและ(3)พวกเขาบรรลุโดยตั้งฉากและในมุมที่เท่ากันกับทิศทางที่ยาวที่สุดเวกเตอร์ใด ๆ (เช่นทิศทาง ) และแยกพวกมันไปในทิศทางที่ทำให้เวกเตอร์ใดยาวที่สุดน้อยที่สุด ( เช่นทิศทาง ) $M$ $\cos(2\phi)$ $(2)$ $(3)$ $A$ $B$ $\Sigma=M^\prime M$ $e_1$ $\Sigma$ $e_n$

สุดขั้วเหล่านี้สามารถคำนวณได้ในแง่ของ SVD ของM $M$

— whuber
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบที่ยอดเยี่ยม! ขอบคุณมากสำหรับการสนทนาอย่างละเอียด! ฉันเชื่อว่าคุณมีข้อผิดพลาดในการลงชื่อใน eqn (3) ที่คุณควรจะมีเครื่องหมายลบโดยรวม

— LFH

ฉันสนใจในกรณีที่มุมใกล้ศูนย์และฉันต้องการที่จะได้รับความไม่เท่าเทียมกันระหว่างและเอฟมันเป็นความจริงหรือการคำนวณของคุณฉันต้องหาสุดขีด (นั่นเล็กที่สุด)และในกรณีนี้ความไม่สมดุลเชิงซีมโทติคได้รับจากเป็น ?

2 ϕ

$2\phi$

2 ϕ

$2\phi$

f

$f$

λ_{n}

$\lambda_n$

2 λ_{n} ϕ \leq f \leq 2 λ_{n}^{- 1} ϕ

$2\lambda_n\phi\leq f\leq 2\lambda_n^{-1}\phi$

ϕ \to 0

$\phi\to0$

— LFH

6

คุณอาจจะสนใจใน:

(M A, M B) = A^{T} (M^{T} M) B,

$(MA,MB)=A^T(M^TM)B,$

คุณสามารถทแยงมุม (หรือที่คุณเรียกว่า PCA) ซึ่งจะบอกคุณว่าความคล้ายคลึงกันของภายใต้การแปลงทำหน้าที่โดยการฉายลงบนส่วนประกอบหลักของคุณและต่อมา คำนวณความคล้ายคลึงกันในพื้นที่ใหม่นี้ เนื้อนี้ออกมาอีกเล็กน้อยให้องค์ประกอบหลักเป็นกับค่าลักษณะเฉพาะ\แล้วก็ $M^TM=U\Sigma U^T$ $A,B$ $M$ $A,B$ $u_i$ $\lambda_i$

U B = \sum_{i} (u_{i}, b_{i}) u_{i}, U A = \sum_{i} (u_{i}, a_{i}) u_{i},

$UB=\sum_i(u_i,b_i)u_i, \ UA=\sum_i(u_i,a_i)u_i,$

ซึ่งให้คุณ:

(M A, M B) = \sum_{i = 1}^{n} (u_{i}, a_{i}) (u_{i}, b_{i}) λ_{i} .

$(MA,MB)=\sum_{i=1}^n (u_i,a_i)(u_i,b_i)\lambda_i.$

โปรดสังเกตว่ามีการขยายขนาดเกิดขึ้นที่นี่:กำลังยืด / หด เมื่อเป็นพาหะหน่วยและหากทุกแล้วสอดคล้องกับการหมุนและคุณจะได้รับ:ซึ่งเป็น เทียบเท่ากับการบอกว่าผลิตภัณฑ์ภายในนั้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุน โดยทั่วไปการเข้าพักมุมเดียวกันเมื่อคือการเปลี่ยนแปลงมาตราส่วนซึ่งในกรณีนี้จำเป็นต้องให้เป็นตัวผกผันและสลายขั้วของน่าพอใจกับคือM $\lambda_i$ $A,B$ $\lambda_i=1$ $M$ $\mbox{sim}(MA,MB)=\mbox{sim}(A,B)$ $M$ $M$ $M$ $M=OP$ $P=aI$ $M^TM=a^2I$

— อเล็กซ์อาร์
แหล่งที่มา

1

คำแถลงเริ่มต้นของปัญหาละเลยการทำเวกเตอร์ , ,และให้เป็นมาตรฐานเพื่อคำนวณความคล้ายคลึงกันของโคไซน์ ไม่ปรากฏว่าการวิเคราะห์ที่ตามมาจะจัดการกับการทำให้เป็นมาตรฐานนี้เช่นกัน หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่คล้ายคลึงกันโคไซน์จะถูกเก็บไว้แม้ในขณะที่ทุกค่าลักษณะเฉพาะมีค่าเท่ากันบาง (บวก) ค่าที่แตกต่างจาก1สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงแม้ในกรณีง่าย ๆ นี้ก็ยังสามารถพูดได้อีกมากมาย

A

$A$

B

$B$

M A

$MA$

M B

$MB$

1

$1$

— whuber

@whuber: ความเหมือนโคไซน์จะถูกเก็บรักษาไว้อย่างแน่นอนเมื่อคือการแปลงที่สอดคล้องกันซึ่งในกรณีนี้เทียบเท่ากับกำหนดให้ต้องกลับด้านและซึ่งเป็นตัวตนที่หลากหลาย กล่าวอีกทางหนึ่งสลายขั้วของน่าพอใจที่Pคุณสิทธิเกี่ยวกับการฟื้นฟู แต่ดูเหมือนว่าโง่ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับโคไซน์คล้ายคลึงกันกับเวกเตอร์ที่ไม่ปกติ B

M

$M$

M

$M$

M^{T} M = a^{2} I

$M^TM=a^2I$

M

$M$

M = O P

$M=OP$

P = a I

$P=aI$

A, B

$A,B$

— Alex R.

2

ไม่โง่เลย! เนื่องจาก "ความคล้ายคลึงกัน" นี้ได้รับจากโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์มันจึงสมเหตุสมผลสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว สิ่งที่ฉันหมายโดย "อื่น ๆ อีกมากมายสามารถกล่าวว่า" คือว่าขอบเขตที่มีประสิทธิภาพกับมุมระหว่างภาพของและสามารถรับได้ในแง่ของมุมระหว่างและและค่าลักษณะเฉพาะของM

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

M

$M$

— whuber